第十二章 微分方程
第十二章 微分方程
引宣 为了研究事物的运动变化规律,必须建立 描述变化规律的函数关系.然而在许多实际 问题中,有关变量之间的函数关糸往往不能 直接建立,只能根据问题所给的条件,得到 合有自变量与未知函数及其导数(微分)的关 糸式。这样的关糸式就叫微分方程
引 言 问题中, 有关变量之间的函数关系往往不能 直接建立，只能根据问题所给的条件, 得到 含有自变量与未知函数及其导数 (微分) 的关 系式. 这样的关系式就叫微分方程. 为了研究事物的运动变化规律,必须建立 描述变化规律的函数关系. 然而在许多实际
已知导函数∫(x),求原函数y=F(x) 或不定积分∫f(x)=F(对)+C)的问题 实际上就是求解最简单的微分方程=/(x) 的问题函数y=F(x)就是微分方程的解 根据微分方程,找出未知函数,就是解 微分方程问题利用积分方法求解微分方程 是常用的解析方法
已知导函数 f x y F x ( )，求原函数 = ( ) (或不定积分 f x dx F x C ( ) = + ( ) ) 的问题， 实际上就是求解最简单的微分方程 f (x) dx dy = 的问题. 函数 y F x = ( )就是微分方程的解. 利用积分方法求解微分方程 根据微分方程，找出未知函数，就是解 微分方程问题. 是常用的解析方法
实际问题中,很多微分方程无法用解析 方法求解,而是要用數值解法求出近似解 本章主要介绍微分方程的一些基本概念 和几种常用的微分方程的解析解法 本章的任务: 1.学会建立简单的微分方程; 2.用解析方法求解几类傲分方程
实际问题中，很多微分方程无法用解析 本章主要介绍微分方程的一些基本概念 和几种常用的微分方程的解析解法. 方法求解，而是要用数值解法求出近似解. 本章的任务： 1.学会建立简单的微分方程; 2.用解析方法求解几类微分方程
s1徼分方程的基本概念 引例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任 点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线 的方程 解设所求曲线方程为y=y(x), 未知函数y=y(x)应满足两个条件: y 2x()当x=时,y=2(2)
§1 微分方程的基本概念 M x y ( , ) 解 设所求曲线方程为y y x = ( ), 未知函数y y x = ( )应满足两个条件： 2 1( ) dy x dx = 当x y = 1 =2 2 时， ( ) 引例1 一曲线通过点 (1 2，)， 且在该曲线上任 一点 处的切线的斜率为 2 , x 求这曲线 的方程
小y (1)求y=y(x) 当x=时,p=2,(2) 把(1)式两端积分,得 =|2xx 即y=x2+C(3 其中C是任意常数,(3)也称为积分曲线族
( ) ( ) 2 1 1 2 2 dy x dx x y = = = 当 时， ， 求y y x = ( ) 把(1)式两端积分，得 y xdx = 2 ( ) 2 即y x C = + 3 其中C是任意常数，(3)也称为积分曲线族
y=x2+C(3)当x=时,y=2,(2) 把(2)代入(3)式,得2=12+C 解得C=1, 把C=1代入(3)式, 即得所求曲线方程: J=x-+1 图像称为积分曲线
( ) 2 y x C = + 3 2 2 1 = + C 把 C = 1 代入(3)式， ( ) 2 y x = + 1 4 X Y (1,2) 把(2)代入(3)式，得 图像称为积分曲线. 即得所求曲线方程： 解得 C = 1， 当x y = = 1 2 2 时， ， ( )
引例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行 驶;当制动时列车获得加速度-04m/s2。问 制动后多少时间列车才能停住,以及列车在 这段时间里行驶了多少路程?
引例2 列车在平直线路上以 的速度行 驶；当制动时列车获得加速度 。问 制动后多少时间列车才能停住，以及列车在 这段时间里行驶了多少路程？ 2 − 0.4m /s 20m/s
解:设列车在开始制动后t秒时行驶了S米 根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数 s=s(1),应满足关系 0.4 此外,未知函数S=S(t)还应满足下列条件: 当t=0时,s=0,U ds =20(6
t s s s t = ( )， ( ) 2 2 0.4 5 d s dt = − 此外，未知函数 s = s(t) 还应满足下列条件： 0, 20 6( ) ds t s dt 当 =0时， = = = 根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数 应满足关系 式
ds=0.4(5)当t=0时,s=0,D==20( ds dt 把(5)式积分一次,得 大、d=-04+C1(7) 再积分一次得 2+C1t+C2(8) 这里C1,C2都是任意常数。 把(6)分别代入(7),(8)式,可得 C1=20,C,=0
0.4 7 1 ( ) ds t C dt = = − + 把(5)式积分一次，得 ( ) 2 0.2 8 1 2 s t C t C = − + + 这里 C C1 2 , 都是任意常数。 再积分一次得 ( ) 2 2 0.4 5 d s dt = − 0, 20 6( ) ds t s dt 当 =0时， = = = 把(6)分别代入(7),(8)式，可得 C C 1 2 = = 20, 0