第二章多元函数微分学 则称非零向量v(n)=r()=(x(t0,y(0,=(n)为曲线C在点P 处的切向量( tangent vector) 经过点P并且以v()为方向向量的直线称为曲线C在点P处的切 线( tangent line),其参数方程是 x=x0+x'(t0)(t-10) x=y0+y(10Xt-t0) 二=z0+(10)(t-t0) 另外,过点P并且垂直于曲线C在该点切线的平面称为曲线C在 点P处的法平面( normal plane),它的(点法式)方程为 x(10x-xo)+y(oy-y)+=(o(z-=0)=0 例1求螺线{y=asnt:(a>0,c>0) C 在点M(a,a,)处的切线与法平面 解由于点M对应的参数为to=z,所以螺线在M处的切向量是 v=(x()y(z,x(z)=(=g,g,c) 2 因而所求切线的参数方程为{=+三 法平面方程为 2(x-)+2(”-)+=-4=0 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线,因此,从方程形式上 讲,曲线除了具有参数方程外,还具有一般方程(隐函数形式),关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论 (2)空间曲面的切平面 (A)空间曲面的三种表示: 显函数表示: f(x,y) 隐函数表示 F(x,y,)=0 参数方程表示:双参数 x=r(u, y=yu, v) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 则称非零向量 ( ) ( ) T v t r (t ) x (t ), y (t ),z (t ) 0 0 0 0 0 =  =     为曲线 C 在点 P 处的切向量(tangent vector). 经过点 P 并且以 ( ) 0 v t  为方向向量的直线称为曲线 C 在点 P 处的切 线(tangent line)，其参数方程是      = +  − = +  − = +  − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z t t t x y y t t t x x x t t t 另外，过点 P 并且垂直于曲线 C 在该点切线的平面称为曲线 C 在 点 P 处的法平面(normal plane)，它的（点法式）方程为 ( )( ) ( )( ) ( 0 )( 0 ) 0 0 0 0 0 x  t x − x + y  t y − y + z  t z − z = 例 1 求螺线      = = = z ct y a t x a t sin cos ； (a  0,c  0) 在点 ) 4 , 2 , 2 ( a a c M  处的切线与法平面. 解 由于点 M 对应的参数为 4 0  t = ，所以螺线在 M 处的切向量是 , ) 2 , 2 )) ( 4 ), ( 4 ), ( 4 ( ( c a a v x y z − =    =    因而所求切线的参数方程为          = + = + = − , 4 , 2 2 , 2 2 z c ct t a a y t a a x  法平面方程为 ) 0 4 ) ( 2 ( 2 ) 2 ( 2 − − + − + c z − c = a y a a x a  . 空间曲线还可以看作是两张空间曲面的交线，因此，从方程形式上 讲，曲线除了具有参数方程外，还具有一般方程（隐函数形式）,关于 曲线的一般方程将在稍后再作详细讨论. (2) 空间曲面的切平面 (A) 空间曲面的三种表示： ⚫ 显函数表示： z = f (x, y) ⚫ 隐函数表示: F(x, y,z) = 0 ⚫ 参数方程表示: 双参数 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , ,