(7)令C1为仅包含联词→的命题逻辑语言;并且L1是语言C1上的一个证明系统,L1 的公理为(A1),(A2)和皮尔士定律,推理规则仍只有一条分离规则。我们用卜1φ表 示φ是系统L1的一个内定理。证明:H1是完全的,即如果C1中的公式是重言 式,则卜 提示:你可以定义“极大相容集”的概念并且模仿定理??的证明。更进一步,称- 个集合Y为y-极大的如果yh1p但对所有的a∈Y,YU{a}+1。你可以先证明 每一个φ-极大的集合都是“极大相容”的。 习题2.8 (1)给出一个模型M=(W,R,V)和世界u∈W使得(M,u)}A→口B但(M,u) 口(A→B) (2)判断下列陈述的正确性并给出理由 (a)(M,u)≠a当且仅当(M,)h=ae (b)M≠a当且仅当Mk=a (3)在K中证明下列公式 (a)口(a∧B)→(口a∧口3)。 (b)(QaV◇B)→◇(aVB) 注意:虽然我们没有正式引入∧和V,但根据引理?你可以使用任何关于∧和 的古典重言式。 (4)证明下列公式不是普遍有效的 (a)口(aVB)→(av口6) (b)(Qa∧◇B)→◇(aAB)。 (6)证明系统K的可靠性定理。 (7)证明:给定框架(W,B),关系R是自反的,当且仅当对任意赋值v和任意公式a, □a→α都在模型M=(W,R,V)中真。[注:本题只是模态逻辑中大量的类似对应 中的一个。](7) 令 L1 为仅包含联词 → 的命题逻辑语言；并且 L1 是语言 L1 上的一个证明系统，L1 的公理为 (A1), (A2) 和皮尔士定律，推理规则仍只有一条分离规则。我们用 ⊢1 φ 表 示 φ 是系统 L1 的一个内定理。证明：⊢1 是完全的，即如果 L1 中的公式 ψ 是重言 式，则 ⊢1 ψ。 提示：你可以定义“极大相容集”的概念并且模仿定理 ?? 的证明。更进一步，称一 个集合 Y 为 φ-极大的如果 Y ̸⊢1 φ 但对所有的 α ̸∈ Y , Y ∪ {α} ⊢1 φ。你可以先证明 每一个 φ-极大的集合都是“极大相容”的。 习题 2.8. (1) 给出一个模型 M = (W, R, V ) 和世界 u ∈ W 使得 (M, u) |= A → B 但 (M, u) ̸|= (A → B)。 (2) 判断下列陈述的正确性并给出理由： (a) (M, w) ̸|= α 当且仅当 (M, w) |= ¬α。 (b) M ̸|= α 当且仅当 M |= ¬α。 (3) 在 K 中证明下列公式： (a) (α ∧ β) → (α ∧ β)。 (b) (♢α ∨ ♢β) → ♢(α ∨ β)。 注意：虽然我们没有正式引入 ∧ 和 ∨，但根据引理 ?? 你可以使用任何关于 ∧ 和 ∨ 的古典重言式。 (4) 证明下列公式不是普遍有效的： (a) (α ∨ β) → (α ∨ β)。 (b) (♢α ∧ ♢β) → ♢(α ∧ β)。 (6) 证明系统 K 的可靠性定理。 (7) 证明：给定框架 (W, R)，关系 R 是自反的，当且仅当对任意赋值 V 和任意公式 α， α → α 都在模型 M = (W, R, V ) 中真。[注：本题只是模态逻辑中大量的类似对应 中的一个。] 7