S5.3绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式 定义1设∫(x)是定义在[a,6]上的实值函数.若对任意E>0,存在δ>0,使得对 ab]上的任意有限个互不相交的开区间{(a,b),当∑(b-a1)<6时,成立 ∑f(b)-f(a1) 则称f(x)是[a,b上的绝对连续函数 关于绝对连续函数显然成立如下事实 (i).绝对连续函数是连续函数 (i).若∫,g是绝对连续函数,a是实数则af和∫+g是绝对连续函数 例1设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数.则∫的不定积分 F(x)=f()dt+C (其中C是任意常数)是[a,b上的绝对连续函数 证明由积分的绝对连续性(42定理9),对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]中 的任意可测集A,当m(4)<d时,()dm<E.于是对[ab]上的任意有限个互不相 交的开区间{(a1,b)} ∑(-a)<δ时,令A=U(an,b),则 m(A)=∑(b-a)<6于是 ∑()Fa)=∑00s门ob=厂 ldt <a 因此F是[a,b]上的绝对连续函数143 §5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) , 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 则称 f (x) 是[a,b]上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实: (i). 绝对连续函数是连续函数. (ii). 若 f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则α f 和 f + g 是绝对连续函数. 例 1 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 ( ) () x a F x f t dt C = + ∫ (其中C 是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性(§4.2 定理 9), 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) < δ 时, () . A f t dt <ε ∫ 于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间 {( , )} , 1 n ai bi i= 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 令 ( , ), 1 ∪ n i A ai bi = = 则 ( ) ( ) . 1 = ∑ − < δ = n i m A bi ai 于是 1 11 ( ) ( ) () () () . i i i i n nn b b i i a aA i ii F b F a f t dt f t dt f t dt ε = == ∑ ∑∑ −= ≤ = < ∫ ∫∫ 因此 F 是[a,b]上的绝对连续函数