【详解】令x-1=1,J1f(x-1dx=1f()=」1f(x)dt xeax+]i(-l)d=0+(-)= 【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解 完全类似的例题见《数学复习指南》P96例417,《数学三临考演习》P1 第2题,P68第15题,《考研数学大串讲》P4例14 (4)二次型∫(x,x2x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为2 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换 或配方法均可得到答案 【详解一】因为f(x,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x)2+(x3+x) 2x2+2x2+2xx2+2xx3-2 于是二次型的矩阵为4=12-1 l-12 由初等变换得 A→03-3-03-3 03-3)(000 从而r(A)=2,即二次型的秩为2 【详解二】因为f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 =2x+2x2+2x3+2x1x2+2xx3-2x2x3 =2(x1+ x3)2+(x2-x3)2 其中 y1=x1+x2+x3,y2=x2-x 所以二次型的秩为2 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P379例61,而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子 (5)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X>√DX} 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案2 【详解】令 x − 1 = t，    − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt ＝ 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = −   − x e dx dx x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见《数学复习指南》P96 例 4.17，《数学三临考演习》P61 第 2 题，P68 第 15 题，《考研数学大串讲》P41 例 14. (4) 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 于是二次型的矩阵为           − = − 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A , 由初等变换得           − − →           − − − → 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 1 2 A , 从而 r(A) = 2, 即二次型的秩为 2. 【详解二】因为 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 2 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 3 ) 2 1 2 1 = 2(x + x + x + x − x 2 2 2 1 2 3 = 2y + y , 其中 , 2 1 2 1 1 1 2 3 y = x + x + x 2 2 3 y = x − x . 所以二次型的秩为 2. 【评注】完全类似的例题见《数学复习指南》P.379 例 6.1, 而原题可见文登数学辅导班上讲 授的例子. (5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{X  DX } = e 1 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案