E:=1{(E+E})±√VE-E)2+4n =Tn(1+△2)±√Vn2+472△2 (642) 式中7h2(nx)代表自由电子在k="状态的动能 由于△是小量,应用近似公式(1+x)”≈1+nx(x<<1)可得 E(k),=Tn+|n|+m1+27 2T E(k)=x-1|-z-1 (643) 从上面分析可以看出,当k的值与n一或布里渊区边界值相距较远时,非简并微扰理论 可以适用,弱周期场中的电子能量可以用式(6.34)表示。由于二级修正项很小,此时 电子能量与自由电子能量相差无几。但当k处于布里渊区边界附近,非简并微扰已不适 用,要用简并微扰获得的能量公式(643)来描述电子的能量。这样,如图62所示。 在布里渊区边界附近,能量高的部分E要按(643)式上升,能量低的部分E按(643) 式下降。于是在布里渊区边界(△=0),出现△E=E,一E=2|Vn|的能量间隔或能 隙。在此能隙内的能量不为电子所占有,故将它称作禁带。显然,禁带的出现是电子在 周期场中运动的结果。 禁带形成的物理机制可这样理解:当电子的波矢离布里渊区边界较远时,波函数可 用式(635)表示。正如前面己经讲过,这个函数的第一项为入射波,第二项为散射波 的组合。此时散射波的幅度都很小,对入射波的干扰甚小,于是电子态和自由电子很接 但如果入射的自由电子的波矢接近布里渊区边界nr/da,与此波矢相差为倒格矢 /a的散射波振幅就很大,它们与入射波干涉会形成驻波,这正如(6.38)式所示。 其中ψ就代表这一大振幅的散射波,这就使具有这样的能量的电子波不能进入晶体 不会在晶体中存在,因此在自由电子准连续的电子能谱中形成禁带。事实上,由k=mx (此处A为电子波长),可以得到2a=n。这正是一维布拉格全反射条件 相邻原子的背向散射波干涉相长,使入射波遭到全反射而不能进入晶体内部{ } 00 200 2 ||4)()( 2 1 ± kk ′ kk ′ +−±+= VEEEEE n 2 222 Tn n 4||)1( TV n Δ+±Δ+= （6.42） 式中 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a n m Tn h π 代表自由电子在 a n k π = 状态的动能。 由于△是小量，应用近似公式 nxx （x<<1）可得 n 1)1( +≈+ 2 || 2 1||)( Δ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +++= n n nnn V T TVTkE 2 1 || 2 ||)( Δ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−−= n n nnn V T TVTkE （6.43） 从上面分析可以看出，当 k 的值与 a n π 或布里渊区边界值相距较远时，非简并微扰理论 可以适用，弱周期场中的电子能量可以用式（6.34）表示。由于二级修正项很小，此时 电子能量与自由电子能量相差无几。但当 k 处于布里渊区边界附近，非简并微扰已不适 用，要用简并微扰获得的能量公式（6.43）来描述电子的能量。这样，如图 6.2 所示。 在布里渊区边界附近，能量高的部分 要按（6.43）式上升，能量低的部分 按（6.43） 式下降。于是在布里渊区边界（△=0），出现 E+ E− Δ = − −+ = VEEE n ||2 的能量间隔或能 隙。在此能隙内的能量不为电子所占有，故将它称作禁带。显然，禁带的出现是电子在 周期场中运动的结果。 禁带形成的物理机制可这样理解：当电子的波矢离布里渊区边界较远时，波函数可 用式（6.35）表示。正如前面已经讲过，这个函数的第一项为入射波，第二项为散射波 的组合。此时散射波的幅度都很小，对入射波的干扰甚小，于是电子态和自由电子很接 近。但如果入射的自由电子的波矢接近布里渊区边界 π an ，与此波矢相差为倒格矢 2π an 的散射波振幅就很大，它们与入射波干涉会形成驻波，这正如（6.38）式所示。 其中 0 ψ k′就代表这一大振幅的散射波，这就使具有这样的能量的电子波不能进入晶体， 不会在晶体中存在，因此在自由电子准连续的电子能谱中形成禁带。事实上，由 a n k π = 和 λ 2π k = （此处λ 为电子波长），可以得到 2 = na λ 。这正是一维布拉格全反射条件： 相邻原子的背向散射波干涉相长，使入射波遭到全反射而不能进入晶体内部。 10