目录 第三章分形理论方法及其应用 第一节分形理论概述 、分形相关概念 二、典型分形图形 第二节分形维数及其测算 、拓扑维数 、豪斯道夫维数… 、信息维数. 四、关联维数 五、变维分形 第三节空间地理要素分维计算方法……. 、点状地理要素分维计算 、线状地理要素分维计算 666 三、面状地理要素分维计算 第四节分形理论在城镇方面的应用. 、巫山县农村居民点分形特征 、云南省城镇体系分形研究 第五节分形理论在自然灾害方面的应用 、滑坡灾害敏感性影响因子提取与定量 、滑坡影响因子分段变维分形特征 第六节R/S分析… 概述 、主要方法 三、应用实例
50 目录 第三章 分形理论方法及其应用 ..........................................................................................51 第一节 分形理论概述........................................................................................................51 一、分形相关概念..........................................................................................................51 二、典型分形图形..........................................................................................................56 第二节 分形维数及其测算 ..............................................................................................61 一、拓扑维数..................................................................................................................61 二、豪斯道夫维数..........................................................................................................61 三、信息维数..................................................................................................................62 四、关联维数..................................................................................................................63 五、变维分形..................................................................................................................64 第三节 空间地理要素分维计算方法...............................................................................65 一、点状地理要素分维计算 ..........................................................................................65 二、线状地理要素分维计算 ..........................................................................................65 三、面状地理要素分维计算 ..........................................................................................66 第四节 分形理论在城镇方面的应用...............................................................................67 一、巫山县农村居民点分形特征...................................................................................67 二、云南省城镇体系分形研究 ......................................................................................73 第五节 分形理论在自然灾害方面的应用.......................................................................78 一、滑坡灾害敏感性影响因子提取与定量...................................................................78 二、滑坡影响因子分段变维分形特征...........................................................................83 第六节 R/S 分析...................................................................................................................92 一、概述..........................................................................................................................92 二、主要方法..................................................................................................................92 三、应用实例..................................................................................................................94
第三章分形理论方法及其应用 第一节分形理论概述 、分形相关概念 1、分形的基本概念 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的,而是处于无序的、不稳定的 非平衡的和随机的状态之中,它存在着无数的非线性过程,如流体中的湍流就是其中一个例 在生命科学和社会科学中,生命现象和社会现象都是一种复杂现象,非线性关系更是常 见 客观世界是复杂的,所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往人们对复杂 事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化,即把非线性问题简化为线性问题。这种认识 方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用,但是随着科学技术和社会的发展,已经暴露出它的 局限性,从而要求人们直接研究复杂事物,以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此 一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。 在非线性世界里,随机性和复杂性是其主要特征,但同时,在这些极其复杂的现象背后, 存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题,透过扑朔迷 离的无序的混乱现象和不规则的形态,揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的 本质联系。 分形是一门新的学科,它的历史很短,目前正处在发展之中,它涉及面广但还不够成熟, 然而分形理论具有强大的生命力 多少世纪以来,人们总是用欧几里得几何的对象和概念(诸如点、线、平面、空间、正 方形、圆…)来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现,引进了描画宇宙现象的新 的对象。分形就是这样一种对象 分形的思想初见于公元1875至1925年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签,人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃 罗于1975年创造的,曼德勃罗在该领域有着广泛的发现 从严格意义上讲,分形是这样一种对象,将其细微部分放大后,其结构看起来仍与原先 的一样。这与圆形成了鲜明的对比,把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类: 一是几何分形,它不断地重复同一种花样图案;另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能 够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中,在计算机的屏幕上,几乎能够立即产生分形,并 显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观 可能有人感到,只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中,然而上述新的形式却 从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域-有时也把它归 为自然界的几何,因为这些奇异而混沌的形状,不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、 海岸线等自然现象,而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。 普通几何学研究的对象,一般都具有整数的维数。比如,零维的点、一维的线、二维的 51
51 第三章 分形理论方法及其应用 第一节 分形理论概述 一、分形相关概念 1、分形的基本概念 自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、 非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个例 子。 在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一种复杂现象，非线性关系更是常 见。 客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往人们对复杂 事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这种认识 方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的 局限性，从而要求人们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此， 一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。 在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后， 存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷 离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的 本质联系。 分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟， 然而分形理论具有强大的生命力。 多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正 方形、圆……）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新 的对象。分形就是这样一种对象。 分形的思想初见于公元 1875 至 1925 年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃 罗于 1975 年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。 从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先 的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两类： 一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种是随机分形。计算机和计算机绘图能 够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并 显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。 可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却 从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域--有时也把它归 为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、 海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的
面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的,产生了新兴的分形几何学,空间具有不 定是整数的维,而存在一个分数维数,这是几何学的新突破,引起了数学家和自然科学者 的极大关注 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是,有一些不太正规 的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中,最为流行的一个定义是:分形是 种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说,在分形中,每一组成部分都在特 征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已。 分形理论诞生于20世纪70年代中期,创始人是美国数学家--曼德布罗特 (BB. Mandelbrot),他1982年出版的《大自然的分形几何学》( The Fractal Geometry of Nature) 是这一学科经典之作。分形( fractal)是20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念, 混沌( chaos)、分形和孤立子( (soliton)是非线性科学( nonlinear science)中三个最重要的概念 分形( Fractal)理论,主要硏究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性 层次性和标度不变性,为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具 分形理论,是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂,但 其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自 然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。 分形理论,已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学等在内的诸多研究 领域之中,构成了当代科学前沿的一个被广义地称为“分形学”的学科范围十分广阔、研究成 果相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域 分形理论被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域,从而形成了许多新的学科生 长点。随着分形理论在地理学研究中的应用,到了20世纪90年代,逐渐形成了一个新兴的 分支学科—分形地理学 分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态( Shape),或者是指在很宽的尺度 范围内,无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体,唯 有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。 分形:是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说,在分形中,每 组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已 自相似性self- similarity指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严格的几何相 似性,而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征 从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性。一般情况下自 相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 棵大树由许多树枝和树叶组成,若把一根树枝与该棵大树相比,在构成形式上完全相 似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条,仍具有大树构成的特点。当然,这只能 是在一定尺度上呈现相似性,不会无限扩展下去。另外,树枝与树枝之间,树叶与树叶之间, 也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉,也可以发现类似的自相似结构。 由上面我们可以看到,自然界的分形,其自相似性并不是严格的,而是,在统计意 义下的自相似性,海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形
52 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规 的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一 种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特 征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 分 形 理 论 诞 生 于 20 世 纪 70 年 代 中 期 ， 创 始 人 是 美 国 数 学 家 --- 曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)，他 1982 年出版的《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature) 是这一学科经典之作。分形(fractal)是 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念， 混沌(chaos)、分形和孤立子(soliton) 是非线性科学(nonlinear science)中三个最重要的概念。 分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、 层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。 分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但 其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自 然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。 分形理论，已被广泛地应用到包括天文、地理、生物、计算机、哲学等在内的诸多研究 领域之中，构成了当代科学前沿的一个被广义地称为“分形学”的学科范围十分广阔、研究成 果相当丰硕以及前景诱人的热门研究领域。 分形理论被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生 长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了 20 世纪 90 年代，逐渐形成了一个新兴的 分支学科——分形地理学。 分形是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度 范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯 有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。 分形：是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程。也就是说，在分形中，每一 组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 自相似性 self－similarity 指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严格的几何相 似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。 分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征 从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自 相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相 似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能 是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间， 也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。 由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意 义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形
另外,还有所谓有规分形,这类分形,由于它是按一定的数学法则呈现,因此具有严格的自相 似性。所谓koch曲线,就是属于有规分形 标度不变性 scale invariance指在分形上任选一局部区域,对它进行放大,这是得到的 放大图又会显出原图的形态特性。因此,对于分形,不论将其放大或缩小,它的形态、复杂 程度、不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩不变性。 所谓标度不变性,是指在分形上任选一局部区域,对它进行放大,这时得到的放大图形 又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形,不论将其放大或缩小,它的形态、复杂程度、 不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说,如果用 放大镜来观察一个分形,不管放大倍数如何变化,看到的情形是一样的,从观察到的图象 无法判断所用放大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体(系统),必定满足标度不变性,或者说这类物体设有特性长 度。上面介绍的koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形,无论将它放大与缩小多少倍 它的基本几何特性都保持不变,很显然,它具有标度不变性 因此,可以看到自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的 两个重要特性 对于“特征长度”这一名词,作一简单的说明,自然界存在的所有物体的形状和人类迄今 所考虑的一切图形,大致可分为如下两种:具有特征长度的图形和不具有特征长度的图形。 对于特征长度,并没有严格的定义,一般认为能代表物体的几何特征的长度,就称之为该物 体的特征长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度,这些都是各个物 体的特征长度,它们很好地反映了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状,对 它们即使稍加简化,但只要其特征长度不变,其几何性质也不会有太大的变化。如竖起一个 代替人的、与人具有相同高度的圆柱,那么从远处去看,也不会有太大的差错:如果再精细 点,以小圆柱代替手和腿,以矩形代替身躯,以球代替头,那么就会很像人了。换句话说, 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、球等简单形状加以组合,就能很好地与 其构造近似 曼德尔布莱特最先引入分形(fata)一词,意为“破碎的,不规则的”。目前对分形还没有 严格的数学定义,只能给出描述性的定义。粗略地说:分形是对没有特征长度但具有一定意义 下的自相似图形和结构的总称;分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合:分形是具 有某种意义下的自相似集合:分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。 曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规 的几何对象。例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮 云,九曲回肠的河流,纵横交错的血管,令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是,极不 规则或极不光滑。直观而粗略地说,这些对象都是分形。 如果你是个有心人,你一定会发现在自然界中,有许多景物和都在某种程度上存在这种 自相似特性,即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似 如果您从未听说过“分形”,一时又很难搞清楚分形是什么,有一个简单迅捷的办法:去 市场买一个新鲜的菜花(花椰菜),掰下一枝,切开,仔细观察,思考其组织结构。这就是分 形。分形可以是自然存在的,也可以是人造的。花椰菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料 断口等都是典型的分形。闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系 树冠、支气管、星系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层….。想想它们的形状、结构
53 另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相 似性。所谓 koch 曲线，就是属于有规分形。 标度不变性 scale invariance 指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这是得到的 放大图又会显出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂 程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。 所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形 又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、 不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用 放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象， 无法判断所用放大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体设有特性长 度。上面介绍的 koch 曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍， 它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。 因此，可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的 两个重要特性。 对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明，自然界存在的所有物体的形状和人类迄今 所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形和不具有特征长度的图形。 对于特征长度，并没有严格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度，就称之为该物 体的特征长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物 体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状，对 它们即使稍加简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有太大的变化。如竖起一个 代替人的、与人具有相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错；如果再精细 一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说， 关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、球等简单形状加以组合，就能很好地与 其构造近似。 曼德尔布莱特最先引入分形(fractal)一词，意为“破碎的，不规则的”。目前对分形还没有 严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说:分形是对没有特征长度但具有一定意义 下的自相似图形和结构的总称；分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；分形是具 有某种意义下的自相似集合；分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。 曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规 的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮 云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不 规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。 如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种 自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。 如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的办法：去 市场买一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分 形。分形可以是自然存在的，也可以是人造的。花椰菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料 断口等都是典型的分形。闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、 树冠、支气管、星系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……。想想它们的形状、结构
分形对传统几何的发展:传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江河、复 杂多变云团等的描述无能为力,而正是由于在描述这些复杂自然构型方面的无能为力,所以, 传统几何将它们一概视作“病态的”或“妖魔的”的而不予考虑;传统欧氏几何中,点与线、线 与面、面与体是性质全然不同的几何对象,它们之间界限分明,而分形几何认为点与线、线 与面、面与体之间的界限并不绝对分明(康托集非点非线、亦点亦线,谢尔宾斯基地毯非线 非面、亦线亦面,谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体)。 在经典的欧几里德几何学中,我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状 去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体,这是极自然的事情。 然而在自然界中,却存在着许许多多极其复杂的形状,如,山不是锥,云不是球,闪电 不是折线,雪花边缘也不是圆等等,再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描 述的,它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病态的”,从而很容易被人们 忽视了。显然传统的数学已经无法来描述它们,从而使经典数学陷入了危机,于是分形几何 学( fractal geometry)便应运而生。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是 普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学 分形几何与传统几何相比有什么特点:从整体上看,分形几何图形是处处不规则的。例 如,海岸线和山川形状,从远距离观察,其形状是极不规则的。在不同尺度上,图形的规则 性又是相同的。上述的海岸线和山川形状,从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似 它们从整体到局部,都是自相似的 分形维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线,二维的平面,三维的普通 空间,都是人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构 的维数是多少,用传统的数学是难以回答的,至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的 分析,即可用分维(分形维数、分数维)加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充,而是 赋予了许多崭新的内涵 般情况下,分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度,分形维数越大,则 分形体越不规则。 表31分形与欧式几何的区别 欧氏几何 分形 时间 大于2000年 20世纪60年代以来 尺度 有特征尺度 无特征尺度 形状 适合简单的人造物体 适合于大自然界创造的复杂的真实物体 公式 用数学公式描述 用迭代语言描述 维数 0及正整数 般是分数(正整数是特例) 注:特征尺度:表示物体几何特征的量,例如圆的半径,其改变不影响圆的几何性质 1967年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维 数》的著名论文。此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误 差,及大国公布的公共边界线小,而小国公布的公共边界线大
54 分形对传统几何的发展：传统欧氏几何对于自然界中连绵群山、凹凸地表、蜿蜒江河、复 杂多变云团等的描述无能为力，而正是由于在描述这些复杂自然构型方面的无能为力，所以， 传统几何将它们一概视作“病态的”或“妖魔的”的而不予考虑；传统欧氏几何中，点与线、线 与面、面与体是性质全然不同的几何对象，它们之间界限分明，而分形几何认为点与线、线 与面、面与体之间的界限并不绝对分明（康托集非点非线、亦点亦线，谢尔宾斯基地毯非线 非面、亦线亦面，谢尔宾斯基海绵非面非体、亦面亦体）。 在经典的欧几里德几何学中，我们可以用直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的形状 去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造物体，这是极自然的事情。 然而在自然界中，却存在着许许多多极其复杂的形状，如，山不是锥，云不是球，闪电 不是折线，雪花边缘也不是圆等等，再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经典集合所能描 述的，它们不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导）这一基本性质了。 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病态的”，从而很容易被人们 忽视了。显然传统的数学已经无法来描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何 学（fractal geometry）便应运而生。 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是 普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。 分形几何与传统几何相比有什么特点：从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例 如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则 性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似， 它们从整体到局部，都是自相似的。 分形维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维的直线，二维的平面，三维的普通 空间，都是人们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树枝以及烟圈等等复杂自然结构 的维数是多少，用传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。而分形理论则给出定量的 分析，即可用分维（分形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维数的简单扩充，而是 赋予了许多崭新的内涵。 一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个分形体的不规则程度，分形维数越大，则 分形体越不规则。 表 3.1 分形与欧式几何的区别 欧氏几何 分形 时间 大于 2000 年 20 世纪 60 年代以来 尺度 有特征尺度 无特征尺度 形状 适合简单的人造物体 适合于大自然界创造的复杂的真实物体 公式 用数学公式描述 用迭代语言描述 维数 0 及正整数 一般是分数（正整数是特例） 注：特征尺度：表示物体几何特征的量，例如圆的半径，其改变不影响圆的几何性质。 1967 年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维 数》的著名论文。此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误 差，及大国公布的公共边界线小，而小国公布的公共边界线大
原因在于边界线是一个复杂的曲线,所用的测量尺度越小,测量的长度越大。当你用 把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时,对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线,只能用 直线来近似。因此,测得的长度是不精确的:如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处,就 会发现,这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子,你发 现的细小曲线就越多,你测得的曲线长度也就越大;如果尺子小到无限,测得的长度也是无 海岸线有多长?按照传统的科学方法来考虑,这是一个及其简单的问题,然而曼德勃罗 教授在其名为《英国海岸线有多长?》的文章中做出了令人惊诧的答案:“英国海岸线的长 度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。” 以lkm为单位测量海岸线,得到的近似长度将短于Ikm的迂回曲折都忽略掉了,若以 lm为单位测量,则能测出被忽略掉的迂回曲折,长度将变大,测量单位进一步变小,测得 的长度将愈来愈大,这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值,这个极限值就是海岸线的长 度。 问题似乎解决了,但 Mandelbrot发现:当测量单位变小时,所得的长度是无限增大的。 他认为海岸线的长度是不确定的,或者说,在一定意义上海岸线是无限长的。为什么? 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时,长度也许已不能正确概括海岸线这 类不规则图形的特征。 特征尺度是指某一事物在空间,或时间方面具有特定的数量级,而特定的量级就要用恰 当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度,分形的一个突出特点是无特 征尺度。在无特征尺度区,用来表征的特征量是分形维数 分形的地理学意义:关注不能用通常测度(长度、面积、体积)来表示或描述的非规则 几何体性质:分形与分维更适于描述大自然中真实、复杂地理对象用更贴近自然的语言来描 绘地理世界,来真实、全面刻画大自然几何复杂性,并逐渐建立数学语言与现实地理世界之 间的深刻联系。 Mandelbrot指出:“自然给数学家们开了一个大玩笑。19世纪数 学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸乱19世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造 出来的那些病态结构,原来正是他们周围熟视无睹的东西”。 分形地理研究现状:分形地学研究还处于发展阶段,地理现象分形性质的揭示、分维测 算仍是当前“分形地学”的主要任务:大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征,多尺 度下的多分形特征研究尚未充分开展;集中在对地理对象几何性质的关注,对于分形丰富的 地学、生态学等内涵仍待发掘:虽是当代非线性科学的重要分支之一,但是同传统数学比较 而言,还有许多待完善的地方,仍在引起争论。 分形启示:点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型,在地理创新研究过程中值得 关注:空间地理信息的分形模型表明:复杂地理信息中客观存在幂律关系;由此揭示出:表 面复杂的地理现象可能有着十分简单的内在机制。 分形有用还是没用:加拿大学者Kaye指出:“有时,人们会发现把系统传统的描述转换 成分形描述并没有本质上的优越性。不过,在这种情况下,探索用另一种方式描述某一体系 所引发的智力上的促进也是极为宝贵的经历,即使最终证明分形几何对于描述这一体系并没 有太大的助益。抛开其他暂且不谈,,从分形的角度去看待问题是充满乐趣的。” 为什么要研究分形?
55 原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度越大。当你用一 把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用 直线来近似。因此，测得的长度是不精确的；如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就 会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发 现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大；如果尺子小到无限，测得的长度也是无 限。 海岸线有多长？按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简单的问题，然而曼德勃罗 教授在其名为《英国海岸线有多长？》的文章中做出了令人惊诧的答案： “英国海岸线的长 度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。” 以 1km 为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于 1km 的迂回曲折都忽略掉了，若以 1m 为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得 的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长 度。 问题似乎解决了，但 Mandelbrot 发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。 他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么？ 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸线这 类不规则图形的特征 。 特征尺度是指某一事物在空间，或时间方面具有特定的数量级，而特定的量级就要用恰 当的尺子去量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度，分形的一个突出特点是无特 征尺度。在无特征尺度区，用来表征的特征量是分形维数。 分形的地理学意义：关注不能用通常测度（长度、面积、体积）来表示或描述的非规则 几何体性质；分形与分维更适于描述大自然中真实、复杂地理对象;用更贴近自然的语言来描 绘地理世界，来真实、全面刻画大自然几何复杂性，并逐渐建立数学语言与现实地理世界之 间的深刻联系。 Mandelbrot 指出：“……大自然给数学家们开了一个大玩笑。19 世纪数 学家未曾想到的自然界并非不存在。数学家们为砸乱 19 世纪自然主义的桎梏而费尽心机创造 出来的那些病态结构，原来正是他们周围熟视无睹的东西”。 分形地理研究现状：分形地学研究还处于发展阶段，地理现象分形性质的揭示、分维测 算仍是当前“分形地学”的主要任务；大多研究只关注单一尺度下地理对象的分形特征，多尺 度下的多分形特征研究尚未充分开展；集中在对地理对象几何性质的关注，对于分形丰富的 地学、生态学等内涵仍待发掘；虽是当代非线性科学的重要分支之一，但是同传统数学比较 而言，还有许多待完善的地方，仍在引起争论。 分形启示：点、线、面等空间地理信息可以构建分形模型，在地理创新研究过程中值得 关注；空间地理信息的分形模型表明：复杂地理信息中客观存在幂律关系；由此揭示出：表 面复杂的地理现象可能有着十分简单的内在机制。 分形有用还是没用：加拿大学者 Kaye 指出：“有时，人们会发现把系统传统的描述转换 成分形描述并没有本质上的优越性。不过，在这种情况下，探索用另一种方式描述某一体系 所引发的智力上的促进也是极为宝贵的经历，即使最终证明分形几何对于描述这一体系并没 有太大的助益。抛开其他暂且不谈，……，从分形的角度去看待问题是充满乐趣的。” 2、为什么要研究分形？
首先,分形形态是自然界普遍存在的,研究分形,是探讨自然界的复杂事物的客观规律 及其内在联系的需要,分形提供了新的概念和方法 其次,分形具有广阔的应用前景,在分形的发展过程中,许多传统的科学难题,由于分 形的引入而取得显著进展。 分形作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分 形热”经久不息。 分形的功能:1.事物的外形,存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类 似:2事物的发展,也可以从局部的发展,看出事物整体发展的状况:3.事物的功能,事物 局部的功能,也存在着与整体功能相似的情况 二、典型分形图形 1、科赫曲线 (1)科赫曲线的构造 设E是单位长直线段:E1是由E除去中间1/3的线段、而代之以底边在被除去的线段 上的等边三角形的另外两条边所得到图形,它包含四个线段;对E1的每个线段都进行同一过 程来构造E2,依此类推,于是得到一个曲线序列{Ek}:其中Ek是把Ek的每一个直线段中间 1/3用等边三角形的另外两边取代而得到的;当k充分大时,曲线Ek和Ek1只在精细的细 节上不同;而当k→∞时,曲线序列仼}趋于一个极限曲线F,称F为冯科赫曲线
56 首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律 及其内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。 其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分 形的引入而取得显著进展。 分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80 年代初国外开始的“分 形热”经久不息。 分形的功能：1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类 似；2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；3.事物的功能，事物 局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况 二、典型分形图形 1、科赫曲线 （1）科赫曲线的构造 设 E0 是单位长直线段；E1 是由 E0 除去中间 1／3 的线段、而代之以底边在被除去的线段 上的等边三角形的另外两条边所得到图形，它包含四个线段；对 E1 的每个线段都进行同一过 程来构造 E2，依此类推，于是得到一个曲线序列{Ek}；其中 Ek 是把 Ek-1 的每一个直线段中间 1／3 用等边三角形的另外两边取代而得到的；当 k 充分大时，曲线 E k 和 E k-1 只在精细的细 节上不同；而当 k→∞时，曲线序列{E k}趋于一个极限曲线 F，称 F 为冯.科赫曲线。 E 0 E 1 E 2
n 图31科赫曲线及构造过程 % matlab plot函数绘制koch曲线程序,程序还是比较简单的,这里只绘制出了雪花的三分之一 function koch curve(number)% number代表koch的阶数,范围为大于等于2 set(gef; position,0.,1920,1080],%设置窗口分辨率,[0,0]和[1920,1080分别为窗口左上角和右下角坐标 可根据自己的屏幕分辨率调整,注释掉这句则使用 matlab默认窗口分辨率 kochI=[0,0,1,0] fo kocha=zeros(4n-3, 2); koch2(k, F[(kochi(j-1, 1)2+kochI (, 1)/3, (kochi(j-1, 2)2+koch10, 2))/3 koch2(k+1, FI(kochi(j-1, 1)+kochi(, 1)+sqrt(3)*(kochi(j-1, 2)-koch10, 2))/3)2, (kochi(j-1, 2)+koch10, 2)-sqrt(3)*( kochi(j-1, 1)-kochI(, 1))/3)21 chl(,1)*2+ kochI(-1,1)3,( kochI(,2)*2+ kochI(-1,2)y3 k=k+4; kocha(, 1) koch 1=koch
57 图 3.1 科赫曲线及构造过程 %matlab plot 函数绘制 koch 曲线程序，程序还是比较简单的，这里只绘制出了雪花的三分之一 function koch_curve(number)%number 代表 koch 的阶数，范围为大于等于 2。 figure set(gcf,'position',[0,0,1920,1080]);%设置窗口分辨率，[0,0]和[1920,1080]分别为窗口左上角和右下角坐标 可根据自己的屏幕分辨率调整，注释掉这句则使用 matlab 默认窗口分辨率 n=2; koch1=[0,0;1,0]; for i=1:number koch2=zeros(4*n-3,2); k=2; for j=2:n koch2(k,:)=[(koch1(j-1,1)*2+koch1(j,1))/3,(koch1(j-1,2)*2+koch1(j,2))/3]; koch2(k+1,:)=[(koch1(j-1,1)+koch1(j,1)+sqrt(3)*(koch1(j-1,2)-koch1(j,2))/3)/2,(koch1(j-1,2)+koch1(j,2)-sqrt(3)*( koch1(j-1,1)-koch1(j,1))/3)/2]; koch2(k+2,:)=[(koch1(j,1)*2+koch1(j-1,1))/3,(koch1(j,2)*2+koch1(j-1,2))/3]; koch2(k+3,:)=koch1(j,:); k=k+4; end n=4*n-3; x=koch2(:,1); y=koch2(:,2); plot(x,y) axis equal koch1=koch2; pause(1);
(2)科赫曲线特性 科赫曲线F是自相似的,四个部分与整体的相似比例为14:F具有精细结构,即在任意 小的比例尺度内包含整体;F是不规则的,不能用传统的几何语言来描述;F的长度为∞,而 面积为0 事实上,对于每个k,Ek的长度为 E)=3 (3.1) l(F)=liml(E)=lim|=∞ %maab绘制皮亚诺曲线 function peano curve(n) peano_old=00,0,10.5,10.50,1,0,1,1 x= peano_old(∴1) y=peano old(: 2); plot(x,y) axis equal pl=peano old(:, 1), 2+1/(3i-1 )-peano old(: 2); Ipl(:,1)4+33~-1)pl(,2) eano new=peano old; pl: p2: pI=2+1/(3 1-1)peano new( 1 ) peano new(: 2): p2=4+3/3~1-1}pl(,1)pl(:2) peano new=peano new,pl; p21 eano old=peano new/(3+2/(3 i-D)): x=peano old(, 1) y=peano_old(:, 2);
58 end end （2）科赫曲线特性 科赫曲线 F 是自相似的，四个部分与整体的相似比例为 1/4；F 具有精细结构，即在任意 小的比例尺度内包含整体；F 是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F 的长度为∞，而 面积为 0； 事实上，对于每个 k，E k 的长度为 = = = = → → k k k k k k l F l E l E 3 4 ( ) lim ( ) lim 3 4 ( ) （3.1） %matlab 绘制皮亚诺曲线 function peano_curve(n) peano_old=[0,0;0,1;0.5,1;0.5,0;1,0;1,1]; x=peano_old(:,1); y=peano_old(:,2); figure set(gcf,'position',[0,0,1920,1080]); plot(x,y) axis equal for i=1:5 p1=[peano_old(:,1),2+1/(3^i-1)-peano_old(:,2)]; p1=p1(length(p1):-1:1,:); p2=[p1(:,1),4+3/(3^i-1)-p1(:,2)]; p2=p2(length(p2):-1:1,:); peano_new=[peano_old;p1;p2]; p1=[2+1/(3^i-1)-peano_new(:,1),peano_new(:,2)]; p1=p1(length(p1):-1:1,:); p2=[4+3/(3^i-1)-p1(:,1),p1(:,2)]; p2=p2(length(p2):-1:1,:); peano_new=[peano_new;p1;p2]; peano_old=peano_new/(3+2/(3^i-1)); x=peano_old(:,1); y=peano_old(:,2); plot(x,y) axis equal pause(1) end
2、康托尔集( Cantor) (1)康托尔集的构造 设E0是单位长直线段,E1是由Eo除去中间1/3的线段所得到图形。对E1的每个线段都 进行同一过程来构造E2,依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek},其中Ek是把Ek1的每一个 直线段中间1/3除去而得到的:当k充分大时,曲线Ek和Ek1只在精细的细节上不同,当k→∞ 时,曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线F,称F为康托尔三分集。 fl ni n H 图32康托尔三分集图 %康托尔三分集 function myfun50 new=[0,1 n= input(请输入迭代次数n:") new=[I/3.new,2/3+1/3.new] line(new(), new(j+D)][0,OD (2)康托尔集的特性 康托尔集曲线F是自相似的,两个部分与整体的相似比例为1/3:F具有精细结构,即在 任意小的比例尺度内包含整体;F是不规则的,不能用传统的几何语言来描述;F中点的数 目为∞,而长度为0 事实上,对于每个k,Ek的长度为
59 end 2、康托尔集（Cantor） （1）康托尔集的构造 设 E0 是单位长直线段，E1 是由 E0 除去中间 1/3 的线段所得到图形。对 E1 的每个线段都 进行同一过程来构造 E2，依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek}，其中 Ek 是把 Ek-1 的每一个 直线段中间 1/3 除去而得到的；当 k 充分大时，曲线 Ek 和 Ek-1 只在精细的细节上不同，当 k→∞ 时，曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线 F，称 F 为康托尔三分集。 图 3.2 康托尔三分集图 %康托尔三分集 function myfun5() new=[0,1]; n=input(' 请输入迭代次数 n:'); for j=1:n new=[1/3.*new,2/3+1/3.*new]; end for jj=1:2:2.^(n+1)-1 line([new(jj),new(jj+1)],[0,0]) end （2）康托尔集的特性 康托尔集曲线 F 是自相似的，两个部分与整体的相似比例为 1/3；F 具有精细结构，即在 任意小的比例尺度内包含整体；F 是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；F 中点的数 目为∞，而长度为 0； 事实上，对于每个 k，E k 的长度为
