(1)对于每个en∈E,称(x,en)为x关于en的 Fourier系数 (2)称(形式)级数∑n(x,en)为x关于E的 Fourier级数 (3)若x=∑m(x,en)en按空间H的范数收敛,称此级数为x关 于E的F 展开式 定理3设H为内积空间,E={en}是H中的规范正交集 H 则以下诸条件等价 (1)x∈ (2) (x, e,)e (3)|=∑x.n)P.( Parseval等式) (4-1-5) 证明(1)→(2)不妨设un∈ span E,Un=∑a,e;,Un→x (x,e;)e1,则(xn,e)=(x,e),即e1⊥xn-x(i=1…k 从而∑(a1-(x,e)e⊥( xn)⊥(xn-x).于是 x. +x 对2=n-x+n-2≥x-x2 从而 x=0 所以 x=imxn=lm∑(x,e)=∑(xen)en (2)→(3)由(2),x=lim∑(x,e,)或者x→x,由内积关于4 （1） 对于每个 en ∈ E ，称 ( , ) n x e 为 x 关于 n e 的 Fourier 系数. （2） 称（形式）级数 1 (, ) n n n x e e ∞ ∑ = 为 x 关于 E 的 Fourier 级数. （3） 若 1 (, ) n n n x xe e ∞ = = ∑ 按空间 H 的范数收敛，称此级数为 x 关 于 E 的 Fourier 展开式。 定 理 3 设 H 为内积空间 , E = {en } 是 H 中的规范正交集 , x ∈ H , 则以下诸条件等价： （1） x∈ span E . （2） 1 (, ) n n n x xe e ∞ = = ∑ . （4－1－4） （3） ∑ ∞ = = 1 2 2 | ( , ) | n n x x e . （Parseval 等式） （4－1－5） 证明 (1) ⇒ (2) 不妨设 un ∈span E ， ∑= = n k i n i i u e 1 α ， n u x → . 取 ∑= = n k i n i i x x e e 1 ( , ) ，则 ( , ) ( , ) n i i x e = x e , 即 e x x i ⊥ n − （ n i = 1,", k ）， 从而 1 ( ( , )) ( ) n k i ii n i α x ee x x = ∑ − ⊥ − ，即 ( )( ) nn n ux xx − ⊥ − . 于是 2 u x n − = 2 u x x x n − n + n − = 2 n n u − x + 2 x x n − ≥ 2 x x n − , 从而 x x n n − →∞ lim ＝ u x n n − →∞ lim ＝ 0 . 所以 n n x x →∞ = lim ＝ 1 lim ( , ) n k i i n i x e e →∞ = ∑ ＝ ∑ ∞ =1 ( , ) n n n x e e . (2) ⇒ (3) 由（2）， x = ∑= →∞ n i i i n x e e 1 lim ( , ) 或者 n x → x ，由内积关于