dy_df. dt_af_o aF. aF dy( aF) dx ax at dx ax at( ax ay dx at 从而解出 af aF af aF dy ax dx af aF. aF at ay at 14.设二元函数∫(x,y):R2→R具有连续偏导数,证明:存在一对一的 连续的向量值函数G():R→R2,使得 ∫oG=常数 证若函数f(x,y)恒等于常数,则任意的一对一的连续的向量值函数 G(t):R→R2(例如G()=()都满足要求。 现假设函数∫(x,y)不恒等于常数,则存在(x,y),使得∫(x,y)和 f(x,y)不全为0,不妨设∫(x3)≠0。记F(xy)=f(x,y)-f(x,%),它 满足定理1241的所有条件,所以在x的邻域(a,b)存在严格单调的连 续函数y=g(x)满足F(x,g(x)=0,即f(x,g(x)=常数 设r=mn(=2-1的逆函数为x=x0)(-+)→(a.),则 G(1)=(x(t),g(x(1)) 是R→R2的一对一的连续的向量值函数,满足题目要求1 dy f f dt f f F F dy F dx x t dx x t x y dx t − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ∂ ⎞ = + = − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ， 从而解出 t F y F t f x F t f t F x f dx dy ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = 。 14. 设二元函数 具有连续偏导数，证明：存在一对一的 连续的向量值函数 ，使得 R → R 2 f (x, y) : 2 G(t) : R → R f DG ≡常数。 证 若函数 恒等于常数，则任意的一对一的连续的向量值函数 （例如 ）都满足要求。 f x( , y) 2 G(t) : R → R G( )t = (t,t) 现假设函数 f x( , y)不恒等于常数，则存在 0 0 ( , x y )，使得 0 0 ( , ) x f x y 和 0 0 ( , ) y f x y 不全为 0，不妨设 0 0 ( , ) 0 y f x y ≠ 。记 0 0 F x( , y) = f (x, y) − f (x , y )，它 满足定理 12.4.1 的所有条件，所以在 0 x 的邻域 存在严格单调的连 续函数 满足 ( , a b) y g = (x) F x( , g(x)) ≡ 0，即 f x( , g(x)) ≡常数。 设 1 tan 2 x a t b a π ⎛ − = ⎜ ⎝ ⎠ − ⎞ − ⎟的逆函数为 x = x t( ):(−∞,+∞) → (a,b)，则 G( )t x = ( ( )t , g(x( )t )) 是R → R2的一对一的连续的向量值函数，满足题目要求。 17