问题1:等式(f(x) f(x)dhx正确吗? 答:不正确,由不定积分的定义,∫f(x)x=f(x)+C,而由不定积分的性质 f(x)dx)=f(x) 问题2:下列运算正确吗? 「=/Jca=cc x≥0 e- dx=-e+C,, x0,所以公式 (lnx)=-自然只在区间(O,∞)内成立,而不定积分则是求已知函数一的原函数,这个函数 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),因此,一般应理解为在上述两个区间分别求其函数: d x >0 In(-x)+C2,x<0 C1和C2是两个彼此独立的常数,为方便起见,写为 Inx+C 因的定义域是两个区间,在每个区间内用各自的原函数来理解上述公式 问题4:分部积分法的主要作用是什么? 答:主要作用有三种 (1)化简积分式,通过公式ah=y-jwh,将不定积分jdh化为jwh 当「vdh较[dh容易计算时,公式起到了简化作用 (2)产生循环现象,从而求出积分,例如I=e' cos xdx
52 问题 1：等式 ( f x dx f x dx ( ) ( ) ) = 正确吗？ 答：不正确，由不定积分的定义， f x dx f x C ( ) ( ) = + ，而由不定积分的性质 ( f x dx f x ( ) ( ) ) = . 问题 2：下列运算正确吗？ 1 2 , 0 , 0 x x x x x e dx e C x e dx e dx e C x − − = + = = − + [分析] 这是求分段函数的原函数的问题.上面的做法不正确，由于原函数可导必是连 续的，所以原函数在分段点 x = 0 处连续，但 C1 和 C2 的任意性不能保证原函数连续. 设原函数为 F x( ) ，则由 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x F x F x F → + → − = = ，有 1 2 1 1 + = − + C C ， 即 2 1 C C= + 2.故只有在 2 1 C C= + 2 时，上述运算才正确，即 1 1 0 2 0 x x x e C x e dx e C x − + = − + + 问题 3： 怎样理 解微 分学中 ，导数 公式 1 ( ) Inx x = ，积分学 中不 定积分 公式 1 dx In x C x = + . [分析] 在微分中，是求已知函数 Inx 的导数，这个函数的定义域是 x 0 ，所以公式 1 ( ) Inx x = 自然只在区间 (0, ) 内成立，而不定积分则是求已知函数 1 x 的原函数，这个函数 的定义域是 ( ,0) (0, ) − + ，因此，一般应理解为在上述两个区间分别求其函数： 1 2 , 0 ( ) , 0 dx Inx C x x In x C x + = − + C1 和 C2 是两个彼此独立的常数，为方便起见，写为 dx In x C x = + . 因 1 x 的定义域是两个区间，在每个区间内用各自的原函数来理解上述公式. 问题 4：分部积分法的主要作用是什么？ 答：主要作用有三种： （1） 化简积分式，通过公式 udv uv vdu = − ，将不定积分 udv 化为 vdu ， 当 vdu 较 udv 容易计算时，公式起到了简化作用. （2） 产生循环现象，从而求出积分，例如 cos x I e xdx =
=]e cos xdr=e cos x+ ]e sin xdx e cosx+e sin x-e cos xdx=e (sin x+cos x)-I I==e(sin x+cos x)+C (3)建立递推公式,例如,求1=∫ tan"xdx(m≥2) :In=tan" tan xdx= tan"-x(sec'x-1)dx j tan"xsec xdr- tan"xdx=tan"xd tan x- tan"xdr tan"x-」tan"2xdr,即Jn tan"x-I 问题5:已知f(x)的导数为sin2x,则sin2x的原函数为 f(x)=sin 2xdx=sinx+C 对吗?又问g(x)=-cos2x+C和h(x)=-cos2x+C(C为任意常数)也是sin2x的原 函数吗? 分析]这是一个函数的原函数有多少个的问题 由原函数的定义知,应该有无穷多个,且它们之间至多相差一个常数 (sin x+C)=sin 2x, (coS x+C)=sin 2x,(--cos 2x+C)=sin 2x f(x),g(x)和h(x)均为sn2x的原函数 事实上,-cosx=sinx-1,1 cOS 2x=sinx 因此,g(x),h(x)与∫(x)仅相差常数
53 cos x I e xdx = cos sin x x = + e x e xdx cos sin cos (sin cos ) x x x x = + − = + − e x e x e xdx e x x I 1 (sin cos ) 2 x I e x x C = + + . （3） 建立递推公式，例如，求 tann n I xdx = ( 2) n 解： 2 2 2 2 tan tan tan (sec 1) n n n I x xdx x x dx − − = = − 2 2 2 tan sec tan n n x xdx xdx − − = − 2 2 tan tan tan n n xd x xdx − − = − 1 1 2 tan tan 1 n n x xdx n − − = − − ,即 1 2 1 tan 1 n n n I x I n − = − − − . 问题 5：已知 f x( ) 的导数为 sin 2x ，则 sin 2x 的原函数为 2 f x xdx x C ( ) sin 2 sin = = + 对吗？又问 2 g x x C ( ) cos = − + 和 1 ( ) cos 2 2 h x x C = − + （ C 为任意常数）也是 sin 2x 的原 函数吗？ [分析] 这是一个函数的原函数有多少个的问题. 由原函数的定义知，应该有无穷多个，且它们之间至多相差一个常数， 2 (sin ) sin 2 x C x + = , 2 ( cos ) sin 2 − + = x C x ， 1 ( cos 2 ) sin 2 2 − + = x C x . f x g x ( ), ( ) 和 h x( ) 均为 sin 2x 的原函数. 事实上， 2 2 − = − cos sin 1 x x ， 1 1 2 cos 2 sin 2 2 − = − x x ， 因此， g x h x ( ), ( ) 与 f x( ) 仅相差常数
