释疑解难重积分 问题1将f(x,y)bh化为二次积分,其中D:x2+y2≤1,y≥0.下面的作法是否 正确? ∫(xy)ady=(xy 1≤x≤1 答:不正确二次积分的积分限不对,所表示的积分区域是矩形区域 0≤y<1’令 题目中所给的区域D不符 [分析]二重积分化为二次积分的关键在于确定积分限,而确定积分限的关键在于将D 用x,y的不等式表示出来,对于Ⅹ一型域,其积分限的确定方法是先将D向x轴投影,得x 的变化范围:-1≤x≤1,直线x=-1和x=1与区域D边界的交点将D的边界分为了两个 部分,即y=0和y=Ⅵ-x2,Wx∈[-1y的变化范围为0≤y≤Ⅵ-x2,故D可表 示为D:0sy x,于是正确的是f(xy)dpy dx。"f(x,y)d -1≤x<1 问题2二重积分如何选择积分次序?怎样改变二次积分的积分次序? 答:考察下面二个例题: (1)选择xad(D为y=x-4,y2=2x所围成的区域)的二次积分次序,使 之计算较简便 (2)计算「小」 解:(1)积分区域如图9-8所示:如果将D视为Ⅹ一型域,应先对y积分,则需将D分 为两部分,所以将D视为Y一型域,先对x积分 将D向y轴投影,得:D:12x≤y+4 -2≤y≤4 于是 xkb=2」之xa=“x2P 22y.d 图9-8 (y+4)2-y2 (2)因√s不能用初等函数形式表达出来,故无法计算通过交换积分次序来
释疑解难 重积分 问题 1 将 ( , ) D f x y dxdy 化为二次积分，其中 2 2 D x y y : 1, 0 + .下面的作法是否 正确？ 1 1 1 0 ( , ) ( , ) D f x y dxdy dx f x y dy − = 答：不正确.二次积分的积分限不对，所表示的积分区域是矩形区域： 1 1 0 1 x y − ，与 题目中所给的区域 D 不符. [分析] 二重积分化为二次积分的关键在于确定积分限，而确定积分限的关键在于将 D 用 x y, 的不等式表示出来，对于 X—型域，其积分限的确定方法是先将 D 向 x 轴投影，得 x 的变化范围： − 1 1 x ，直线 x =−1 和 x =1 与区域 D 边界的交点将 D 的边界分为了两个 部分，即 y = 0 和 2 y x = −1 ， − x 1,1， y 的变化范围为 2 0 1 − y x ，故 D 可表 示为 2 0 1 : 1 1 y x D x − − ，于是正确的是 2 1 1 1 0 ( , ) ( , ) x D f x y dxdy dx f x y dy − − = . 问题 2 二重积分如何选择积分次序？怎样改变二次积分的积分次序？ 答：考察下面二个例题： （1）选择 D xydxdy （ D 为 2 y x y x = − = 4, 2 所围成的区域）的二次积分次序，使 之计算较简便. （2）计算 1 0 y sin y x dy dx x . 解：（1）积分区域如图 9-8 所示：如果将 D 视为 X—型域，应先对 y 积分，则需将 D 分 为两部分，所以将 D 视为 Y—型域，先对 x 积分. 将 D 向 y 轴投影，得： 2 4 : 2 2 4 y x y D y + − 于是 2 2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 y y y y D x xydxdy dy xydx y dy + + − − = = ( ) 4 5 4 6 4 2 3 2 2 2 1 1 8 4 8 90 2 4 2 4 3 24 y y y y y dy y y − − = + − = + + − = . （2）因 y sin y x dx x 不能用初等函数形式表达出来，故无法计算.通过交换积分次序来
改变这种状况,所给的二次积分是将D视为y-型区域,即D{y5xs√5,可见D是由 0≤y≤1 X=vx √ 及x=0,x=1围成的,如图9-9 现将D看作X一型区域, y≤x 0≤x<1 于是,[d √ y=4 i sinx 图99 sin xdx- xsin xdx=-cos x lo +xcos x lo- cos xdx=1-sinl [分析]从以上的讨论,有 (1)选择积分次序要考虑到两个因素:被积函数和积分区域,其原则是:要使二个积分 都能积分出来,且使计算尽量简单. (2)通过二重积分改变积分次序,其步骤是 由所给二次积分,写出D的不等式表示,还原为积分区域D,最好画出D的图形,再 将D按照选定的次序重新表示为不等式形式,写出新次序的二次积分 (3)改变积分次序可以作为证明积分等式的一种方法, 例设(x)在d上连续,证明∫d/()dk=(c-x)/(x 证明:由4(x)t得D 0≤x≤y losy≤c 如图9-10 改变积分次序,D 0sxsc’所以 左边=af(x)=(c—x)f(x)x=右边证毕 问题3在定积分中,利用被积函数的奇偶性,可简化对称 图9-10 区间上积分的计算,重积分中有类似的情况吗? 答:在多元积分的计算中也可利用对称性来简化计算设∫(x,y)在D上连续,以利用 对称性计算二重积分为例,主要有以下几种情况: (1)如果D关于y轴对称,则v(x,y)∈D,有 f(x,y)关于x为奇函数 /(xy)的=1/xyhy关于x为偶函数 其中D={(x,y)(x,y)∈D,x20}
改变这种状况，所给的二次积分是将 D 视为 Y − 型区域，即 : 0 1 y x y D y ，可见 D 是由 x y x y = = , 及 x x = = 0, 1 围成的，如图 9-9 现将 D 看作 X − 型区域， 2 : 0 1 x y x D x ， 于是， 2 1 1 1 2 0 0 0 sin sin sin ( ) y x y x x x x dy dx dx dy x x dx x x x = = − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 = − = − + − = − sin sin cos | cos | cos 1 sin1 xdx x xdx x x x xdx . [分析] 从以上的讨论，有 （1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积分 都能积分出来，且使计算尽量简单. （2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是： 由所给二次积分，写出 D 的不等式表示，还原为积分区域 D ，最好画出 D 的图形，再 将 D 按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分. （3）改变积分次序可以作为证明积分等式的一种方法， 例 设 f x( ) 在 0,c 上连续，证明 0 0 0 ( ) ( ) ( ) c y c dy f x dx c x f x dx = − . 证明：由 0 0 ( ) , c y dy f x dx 得 0 : 0 x y D y c ， 如图 9-10 改变积分次序， : 0 x y c D x c ，所以 左边 0 0 ( ) ( ) ( ) c c c x = = − = dx f x dx c x f x dx 右边.证毕. 问题 3 在定积分中，利用被积函数的奇偶性，可简化对称 区间上积分的计算，重积分中有类似的情况吗？ 答：在多元积分的计算中也可利用对称性来简化计算.设 f x y ( , ) 在 D 上连续，以利用 对称性计算二重积分为例，主要有以下几种情况： （1）如果 D 关于 y 轴对称，则 ( , ) x y D ，有 1 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) . ( , ) D D f x y x f x y dxdy f x y dxdy f x y x = 关于 为奇函数 关于 为偶函数 其中 D x y x y D x 1 = ( , ) | ( , ) , 0
(2)如果D关于x轴对称,则V(x,y)∈D,有 f(x,y)关于y为奇函数 「(xyb订1xyy)关于为偶函数 D2 其中D2={(x,y)(x,y)∈D,y20} (3)如果D关于原点对称,则v(x,y)∈D,有 0, f(-x,-y)=-f(x,y) f(x, y)dxdy=12(ff(x, y)dxdya*2[/(x, y)drdy /(x-y)=f(x,y) 其中D,D2同上 (4)如果D关于直线y=x对称,则f(x,y)d=/(x)d 以上前三种情况类似于奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,(4)则是二重积分的特殊性 质 例设D={(x,y)|x2+y2≤1},则 (1) J2-x-yydxdy=[V2drxdy-xdxdy-J dhy=√2 (2)(x2+y2)doh=4订j(x2+y),D3={(x,y)x2+y21x20,y≥0} (3) -dxdy= B f(x)+f() -dxdy f(x)+f() 由此,得 f() dxdy=dxdy=i f(x)+f() f(x)+f() 问题4在什么情况下,用极坐标求二重积分可以简化计算? 答:如果被积函数为∫(x2+y2)或积分区域D为圆域,圆环域或扇形域时,利用极坐 标计算二重积分较简单 例如:1. e- dxdy, D:x2+y2≤R2 2.y+ydh,D:y=0y=x,x2+y2=2x所围成 arctan dxd D:1≤x2+y2≤4,0≤y≤x 都适合用极坐标计算解答见典型例题部分的例8
（2）如果 D 关于 x 轴对称，则 ( , ) x y D ，有 2 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) . ( , ) D D f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y = 关于y为奇函数 关于y为偶函数 其中 D x y x y D y 2 = ( , ) | ( , ) , 0 （3）如果 D 关于原点对称，则 ( , ) x y D ，有 1 2 0, ( , ) ( , ), ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y − − = − = − − = 或 其中 1 2 D D, 同上. （4）如果 D 关于直线 y x = 对称，则 ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f y x dxdy = 以上前三种情况类似于奇、偶函数在对称区间上的定积分性质，（4）则是二重积分的特殊性 质. 例 设 D 2 2 = + ( , ) | 1 x y x y ，则 （1） ( 2 ) 2 2 D D D D − − = − − = x y dxdy dxdy xdxdy ydxdy . （2） 3 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) D D x y dxdy x y dxdy + = + ， 2 2 3 D x y x y x y = + ( , ) | 1, 0, 0 （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D f x f y dxdy dxdy f x f y f x f y = + + 由此，得： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D D D f x f y dxdy dxdy dxdy f x f y f x f y = = = + + . 问题 4 在什么情况下，用极坐标求二重积分可以简化计算？ 答：如果被积函数为 2 2 f x y ( ) + 或积分区域 D 为圆域，圆环域或扇形域时，利用极坐 标计算二重积分较简单. 例如： 1. 2 2 x y D e dxdy − − ， D : 2 2 2 x y R + 2. 2 2 D x y dxdy + ， D : 2 2 y y x x y x = = + = 0, , 2 所围成. 3. arctan D y dxdy x D : 2 2 1 4,0 + x y y x . 都适合用极坐标计算,解答见典型例题部分的例 8
特别地因第1题中的积分e女不能用初等函数表达所以若用直角坐标计算算不出结果 问题5在什么情况下,用三重积分的“先二后一”法计算比较方便? 答:“先二后一”法是将三重积分∫xy)d先化为求关于某两个变量的二重积 分,再求另一个变量的单积分的方法 ∫(xy,=)h=xy)d 这是先求关于变量x,y的二重积分,再求关于z的单积分的“先二后一”法若被积函数与 x,y无关,或者f(x,y,=)ddhy容易计算时,用上述方法比较方便 例如,「=g锥面 平面z=1,z=2围成 被积函数与x,y无关,介于2=1与=2之间,V∈[2],D()为平行于xoy面的锥 面g的截面(圆),即D():x2+y2≤x2,其面积为丌2,故 dz l dxdy 2d=
特别地,因第1题中的积分 2 x e dx − 不能用初等函数表达,所以若用直角坐标计算,算不出结果. 问题 5 在什么情况下，用三重积分的“先二后一”法计算比较方便？ 答：“先二后一”法是将三重积分 f x y z d ( , , ) 先化为求关于某两个变量的二重积 分，再求另一个变量的单积分的方法. 2 1 ( ) ( , , ) ( , , ) c c D z f x y z dv dz f x y z dxdy = 这是先求关于变量 x y, 的二重积分，再求关于 z 的单积分的“先二后一”法.若被积函数与 x y, 无关，或者 ( ) ( , , ) D z f x y z dxdy 容易计算时，用上述方法比较方便. 例如， 2 z dv : 锥面 2 2 z x y = + ，平面 z z = = 1, 2 围成. 被积函数与 x y, 无关， 介于 z =1 与 z = 2 之间， z 1,2， D z( ) 为平行于 xoy 面的锥 面 的截面（圆），即 D z( )： 222 x y z + ，其面积为 2 z ， 故 2 2 2 2 2 2 1 1 D z( ) z dV z dz dxdy z z dz = = 2 4 1 31 5 = = z dz