a-4s y 22ya21 a= av Ou2 x Oudy x3 av2 aw yaw ya1 a2 y y x quoy 2=_a2,a21a2 oxon2° 代入 得到 0。 13.设y=f(x,1),而t是由方程F(x,y,)=0所确定的x,y的隐函数,其 中f和F都具有连续偏导数。证明 af aF af aF ￠_ ax at at a dx af aF,aF at ay 证设由方程F(x,y,)=0所确定的隐函数为t=h(x,y),于是就由方程 y=f(x,)=f(xh(x,y)确定了隐函数y=y(x),并由此可知r也是x的一 元函数,即t=h(x,y(x)=(x) 首先在等式F(x,y1)=F(x,y(x)1(x)=0两边对x求导,得到 aF aF dy af dt 0, ax ay dx at dx 解出 aF, aF dy dt t 然后再在等式y=f(x,(x)两边对x求导,得到2 2 2 z w y w x u x v ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 3 w y w w 2y w y w x u x v u x u v x v ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + + − + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 w u ∂ = ∂ 2 2 2 2 3 w y 2 w y x u x u v x v ∂ ∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 ∂ w ， 2 2 2 2 2 (1 ) z w w y w y x 2 2 w x y u u x u v x v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 1 2 z w w x y u u v x ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 w v 。 代入 2 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ y z x y z x z ， 得到 2 2 0 w v ∂ = ∂ 。 13．设 y = f (x,t) ，而t是由方程F(x, y,t) = 0所确定的 x, y的隐函数，其 中 f 和F 都具有连续偏导数。证明 t F y F t f x F t f t F x f dx dy ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = 。 证 设由方程F(x, y,t) = 0所确定的隐函数为t h = ( , x y) ，于是就由方程 y f = = ( , x t) f ( x h, (x, y))确定了隐函数 y y = (x)，并由此可知t也是 x的一 元函数，即t h = = ( ) x, ( y x) t(x) 。 首先在等式F x( , y,t) = F ( x, y(x),t(x)) = 0两边对 x 求导，得到 0 F F dy F dt x y dx t dx ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ = ， 解出 F F d dt y x y dx dx F t ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 然后再在等式 y f = ( x t, (x)) 两边对 x 求导，得到 16