第七章习题课 向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何 第七章习题课
基本要求 1理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示 2掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 用坐标表达式进行向量运算的方法 3.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积), 4.了解两个向量垂直、平行的条件 5掌握平面的方程和直线的方程及其求法, 会利用平面、直线的相互关系,解决有关问题
一 基本要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 用坐标表达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）， 4.了解两个向量垂直、平行的条件． 5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法， 会利用平面、直线的相互关系，解决有关问题．
6理解曲面方程的概念,了解常见二次曲面的 方程及其图形 7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程 8.了解空间曲线方程的概念 了解空间曲线的参数方程和一般方程 了解空间曲线在坐标平面上的投影
6.理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的 方程及其图形。 7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程 8.了解空间曲线方程的概念． 了解空间曲线的参数方程和一般方程． 了解空间曲线在坐标平面上的投影．
二要点提示 向量代数: 、向量及其坐标 向量 模 2 2 ++a 2方向余弦 cos a cOS B cosr 2 ta+a atata ata+a
二 要点提示 向量代数： 2 2 2 a = ax + ay + az 一、向量及其坐标 1.向量 模 a = ax , ay , az 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos x y z x y z x y z x y z a a a a a a a a a a a a = = = + + + + + + 2 方向余弦
3单位向量a0=a cos a, cos B, cos r) 基本单位向量 k 4两向量的夹角 d·b a ta b arccos arccos a2+a2+a2·、b2+b2+b 5向量的投影 b=1bco(15)(6在a上的投影)
u 0 cos ,cos ,cos a a a = = 3 单位向量 i j k 基本单位向量 , , 2 2 2 2 2 2 arccos arccos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a b a b a a a b b b + + = = + + + + 4 两向量的夹角 Prj cos , a b b a b b a = ( ) ( 在 上的投影) 5 向量的投影
二、向量的运算 1线性运算 加(减):a士b=(an±b,an±b,a±b 数乘=(a,a,a),(ald) 2内积:a.b=d| b 6=ab+ab,+ab )1=V24(210a·b1(a+05b≠0) (3)a b= a Pr jab=bPrjsa;(4)abed. b=0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; 2 cos 0, 0 ; 3 Pr j Pr j ; 4 0. a b a b a a a a b a b a b a b b a a b a b = = = = ⊥ = 二、 向量的运算 1 线性运算 数乘 a a a a a a = ( x y z , , ,) ( ) cos x x y y z z 2 内积: a b a b a b a b a b = = + + 加(减): a b a b a b a b = ( x x y y z z , , )
3外积×b是一同量: 模l×b=l4bsn方向按ab,a×b成右手系 axb=ax a, as 6 b b (jaxb=-bx (2)以a,b为邻边的平行四边形面积S=×b (3)与a,b同时垂直的向量可取作h=a×b
模 sin a b a b = 方向按a b a b , , 成右手系. 3.外积 a b 是一向量： x y z x y z i j k a b a a a b b b = (1 ; ) a b b a = − （2）以 a b, 为邻边的平行四边形面积 S a b = (3) 与 a b, 同时垂直的向量可取作 n a b =
两非零向量平行、垂直的等价条件: c‖|b冷b=a冷a×b=0 一 a⊥b今a·b=0令a.b+a.b.+a.b=0 x X
两非零向量平行、垂直的等价条件： 0 x y z x y z b b b a b b a a b a a a = = = = 0 0 x x y y z z a b a b a b a b a b ⊥ = + + =
空间解析几何 、平面方程 设已知M(xn3,=)法向量n=(ABC) 点法式 A(x-x0)+B(y-y)+C(-=0)=0 般式 Ax+By+Cz+D=o r y z 截距式 + b
空间解析几何： 一、平面方程 设已知 法向量 • 点法式 • 一般式 • 截距式 M x y z 0 0 0 0 ( , , ,) n A B C = ( , , ) A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z − z0 ) = 0 Ax + By +Cz + D = 0 + + =1 c z b y a x
直线的方程 设已知M(xx)方向向量s(m,n,p) 对称式 X-x 0 参数式 X xt mt y=yo+ni 20+p 般式 A1x+B1y+C12+D1=0 14x+By+C2=+D2=0
二、直线的方程 设已知 方向向量 • 对称式 • 参数式 • 一般式 M x y z 0 0 0 0 ( , , ,) s m n p ＝( , , ) p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − = + = + = + . , , 0 0 0 z z pt y y nt x x mt + + + = + + + = 0. 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D