目录 第八章模糊数学方法及其应用 230 第一节模糊数学简介 230 第二节模糊数学的基础知识. 231 一、集合及其特征函数… 231 二、模糊集合 231 第三节模式识别. 、模式识别及识别的直接方法 247 、贴近度与模式识别的间接方法 52 第四节模糊综合评判及其应用…… 262 、模糊综合评判 262 、应用实例 263
229 目 录 第八章 模糊数学方法及其应用............................................................................................. 230 第一节 模糊数学简介........................................................................................................... 230 第二节 模糊数学的基础知识............................................................................................... 231 一、集合及其特征函数..................................................................................................... 231 二、模糊集合..................................................................................................................... 231 第三节 模式识别................................................................................................................... 247 一、模式识别及识别的直接方法..................................................................................... 247 二、贴近度与模式识别的间接方法................................................................................. 252 第四节 模糊综合评判及其应用........................................................................................... 262 一、模糊综合评判............................................................................................................. 262 二、应用实例..................................................................................................................... 263
第八章模糊数学方法及其应用 第一节模糊数学简介 任何新生事物的产生和发展,都要经过一个由弱到强逐步成长壮大的过程,一种新理论 一种新学科的问世,往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年 LAZadeh 教授开创以来所走过的道路,充分证实了这一点,然而,实践是检验真理的标准,模糊数学在 理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果,不仅消除了人们的疑虑,而且使模糊数学在科学 领域中,占有了自己的一席之地 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的,不可能不带有这 些学科固有的局限性。这些学科考察的对象,都是无生命的机械系统,大都是界限分明的清晰 事物,允许人们做岀非此即彼的判断,进行精确的测量,因而适于用精确方法描述和处理。而 那些难以用经典数学实现定量化的学科,特别是有关生命现象、社会现象的学科,研究的对象 大多是没有明确界限的模糊事物,不允许做岀非此即彼的断言,不能进行精确的测量。清晰事 物的有关参量可以精确测定,能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据, 不能按精确方法建立数学模型。实践证明,对于不同质的矛盾,只有用不同质的方法才能解决 传统方法用于力学系统高度有效,但用于对人类行为起重要作用的系统,就显得太精确了,以 致于很难达到甚至无法达到 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑,即要求符合非此即彼的排中律,这对于处理清晰 事物是适用的。但用于处理模糊性事物时,就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时, 用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达,否则,便是经济效益不好的企业。根 据常识,显而易见:“比经济效益好的企业年利税少1元的企业,仍是经济效益好的企业”,而 不应被划为经济效益不好的企业。这样,从上面的两个结论出发,反复运用经典的二值逻辑, 我们最后就会得到,“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多,历史 上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象,促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现 象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻 辑,它是建立在[0,1上的。如若我们把年利税在100万元以上者的属于经济效益好”的企业 的隶属度规定为1,那末,相比之下,年利税少1元的企业,属于“经济效益好”的企业的隶属 度就应相应减少一点,比如为0999,依此类推,企业的年利税每减少1元,它属于“经济效 益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去,当企业的年利税为0时,它属于“经济效 益好”的企业的隶属度也就为0了,显然,模糊方法的这种处理方式,是符合于人们的认识过程 ,连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是,从以分析为主对确定性现象的研究,进到以综合为主对不确定 性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后,正在扩大视域 转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间,社会科学不同学科之间,自然 科学和社会科学之间,相互渗透的趋势日益加强,原来截然分明的学科界限一个个被打破,边 缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化,边界不分明的对象,亦即模糊性对象, 以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿
230 第八章 模糊数学方法及其应用 第一节 模糊数学简介 任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、 一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在 理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学 领域中，占有了自己的一席之地。 经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这 些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰 事物，允许人们做出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而 那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象 大多是没有明确界限的模糊事物，不允许做出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事 物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据， 不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。 传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以 致于很难达到甚至无法达到。 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰 事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判断企业经济效益的好坏时， 用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根 据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业”，而 不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑， 我们最后就会得到，“年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史 上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现 象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础是连续值逻 辑，它是建立在[0，1]上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业 的隶属度规定为 1，那末，相比之下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属 度就应相应减少一点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效 益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它属于“经济效 益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程 的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。 现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定 性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域， 转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然 科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边 缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象， 以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿
模糊集合理论自诞生以来,获得了长足的发展,每年全世界发表的研宄论文的数量,以指 数级速度增长。硏究范围从开始时的模糊集合,发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑..等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明,模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中,经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面 第二节模糊数学的基础知识 、集合及其特征函数 (1)集合 论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合 (2)集合的运算 集合的常用运算包括:交(∩)、并(U)、补 (3)特征函数 对于论域E上的集合A和元素x,如有以下函数 (x)={1当xeA 则称山(x)为集合A的特征函数 特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度:可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 模糊集合 (1)概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性,例如:成绩:好、差:身高:高、矮:年龄:年轻、年老:头 发:秃、不秃 (2)隶属度函数 如果一个集合的特征函数H4(x)不是{01}二值取值,而是在闭区间[,1中取值,则 4(x)是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数,称为隶属度函数 当x∈A H、(x)={0<x4(x)<1,当在一定程度上属于 (82) 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性 (3)模糊子集
231 模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指 数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中，经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面。 第二节 模糊数学的基础知识 一、集合及其特征函数 （1）集合 论域 E 中具有性质 P 的元素组成的总体称为集合。 （2）集合的运算 集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补 （3）特征函数 对于论域 E 上的集合 A 和元素 x，如有以下函数： ( ) 则称 ( )为集合 的特征函数 当 当 x A x A x A x A A = 0, 1, （8.1） 特征函数表达了元素 x 对集合 A 的隶属程度；可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 二、模糊集合 （1）概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性，例如：成绩：好、差；身高：高、矮；年龄：年轻、年老；头 发：秃、不秃。 （2）隶属度函数 如果一个集合的特征函数 ( ) A x 不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则 ( ) A x 是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，称为隶属度函数。 ( ) ( ) = x A x x A x A A x A 当 当 在一定程度上属于 当 0, 0 1, 1, （8.2） 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。 （3）模糊子集
1)设集合A是集合U的一个子集,如对于任意U中的元素x,用隶属度函数4(x)来 表示x对A的隶属程度,则称A是U的一个模糊子集,记为A={4(x)x}。模糊子集 通常简称模糊集;模糊集A由隶属函数4(x)唯一确定,故认为二者是等同的。 2)模糊集可以用下式表示 Zadeh表示法 A (x1),A(x2) A(x) A=H4(x)x1+4(x2)x2+…+H4(xn)/xn (84) 其中一表示x1对模糊集A的隶属度,x(i=1,2,…,n)称为模糊子集A的支持点 “+”叫做查德记号,不是求和 如“将1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为 10.80.20 d= 5) 序偶表示法 A={(x1,A(x1)(x2,A(x2),…(xn2A(xn)}(86) 向量表示法: A=(4(x1),4(x2),…,4(xn)) 若论域U为无限集,其上的模糊集可表示为 A (88) 3)模糊集与隶属度举例 设论域 E (89) 0.50.3040.2 A (8.10) x x2 >3 x4 B (8.11) XI x2 x3 x4 意思是x1,x2,x32x4对模糊集A的隶属度分别是05,0.3,04,02:对模糊集B的隶 232
232 1）设集合 A 是集合 U 的一个子集，如对于任意 U 中的元素 x，用隶属度函数 ( ) A x 来 表示 x 对 A 的隶属程度，则称 A 是 U 的一个模糊子集，记为 { ( ), } A x x = A i i 。模糊子集 通常简称模糊集；模糊集 A 由隶属函数 ( ) A x 唯一确定，故认为二者是等同的。 2） 模糊集可以用下式表示。 Zadeh 表示法： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n A x A x A x A x x x = + + + （8.3） 或 ( ) ( ) ( ) A= A x1 x1 + A x2 x2 ++ A xn xn （8.4） 其中 ( )i i A x x 表示 i x 对模糊集 A 的隶属度， ( 1,2, , ) i x i n = 称为模糊子集 A 的支持点， “+”叫做查德记号，不是求和。 如“将1, 2, 3, 4组成一个小数的集合”可表示为 1 0.8 0.2 0 1 2 3 4 A = + + + （8.5） 序偶表示法： 1 1 2 2 {( , ( )),( , ( )), ,( , ( ))} A x A x x A x x A x = n n （8.6） 向量表示法： 1 2 ( ( ), ( ), , ( )) A A x A x A x = n （8.7） 若论域 U 为无限集，其上的模糊集可表示为： ( ) x U A x A x = （8.8） 3）模糊集与隶属度举例 设论域 E x x x x = 1 2 3 4 , , , （8.9） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.4 0.2 A x x x x = + + + （8.10） 1 2 3 4 0.2 0 0.6 1 B x x x x = + + + （8.11） 意思是 1 2 3 4 x x x x , , , 对模糊集 A 的隶属度分别是 0.5，0.3，0.4，0.2；对模糊集 B 的隶
属度分别是0.2,0,06,1。 设以人的岁数作为论域U=[0,120],单位是“岁”,那么“年轻”,“年老”,都是U上的模 糊子集。隶属函数如下: <u H()=年轻( ×/-25 (8.12) (0<u≤50) 2-50 <u< (8.12)表示:不大于25岁的人,对子集“年轻”的隶属函数值是1,即一定属于这一子集 而大于25岁的人,对子集“年轻的隶属函数值按1+/a-2 来计算,例如对40岁的人, 隶属函数值(=4)1-(42)1-01 同理,由(813)可得:HB(u=55=0.5,B(u=60)=0.8 模糊子集的隶属度函数的确定通常是根据经验或统计,常常带有主观性,但大家也较容易 接受(上述两个模糊集的隶属度函数如下所示) 图8.1两个模糊集隶属函数图示 (4)模糊集合的基本运算 相关运算的定义 相等:A=B令→14(x)=42(x) 包含:AB令4(x)≤A1(x) 233
233 属度分别是 0.2，0，0.6，1。 设以人的岁数作为论域 U = 0,120 ，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是 U 上的模 糊子集。隶属函数如下： A (u) =“年轻”(u)= ( ) ( ) 1 2 1 0 25 25 1 25 120 5 u u u − − + （8.12） B (u) =“年老”(u)= ( ) ( ) 1 2 0 0 50 50 1 50 120 5 u u u − − − + （8.13） （8.12）表示：不大于 25 岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是 1，即一定属于这一子集； 而大于 25 岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值按 1 2 25 1 5 u − − + 来计算，例如对 40 岁的人， 隶属函数值 ( ) 1 2 40 25 40 1 0.1 5 A u − − = = + = 。 同理，由（8.13）可得： B (u = = 55 0.5 ) ， B (u = = 60 0.8 ) 。 模糊子集的隶属度函数的确定通常是根据经验或统计，常常带有主观性，但大家也较容易 接受（上述两个模糊集的隶属度函数如下所示）。 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 1 1.5 图 8.1 两个模糊集隶属函数图示 （4）模糊集合的基本运算 相关运算的定义 相等： ( ) ( ) A B x x = = A B 包含： ( ) ( ) A B x x A B
交集:C=A∩B台→C(x)=min(4(x),p2(x) 4(x)入2(x) 并集:C=AUB分(x)=max(u4(x),p2(x) 4(x)Vp2(x) 补集:A(x)=1-H1(x) 注:V:表示取大,∧表示取小 一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子舒适如何的一个标志是其卧室的 多少。设X={1,2,3,4,5,6}是房子卧室数集,模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描 述为 A={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)}(8.14) 模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为 B={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8)(5,1)2(6,1)}(815) A与B的并表示“大或者舒适的房子”,为 A∪B={(1,0.3)(2,0.8)(3,1),(4,08),(5,1),(6,1)}(816) A与B的交表示“又大又舒适的房子”,为 A∩B={(2,0.4)(3,06)(4,0.7),(5,0.3)}(8.7) B的补集表示“不大的房子”,为 B={(1,1),(2,06),(3,0.4),(4,0.2)}(8.18) 一些常用的算子: 1) Zadeh算子(v,∧) avb=maxa, b,,anb=mina, b(8.19) 2)取大、乘积算子(v,) avb=maxa, b,aob=ab(8.20) 3)环和、乘积算子(+,°) 234
234 交集： C A B (x) min( (x), (x)) = C = A B ( ) ( ) A B = x x 并集： C A B (x) max( (x), (x)) = C = A B ( ) ( ) A B = x x 补集： A (x) 1 (x) A = − A 注：∨:表示取大，∧:表示取小 一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子舒适如何的一个标志是其卧室的 多少。设 X ={1,2,3,4,5,6} 是房子卧室数集，模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描 述为 A ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)} （8.14） 模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为 B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1),(6,1)} （8.15） A 与 B 的并表示“大或者舒适的房子”，为： A B ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.8),(5,1),(6,1)} （8.16） A 与 B 的交表示“又大又舒适的房子”，为： A B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.7),(5,0.3)} （8.17） B 的补集表示“不大的房子”，为： B ={(1,1),(2,0.6),(3,0.4),(4,0.2)} （8.18） 一些常用的算子： 1）Zadeh 算子 ( , ) a b a b a b a b = = max{ , }, min{ , } （8.19） 2）取大、乘积算子 ( , ) • a b a b a b ab = • = max{ , }, （8.20） 3）环和、乘积算子 ( , ) + • ˆ
a+b=a+b-ab aob=ab (8.21) 4)有界和、取小算子(,入) a⊕b=1∧(a+b),a∧b=min{a,b}(82) 5)有界和、乘积算子(,· 由b=1∧(a+b),a·b=ab 6) Einstain算子 +6 ab 8b b 1+ab 1+(1-a)(1-b (5)模糊集合的a水平截集 设A为U={x}的模糊子集,则对任意∈[O,1 A={x4(x)≥a;称为模糊子集的a水平截集 模糊子集本身没有确定边界,其水平截集有确定边界,并且不再是模糊集合,而是一个确 定集合 设年龄的取值集合为 U={50岁45岁,40岁,35岁,30岁,25岁 (8.25) 模糊集“年青”可表示为: A=0/50岁+0.1/45岁+0.3/40岁+0.5/35岁+0.9/30岁+125岁(826) A的不同的水平截集为 =0,A0={50岁,45岁,40岁,35岁,30岁,25岁 ={45岁,40岁,35岁,30岁,25岁} a=0.2,A02={40岁,35岁,30岁,25岁 =0.3,A03={40岁,35岁,30岁,25岁} ax=0.5,Aas={35岁,30岁,25岁} ={30岁,25岁} 0.9,A09={30岁,25岁 某医生今天给五个发烧病人看病,设为xx2,xyxx,其体温分别为:3890,372C, 378C,392°C,38.1℃C。医生在统计表上就可以这样写: 37C以上的五人:{x1,x2,x3x4,x 3℃c以上的二人:{x,x4,x5}
235 a b a b ab a b ab + = + − • = ˆ , （8.21） 4）有界和、取小算子 ( , ) a b a b a b a b = + = 1 ( ), min{ , } （8.22） 5）有界和、乘积算子 ( , ) •a b a b a b ab = + • = 1 ( ), （8.23） 6）Einstain 算子 ( , ) + − , 1 1 (1 )(1 ) a b ab a b a b ab a b + − + = = + + − − （8.24） （5）模糊集合的 α 水平截集 称为模糊子集 的 水平截集 设 为 的模糊子集，则对任意 ， A x x A A U x { A ( ) } { } [0,1] = = 模糊子集本身没有确定边界，其水平截集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确 定集合。 设年龄的取值集合为 U={50 岁,45 岁, 40 岁 ,35 岁,30 岁, 25 岁} （8.25） 模糊集“年青”可表示为： A=0/ 50 岁+0.1 / 45 岁 + 0.3/40 岁 + 0.5/ 35 岁 + 0.9/ 30 岁 +1/ 25 岁 （8.26） A 的不同的水平截集为： α=0 ， A0 ={50 岁，45 岁, 40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.1， A 0.1 ={45 岁, 40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.2， A 0.2 ={40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.3， A 0.3 ={40 岁, 35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.5， A 0.5 ={35 岁, 30 岁, 25 岁} α=0.7， A 0.7 ={30 岁, 25 岁} α=0.9， A 0.9 ={30 岁, 25 岁} α=1 ， A 1 ={25 岁} 某医生今天给五个发烧病人看病，设为 x x x x x 1 2 3 4 5 , , , , ，其体温分别为：38.9℃，37.2℃， 37.8℃，39.2℃，38.1℃。医生在统计表上就可以这样写： 37℃以上的五人： x x x x x 1 2 3 4 5 , , , , ； 38℃ 以上的三人： x x x 1 4 5 , , ；
39C以上的一人:{x4} 如果规定37.5℃C以下的不算发烧,问有多少发烧病人?医生就可以回答 x1,x3,x4,x5},但所谓发烧”实际上是一个模糊概念,它存在程度上的不同,也就是说要 用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定,对“发烧”来说: 体温3°℃以上的隶属函数/(x)=1 体温35℃以上不到39℃的求属函数(x)=09 体温3℃以上不到35℃的求属函数(x)=0.7 体温375℃以上不到38℃的隶属函数/(x)=04: 体温375℃以下的隶属函数4(x)=0 用模糊集合来处理这个问题: 0.900.4 0.7 一十 (8.27) 现在问:求属函数H(x)209的有哪些人,用4来表示这一集合,则A={x,x}, 同理有, 48={x1,x},46={x,x,x},A4={x1,x3,x,x3}。 (6)模糊关系及模糊矩阵 上面研究的都是单个集合的描述关系与定义,但往往更多时候需要研究的是模糊集与模糊集 之间的关系,比如:身高与体重的联系。这些涉及到关系的定义。 1)集合的笛卡儿乘积 设U={x},={y为两个集合,则它们的笛卡儿乘积集为 U×V={(x,y)x∈U,y∈} (8.28) (x,y)是U,元素间的有序对;(x,y)是一种无约束有顺序的组合;笛卡尔乘积的运算 不满足交换律 特殊的笛卡尔乘积:当A=U={x}时
236 39℃以上的一人： x4 ； 如果规定 37.5℃ 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ： x x x x 1 3 4 5 , , , ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是说要 用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说： 体温 39℃以上的隶属函数 ( x) =1 ； 体温 38.5℃ 以上不到 39℃的隶属函数 ( x) = 0.9 ； 体温 38℃以上不到 38.5℃的隶属函数 ( x) = 0.7 ； 体温 37.5℃以上不到 38℃的隶属函数 ( x) = 0.4 ； 体温 37.5℃以下的隶属函数 ( x) = 0。 用模糊集合来处理这个问题： 设 1 2 3 4 5 0.9 0 0.4 1 0.7 A x x x x x = + + + + （8.27） 现在问：隶属函数 ( ) 0.9 A x 的有哪些人，用 A0.9 来表示这一集合，则 A x x 0.9 1 4 = , ， 同理有， A x x 0.8 1 4 = , ， A x x x 0.6 1 4 5 = , , ， A x x x x 0.4 1 3 4 5 = , , , 。 （6）模糊关系及模糊矩阵 上面研究的都是单个集合的描述关系与定义，但往往更多时候需要研究的是模糊集与模糊集 之间的关系，比如：身高与体重的联系。这些涉及到关系的定义。 1）集合的笛卡儿乘积 设 U x ={ },V y ={ } 为两个集合，则它们的笛卡儿乘积集为： U V x y x U y V = {( , ) | , } （8.28） ( , ) x y 是 UV, 元素间的有序对； ( , ) x y 是一种无约束有顺序的组合；笛卡尔乘积的运算 不满足交换律。 特殊的笛卡尔乘积：当 A U x = ={ } 时
A×A={(x,x,)x,x,∈A (8.29) 2)关系及其表示 ①设U={x},={y}为两个集合,R为笛卡尔乘积U×V的一个子集,则称其为 U×V中的一个关系。关系R代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。 ②关系的表示 集合表示法: R={(x,y)(x2,y2)(x3,y3) 描述表示法 R={(x,y)|x>y} (8.31) 图形表示法:关系图 矩阵表示法:例如 X×Y上的关系R X×X上的关系R i 2 x3 3“4 y11010 x11010 0101 110 y4L100 100 设U={张三李四,王五},V={数学,英语,政治},则关系R(选课)可表示为: 张李王 数学 (833) 英语110 政治(O X×K上的关系R(相似) d. x 1010 0101 1010 3)模糊关系 ①如果关系R是U×V的一个模糊子集,则称R为U×V的一个模糊关系,其隶属度 函数为(x,y)·隶属度函数H(x,y)表示x,y具有关系R的程度 ②若一个矩阵元素取值为o,1区间内,则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样,有模糊 单位阵,记为I;模糊零矩阵,记为0:元素皆为1的矩阵用J表示
237{( , ) | , } A A x x x x A = i j i j （8.29） 2）关系及其表示 ①设 U x ={ },V y ={ } 为两个集合， R 为笛卡尔乘积 U V 的一个子集，则称其为 U V 中的一个关系。关系 R 代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。 ②关系的表示 集合表示法： 1 1 2 2 3 3 R x y x y x y ={( , ),( , ),( , )} （8.30） 描述表示法： R x y x y = {( , ) | } （8.31） 图形表示法：关系图。 矩阵表示法：例如 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x y y y y x x x x x x x x X Y上的关系R X X上的关系R （8.32） 设 U＝{张三,李四,王五}，V＝{数学，英语，政治}，则关系 R（选课）可表示为： 1 0 1 1 1 0 0 1 1 张 李 王 数学 英语 政治 （8.33） X X 上的关系 R （相似） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 x x x x x x x x （8.34） 3）模糊关系 ①如果关系 R 是 U V 的一个模糊子集，则称 R 为 U V 的一个模糊关系，其隶属度 函数为 ( , ) R x y 。 隶属度函数 ( , ) R x y 表示 x y, 具有关系 R 的程度。 ②若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊 单位阵，记为 I；模糊零矩阵，记为 0；元素皆为 1 的矩阵用Ｊ表示
③模糊矩阵的表示 X×H上的模糊关系R yI uR(xu, y PR(x2,y)AR(x,,y) PR (x4,y) y2pa(x,y2)A(x2,y2)A(x3,y2)2(x4,y2) V3) AR y4R(x1,y4)(x2y4)(x3,y)p(x4,y) (835) ④例题 设x为身高,y为体重。x=(14,1,5,16,1171:8)(单位m),y=(40.50,60,70,80)(单位kg)。 模糊关系“合乎标准”表示为: 表81模糊关系“合乎标准表 0 60 80 14 0.8 0.2 0.8 0.8 0.2 1.6 0.2 0.8 0.8 0.2 1.7 0.2 0.8 0.8 1.8 0.2 0.8 也可记为: 0.80.200 0.810.80.20 R=0.20810.80.2 00.20.8 0.8 000.20.81 样本集X中各样本之间的相似关系可表示为 10.60.20.8 x2|0.610.309 0.20.310.1 x4080.90.1 (837) 4)模糊矩阵的关系及其运算 ①基本关系及运算 设A=(an)m,B=(b,)m∞m都是模糊矩阵,则定义 相等:A=B曰a=b:包含:A≤B曰an≤b 并:A∪B=(anyb2)mn:交:A∩B=(anAb2)m
238 ③模糊矩阵的表示 , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) 1 4 2 4 3 4 4 4 1 3 2 3 3 3 4 3 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 2 1 3 1 4 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y y y x x x x X Y R （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 上的模糊关系 R R R R R R R R R R R R R R R R （8.35） ④例题 设 x 为身高， y 为体重。x=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位 m），y = (40,50,60,70,80) （单位 kg）。 模糊关系“合乎标准”表示为： 表 8.1 模糊关系“合乎标准”表 40 50 60 70 80 1.4 1 0.8 0.2 0 0 1.5 0.8 1 0.8 0.2 0 1.6 0.2 0.8 1 0.8 0.2 1.7 0 0.2 0.8 1 0.8 1.8 0 0 0.2 0.8 1 也可记为： 1 0.8 0.2 0 0 0.8 1 0.8 0.2 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0 0.2 0.8 1 0.8 0 0 0.2 0.8 1 R = （8.36） 样本集 X 中各样本之间的相似关系可表示为： 0.8 0.9 0.1 1 0.2 0.3 1 0.1 0.6 1 0.3 0.9 1 0.6 0.2 0.8 4 3 2 1 1 2 3 4 x x x x x x x x （8.37） 4）模糊矩阵的关系及其运算 ①基本关系及运算 设 ( ) , ( ) A a B b = = ij m n ij m n 都是模糊矩阵，则定义 相等： A B a b = =ij ij ；包含： A B a b ij ij 并： ( ) A B a b = ij ij m n ；交： ( ) A B a b = ij ij m n