第十一章无穷级数 、常数项级数 二、幂级数 、傅立叶级数
第十一章 无穷级数 一、常数项级数 二、幂级数 三、傅立叶级数
引言 无穷级数是用来表示函数、研究函数的 性质以及进行数值计算的一种工具 本章讨论常数项级数,介绍无穷级数的 一些性质;讨论函数项级数,着重介绍如何 将函数展开成幂级数与三角级数的问题
引言 无穷级数是用来表示函数、研究函数的 性质以及进行数值计算的一种工具. 本章讨论常数项级数，介绍无穷级数的 一些性质；讨论函数项级数，着重介绍如何 将函数展开成幂级数与三角级数的问题
第一节常数项级数的概念 常数项级数的概念 收敛级数的性质
第一节 常数项级数的概念 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的性质
、常数项级数的概念 引例:一个人向距他一米远的目标走去, 如果每次前进该距离的一半路程.记录他 走过的路程之和,问他在有生之年能够到达 目标吗? 谬论? 22 第步第步第不可能达到
2 3 1 1 1 1 2 2 2 2n + + + + + 一、常数项级数的概念 引例：一个人向距他一米远的目标走去, 如果每次前进该距离的一半路程. 记录他 走过的路程之和, 问他在有生之年能够到达 目标吗？ 第1步 第3步 第n步 不可能达到 = 1 谬论？
1.级数的定义 由数列1,2,…n…构成的表达式 1+l2+l3+…+ln 称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数, 记为∑,其中第n项un称为一般项 H-=1 ×c -+∴+—+ 2223 2 t
1. 级数的定义 u u u u 1 2 3 + + + + +n 称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数， 由数列 u1 ,u2 , un 构成的表达式 记为 1 , n n u = 其中第n项un称为一般项. 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2n + + + + + 1 1 ( ) 2 n n = =
常数项级数举例 1+3+5+…+(2n-1)+…=∑(2n-1) ×c ∴十 3 n+1 +…=∑ n+1 oo 1+-+—+… 十 33 3 3 1-1+1-1+…+(-1)”+…c∑(-) =1 (-1) oo n-1 1--+ +…=∑ (-1) 23 ns
常数项级数举例 1 3 5 (2 1) + + + + − + n 1 1 1 2 3 1 n + + + + + 2 1 1 1 1 1 3 3 3n− + + + + + 1− 1+ 1− 1++ (−1) n−1 + 1 1 1 ( 1) 1 2 3 n n − − − + − + + 1 (2 1) n n = = − 1 1 n n 1 = = + 1 1 1 3 n n − = = 1 1 ( 1)n n − = = − 1 1 ( 1)n n n − = − =
级数的部分和 s =utu+.+u ∑u 部分和数列{sn} S1=l1,S2=1+2,S3=l1+2+l3, Sn=1+l2+…+n ∴ 2 22 2
= = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + 3 1 2 3 s u u u = + + , 1 2 , n n s u u u = + + + 部分和数列 { }n s 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 n n s = + + + +
2.级数的收敛与发散: 定义如果∑n的部分和数列Sn有极限S, 即 lim s=S,则称无穷级数∑n收敛, n=1 这时极限S叫做级数的和并写成 S=W1+u2+…+l3+… 如果Sn没有极限则称无穷级数Σun发散 ● n=1 常数项级数收敛(发散)<lims存在(不存在) n→0
2. 级数的收敛与发散: n s n=1 如果 没有极限,则称无穷级数 un 发散. s = u1 + u2 ++ u3 + lim n n s s → 即 = ， 定义 n=1 un n 如果 的部分和数列 s 有极限 s, n=1 则称无穷级数 un 收敛, 常数项级数收敛(发散) 这时极限 s 叫做级数的和.并写成 n n s → lim 存在(不存在)
常数项级数收敛(发散)令lims存在(不存在) n→0 n+1 111 引例中 一++ 3 2222 2 n 2 o nImS=1,故∑(2)收敛和为1 2 = 又例如1.∑(2n-1)=1+3+5+…发散 nE (1+2n-1)=n2->∞ 1,n为奇数时, 2∑ sn极限不存在 H-=1 0,n为偶数时, 故级数发散
常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 n n s = + + + + 1 1 ( ) 2 n n = 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 1 − − = n+ lim 1, n n s → = 引例中 1 1. (2 1) 1 3 5 n n = − = + + + 1 1 2. ( 1)n n − = − 收敛,和为1. 发散. 2 (1 2 1) 2 n n n s n = + − = → 故级数发散. sn极限不存在, 故 又例如 1, 0, n n s n = 为奇数时， 为偶数时
例1讨论等比级数(几何级数) ∑my"=a+aq+ag2+…+ay+…a≠0) =0 的收敛性 解如果q≠时, Sn=a++aq2+…+ >1 n a-=aq q 3q<1
解 如果q 1时, 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 例1 的收敛性. , 1 , 1 1 q a q q → − 讨论等比级数(几何级数)