Vol.27 No.3 张晓丹等：一类基于奇异值分解的Lyapunov指数计算方法 ·373· 其中，△xr为一微小量.则H在y,处的Jacobian矩阵 2=ind 为+J(x,W)△x,其中，Jx,y)为f在y.处的Jacobian 矩阵.令+x,y)△x=J,则也完全类似于离散动 力系统. =-9+T2n1. 在实际计算中常将d取为1. 3基于定义2的算法实现（方法二） 4 数值计算 具体算法为：将(，0川取为d(d为常数)， 以为球心，欧几里德范数为d的正交矢量集{e, (I)Henon映射. x1=1-1.4x+y r,,e,}为初始球.由非线性微分方程(3)分别计 y:=a3 算出点xo,+e,+e,…,+e,经过时间T演化的轨 其Lyapunov指数的理论值为0.418，-1.622， 迹，设其终了点分别为，oi,…,oa.令"=xo- 用“方法一”计算其Lyapunov指数，结果为 o,8=2一x,…,8=m一x0,则得到新的矢量 0.4162,-1.6201,表明该方法是完全可行的. 集{8r",8x,…,8c}. 下面分别用“方法一”、“方法二”和QR分解 由于各矢量在演化过程中都向最大Lyapun- 法计算Lorenz系统、Chen系统和Rossler系统的 ov指数方向靠拢，所以需要通过Schmidt正交化 全部Lyapunov指数.当然，用“方法一”和QR分 不断对新得到矢量集进行置换.即 解法计算连续系统的Lyapunov指数需先将其离 =ax, 散化. 的 (2)Lorenz系统. =6"-(6,, [i=a(y-x) 位=cx-y-xz 4 =xy-bz 当=16，b=4,c=45.92时，该系统呈现混沌性 =8-(6x","a"-(a",》"-- 态.表1是用“方法一”、“方法二”和QR分解法计 (",", 算该系统Lyapunov指数的结果比较. 4。网 (3)Chen系统. [i=a(y-x) 接着以m为新球心，范数为d的正交矢量集 =(c-a)x-xz+cy {du",d,,du"}为新球继续上述演化.设演化 2=-bz+xy 到第N步时得到矢量集{”，”，，m,并且N足 当a=35,b=3,c=28时，该系统呈现混沌性态. 够大，则可以得到连续系统(3)Lyapunov指数的近 表2是用“方法一”、“方法二”和Q分解法计算 似计算公式： 该系统Lyapunov指数的结果比较. 表1计算Lorenz系统yapunov指数的结果比较 Table 1 Comparison of Lyapunov exponents in the Lorenz system 理论值 方法一 QR分解法 方法二 4阶R-K离散 欧拉离散 4阶R-K离散 欧拉离散 1.5376.-0.0074, 1.5124,0.0216 1.4903,0.0325. 1.5135,-0.0437, 1.4950,-0.1115 1.50,0,-22.5 -22.5301 -22.5944 -22.5236 -22.4698 -22.4439 误差% 0.22 0.43 0.18 0.24 0.55 表2计算Chen系统yapnnov指数的结果比较 Table 2 Comparison of Lyapunov exponents in the Chen system 方法一 QR分解法 理论值 方法二 4阶R-K离散 欧拉离散 4阶R-K离散 欧拉离散 2.0602,-0.0129, 1.8078,0.0075, 1.9398.-0.1449, 2.0579.-0.0159 1.7448.0.0381. 2.0274,0,-12.0135 -12.0731 -11.6565 -11.7947 -12.0420 -11.6391 误差% 0.57 3.44 2.27 0.37 3.86认〕1 . 2 7 N o . 3 张 晓丹等 : 一类 基于 奇异值 分解 的 Ly aP un ov 指 数计 算方法 . 3 73 . 其 中 , xA 为一 微 小量 . 则 H 在y `处 的 J ac ob i an 矩 阵 为介浏禹小)公 , 其 中 , 洲元小 )为 f 在 y ` 处 的 J ac o ih an 矩 阵 . 令 介j 吮 亩, yt) 酝二 试 , 则 也完全 类似 于 离 散动 力系 统 . 3 基 于 定义 2 的算法 实 现 (方 法 二 ) 具体 算 法 为 : 将 }}叙编 , 0)l }取 为 d d( 为 常数 ) , 以x0 为球 心 , 欧几 里德 范数为 d 的正 交矢 量集 { el, 几 , … , en } 为初 始球 . 由非 线 性微 分方 程 (3) 分别 计 算 出点与 , x0 十 el , x0 十氏 , … , 与+en 经过 时间 厂演化 的轨 迹 , 设其 终 了点分 别 为 xo , x0 : , … , x0 。 . 令酬 , , 二 x0 1一 xo , 碳 l) 二 x0 2 一 xo , … , 酬 〕 =x0n 一 x0 , 则得 到 新 的矢 量 集 {酬 ” , 酬 1) , … , 聪 , ) } . 由于各 矢量 在 演化 过程 中都 向最 大 yL aP un - vo 指 数 方 向靠拢 , 所 以需 要通 过 S e知rn i dt 正 交 化 不 断对 新得 到 矢量 集进 行 置换 . 即 城 , , = 叙} , , , 、 , 一半 + 命誉vln4I 毗 、 。 一粤 十命誊 , n ,,诸) !, · 在 实 际计 算 中常 将 d取 为 4 数值计 算 ( l ) He n o n 映射 . 1一 1一 1一 1 . 叫+y, 口 X3 , 试 , , “ , ’ - 下(不 ’ 谓, = 酬 ,一 (议 1) , u } , , ) u } , , , ;vl , u , = 不可 , 其 yL ap un vo 指 数 的理 论值 为 .0 4 18 , 一 1 . 6 2 , 用 “ 方 法 一 ” 计 算 其 yL ap un vo 指 数 , 结 果 为 .0 4 1 62 , 一 1 . 62 0 1 , 表 明该方 法是 完 全可 行 的 . 下面 分别用 “ 方 法 一 ” 、 “ 方 法 二 ” 和 QR 分解 法「幻计 算 L o er nz 系 统 、 C h en 系 统和 R 6 s ler 系统 的 全 部 yL ap un vo 指 数 . 当然 , 用 “ 方 法一 ” 和 QR 分 解 法计 算 连续 系 统 的 yL aP un vo 指 数 需先将 其 离 散 化 . (2 ) L or enz 系统 . }名 } 几万Z = a 伽一 x ) = 〔沈 一〕 夕一戈 2 = 划一 bz 谓 ,= 酬 ,一 (衅 ’ ,斌 , , (以i ) , u 华 , > u 华 : , >衅,一 (麟 l ) ,对〕 )砖,一 一 _ “ , 刃 一 刀可下 . 当二 16 , b科 , 。 = 4 5 . 9 2 时 , 该 系统 呈现 混沌 性 态 . 表 l 是 用 “ 方 法一 ” 、 “ 方法 二 ” 和 QR 分解 法计 算 该 系统 yL ap un vo 指 数 的结 果 比 较 . ( 3 ) C h e n 系 统 . 接 着 以xo 为 新 球 心 , 范 数 为 d 的 正 交 矢 量 集 { d衅 ,d 谓 ) , … , d川, }为新 球 继续 上述 演 化 . 设演 化 到第 N步 时 得到 矢量 集 {砂 , 谬 , 一 , 刃 } , 并且 N 足 够大 , 则 可 以得 到连 续 系统 ( 3) yL aP ~ v 指 数 的近 似 计 算 公式 : }舍 } t省Z = a 伽一 x ) = ( c 一 a )x 一脂+ cy = 一 西之十郑夕 当a 二3 5 , b二 3 , 份2 8 时 , 该 系统 呈现 混 沌性 态 . 表 2 是用 “ 方法 一 ” 、 “ 方 法二 ” 和 QR 分 解法 计算 该 系统 yL ap un vo 指 数 的结 果 比 较 , 表 1 计 算 L O代nz 系 统 yL aP un vo 指 数 的结果 比 较 aT bl e 1 C o m P a ir , o n o f yL a P u n vo e x op n e n st i . 比e L o er n z s ys t e m 理 论值 方 法一 QR 分解法 4 阶 R es K 离散 欧拉离 散 方法二 1 . 50 , 0 , 一 2 2 . 5 1 . 5 3 7 6 , 一 0 . 0 0 7 4 , 一 2 2 . 53 0 1 1 5 12 4 , 0 . 0 2 1 6 , 一 2 2 . 59 4 4 1 . 49 0 3 , 0 . 0 3 2 5 , 一 2 2 5 2 3 6 4 阶 卜K 离散 1 . 5 13 5 , 一 0 . 0 4 3 7 , 欧拉 离散 一 22 4 6 9 8 1 . 4 9 5 0 , 一 0 , 1 11 5 一 2 2 4 4 3 9 误差 /% 表 2 计算 C b e n 系 统 yL a P u o o v 指 数的 结果 比较 aT b l e 2 C o m P a d s o . o f yL a P u n o v e x P o n e n tS i n ht e C b e n s ys t e m 理 论值 方法 一 方 法二 Q R 分解 法 4 阶 R es K 离 散 欧 拉离散 2 乃2 7 4 , 0 , 一 1 2 0 13 5 2 . 0 60 2 , 一 0 0 12 9 , 一 12 刃7 3 1 1 . 80 7 8 , 0 0 0 7 5 , 一 11 . 6 5 6 5 1 . 9 3 9 8 , 一 0 . 14 4 9 , 一 1 1 . 79 4 7 4 阶 R , K 离 散 2 . 0 5 7 9 , 一 0刃 15 9 欧拉离 散 一 12 . 04 2 0 1 74 4 8 , 0 . 03 8 1 , 一 1 1 63 9 1 误 差 肠