定理1.设样本x1,,xnii.d~Nn(仙，)，记文=员∑1x, B=∑-1(x-)(x-)/,则 (1)文与B相互独立，且元~N(4,): (2)P(B>0)=1的充要条件是n>p. (3)和B为充分完备统计量. 证明.(1)记x=[x1,,xn'为n×p阶矩阵，则x~Nnxp(1n4,In⑧ ).再记下为n阶正交矩阵，其最后一行为(1/√元，，1/√m.作 变换 z=Tx=[z1,,2n]' 于是z~Nn×p(1n,In⑧)，因此1，·，zn相互独立，注意 到 T1n4=(0,,0,m'μ=(0，，0，m 所以名心N(0,),i=1,,n-1,2n心N(√元4，).而 元=1x1n=22T1n=20,0,同/=n/n Previous Next First Last Back Forward 5定理 1. 设样本 x1, . . . , xn i.i.d ∼ Np(µ, Σ), 记 x¯ = 1 n ∑n i=1 xi, B = ∑n i=1(xi − x¯)(xi − x¯) ′ , 则 (1) x¯ 与 B 相互独立, 且 x¯ ∼ Np(µ, 1 n Σ); (2) P(B > 0) = 1 的充要条件是 n > p. (3) x¯ 和 B 为充分完备统计量. 证明. (1) 记 x = [x1, . . . , xn] ′ 为 n×p 阶矩阵, 则 x ∼ Nn×p(1nµ ′ , In⊗ Σ). 再记 Γ 为 n 阶正交矩阵, 其最后一行为 (1/√ n, . . . , 1/√ n). 作 变换 z = Γx := [z1, . . . , zn] ′ 于是 z ∼ Nn×p(Γ1nµ ′ , In ⊗ Σ), 因此 z1, . . . , zn 相互独立, 注意 到 Γ1nµ ′ = (0, . . . , 0, √ n) ′ µ ′ = (0, . . . , 0, √ nµ) ′ 所以 zi ∼ Np(0, Σ), i = 1, . . . , n − 1, zn ∼ Np( √ nµ, Σ). 而 x¯ = 1 n x ′ 1n = 1 n z ′Γ1n = 1 n z ′ (0, . . . , 0, √ n) ′ = zn/ √ n Previous Next First Last Back Forward 5