分形对传统几何的发展:传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江河、复 杂多变云团等的描述无能为力,而正是由于在描述这些复杂自然构型方面的无能为力,所以, 传统几何将它们一概视作“病态的”或“妖魔的”的而不予考虑;传统欧氏几何中,点与线、线 与面、面与体是性质全然不同的几何对象,它们之间界限分明,而分形几何认为点与线、线 与面、面与体之间的界限并不绝对分明(康托集非点非线、亦点亦线,谢尔宾斯基地毯非线 非面、亦线亦面,谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体)。 在经典的欧几里德几何学中,我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状 去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体,这是极自然的事情。 然而在自然界中,却存在着许许多多极其复杂的形状,如,山不是锥,云不是球,闪电 不是折线,雪花边缘也不是圆等等,再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描 述的,它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病态的”,从而很容易被人们 忽视了。显然传统的数学已经无法来描述它们,从而使经典数学陷入了危机,于是分形几何 学( fractal geometry)便应运而生。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是 普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学 分形几何与传统几何相比有什么特点:从整体上看,分形几何图形是处处不规则的。例 如,海岸线和山川形状,从远距离观察,其形状是极不规则的。在不同尺度上,图形的规则 性又是相同的。上述的海岸线和山川形状,从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似 它们从整体到局部,都是自相似的 分形维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线,二维的平面,三维的普通 空间,都是人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构 的维数是多少,用传统的数学是难以回答的,至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的 分析,即可用分维(分形维数、分数维)加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充,而是 赋予了许多崭新的内涵 般情况下,分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度,分形维数越大,则 分形体越不规则。 表31分形与欧式几何的区别 欧氏几何 分形 时间 大于2000年 20世纪60年代以来 尺度 有特征尺度 无特征尺度 形状 适合简单的人造物体 适合于大自然界创造的复杂的真实物体 公式 用数学公式描述 用迭代语言描述 维数 0及正整数 般是分数(正整数是特例) 注:特征尺度:表示物体几何特征的量,例如圆的半径,其改变不影响圆的几何性质 1967年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维 数》的著名论文。此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误 差,及大国公布的公共边界线小,而小国公布的公共边界线大。54 分形对传统几何的发展：传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江河、复 杂多变云团等的描述无能为力，而正是由于在描述这些复杂自然构型方面的无能为力，所以， 传统几何将它们一概视作“病态的”或“妖魔的”的而不予考虑；传统欧氏几何中，点与线、线 与面、面与体是性质全然不同的几何对象，它们之间界限分明，而分形几何认为点与线、线 与面、面与体之间的界限并不绝对分明（康托集非点非线、亦点亦线，谢尔宾斯基地毯非线 非面、亦线亦面，谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体）。 在经典的欧几里德几何学中，我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状 去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体，这是极自然的事情。 然而在自然界中，却存在着许许多多极其复杂的形状，如，山不是锥，云不是球，闪电 不是折线，雪花边缘也不是圆等等，再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描 述的，它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导）这一基本性质了。 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病态的”，从而很容易被人们 忽视了。显然传统的数学已经无法来描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何 学（fractal geometry）便应运而生。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是 普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。 分形几何与传统几何相比有什么特点：从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例 如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则 性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似， 它们从整体到局部，都是自相似的。 分形维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线，二维的平面，三维的普通 空间，都是人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构 的维数是多少，用传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的 分析，即可用分维（分形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充，而是 赋予了许多崭新的内涵。 一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度，分形维数越大，则 分形体越不规则。 表 3.1 分形与欧式几何的区别 欧氏几何 分形 时间 大于 2000 年 20 世纪 60 年代以来 尺度 有特征尺度 无特征尺度 形状 适合简单的人造物体 适合于大自然界创造的复杂的真实物体 公式 用数学公式描述 用迭代语言描述 维数 0 及正整数 一般是分数（正整数是特例） 注：特征尺度：表示物体几何特征的量，例如圆的半径，其改变不影响圆的几何性质。 1967 年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维 数》的著名论文。此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误 差，及大国公布的公共边界线小，而小国公布的公共边界线大