第二十二讲柱函数(一) 将Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时,曾经得到常微分方程 1d+k2-x-r)=0 r drdr . 如果k2-≠0,作变换x=k2-r,y(x)=R(r),则方程变为(v阶Bessel方程 1+1-yx)=0 lxdx 其中μ=v2. 第九讲第2节中已经求出了 Bessel方程在x=0点的正则解 下面扼要地罗列一下已经得到的结果. §22.1 Bessel函数和 Neumann函数 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则奇点 在正则奇点x=0处,指标p=±v 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 J士v(x)=∑ (-)k2k k=!(+1) 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关, J-n()=( -)"(), 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 CoSUT ()-J-v(z) sinvT x1(n-k-1)(x)2k-n k k=0 1(-) 2k+n k!(k+n)! [4(n+k+1)+(k+1)( k=0 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和Wu Chong-shi ￾✁✂✁✄ ☎ ✆ ✝ (✞) ✟ Helmholtz ✠✡☛☞✌✍ ✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✑✠✡ 1 r d dr  r dR(r) dr  + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. ✢✣ k 2 − λ 6= 0 ✖✤✓✥ x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r) ✖✦✠✡✓✧ (ν ★)Bessel ✠✡ 1 x d dx  x dy(x) dx  +  1 − ν 2 x 2  y(x) = 0, ✩ ✪ µ = ν 2 ✫ ✬✭✮ ✬ 2 ✯ ✪ ✰✘✱ ✲ ✳ Bessel ✠✡☛ x = 0 ✴✵✶✦✷✫ ✏ ✸✹✺✻ ✼✽✾✏ ✰ ✘✙✚✵✿✣✫ §22.1 Bessel ❀❁❂ Neumann ❀❁ Bessel ❃❄❅❆❇❈❉❊ x = 0 ❋ x = ∞ ● x = 0 ❍■❏❈❉✖ x = ∞ ❍❑■❏❈❉✫ ▲ ■❏❈❉ x = 0 ▼✖◆❖ ρ = ±ν ✫ P ν 6= ◗❘ ❙✖ Bessel ❃❄❚❆❇ (❯❱❲❳) ■❏❨❍ J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) x 2 2k±ν . ❩❬ ν = ◗❘ n ✖❏ Jn(x) ❋ J−n(x) ❯❱❭❳✖ J−n(x) = (−) n Jn(x), ❪ ❙✖ Bessel ❃❄❚❫❴❨❵❍ Jn(x) ✖❫❛❨❏❜❝❞ Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! x 2 2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1) x 2 2k+n , ❡❢❣❤✖ P n = 0 ❙✖✐❥❦❧♠♥ ♦❫❛♣❚❅q❋✫