释疑解难多元函数微分学 问题1(1)已知f(xy)=x2+y2-x,求f(x-y,x+y) (2)已知f(x-yx+y)=x2+3y3,求f(xy) 【分析】上述两类问题互为反问题 (1)将x,y的位置用x-y,x+y代替即可 f(x-yx+y)=(x-y)+(x+y)-(x-y)(x+y)=x2+3y )可令m=x-xy=x+y,由此解出x=+,y="=“,于是 =--l+1 也可用配方将x2+3y2变为(x-y),(x+y)的表达式 问题2下列说法正确吗? (1)当动点(x,y)沿着任意一条直线趋向于点(00)时,函数f(xy)的极限存在且等于 A,则Iim∫(x,y)存在 y→ 答:不能例如f(xy)=,当动点(x)沿着任意一条直线y=k(为任意常 Jx 数)趋向于点(0,0)时,有!mf(x,y)=lim 0 x0x2(x2+k2 但当(x)沿抛物线y=x趋向于(0)时,有lm/(xy)=lmx=1=0 故imf(x,y)不存在 →y0 注根据二重极限的定义在点P(x,)的邻域内动点P(xy)趋向于P(x0,y)的方 式是任意的于是常常用动点取不同的路径趋向于(x,y0),使其有不同极限的方法来判定 函数极限不存在 (2)如果一元函数∫(x,y)在y处连续,f(x,y)在x处连续,那末,二元函数 f(x,y)在点(x,y)处是连续的 答:不正确因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此当一个变
释疑解难 多元函数微分学 问题 1. (1)已知 ( ) 2 2 f x y x y xy , = + − ,求 f x y x y ( − + , ) . (2)已知 ( ) 2 3 f x y x y x y − + = + , 3 ，求 f x y ( , ). 【分析】上述两类问题互为反问题. (1) 将 x y, 的位置用 x y x y − + , 代替即可. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 f x y x y x y x y x y x y x y − + = − + + − − + = + , 3 (2) 可令 u x y v x y = − = + , ,由此解出 , 2 2 u v v u x y + − = = ,于是 ( ) 2 2 2 2 , 3 2 2 u v v u f u v u uv v + − = + = − + ( ) 2 2 = − + f x y x xy y , 也可用配方将 2 2 x y + 3 变为 ( x y x y − + ),( ) 的表达式. 问题 2 下列说法正确吗? (1)当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线趋向于点 (0,0) 时,函数 f x y ( , ) 的极限存在且等于 A,则 ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → 存在. 答：不能.例如 ( ) 2 4 2 , x y f x y x y = + ,当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线 y kx = ( k 为任意常 数)趋向于点 (0,0) 时,有 ( ) ( ) 3 0 2 2 2 0 lim , lim 0 x x y kx kx f x y x x k → → = = = + 但当 ( x y, ) 沿抛物线 2 y x = 趋向于 (0,0) 时,有 ( ) 2 4 4 4 0 0 1 lim , lim 0 2 x x y x x f x y → → x x = = = + 故 ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → 不存在. 注 根据二重极限的定义,在点 P x y ( 0 0 , ) 的邻域内,动点 P x y ( , ) 趋向于 P x y ( 0 0 , ) 的方 式是任意的.于是常常用动点取不同的路径趋向于 ( x y 0 0 , ) ,使其有不同极限的方法来判定 函数极限不存在. (2)如果一元函数 f x y ( 0 , ) 在 0 y 处连续, f x y ( , 0 ) 在 0 x 处连续,那末,二元函数 f x y ( , ) 在点 ( x y 0 0 , ) 处是连续的. 答：不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变
量固定时,二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式(即点(x,y)沿平行于坐标轴的 方式趋于点(x2y)时)的极限存在,并不能保证(xy)以任何方式趋向于(x,y)的极限存 在且等于f(x,y),就是说不能保证f(xy)的连续性例如函数 x2+y2≠0 f(x,y)=x+y x+ 元函数f(0,y)=0在y=0连续,f(x0)=0在x=0连续但f(xy)在(0)处不连 续事实上,当动点(x,y)沿着任意一条直线y=kx趋向于点(0,0)时,有 limf(x,y)=lim k 随k变化 x+0x2(1+k2)1+k 所以极限不存在,从而不连续 问题3下列运算是否正确? liml lim 野)0 答:不正确.因为lim 是二重极限,而 lim/lim 是二次极限,事实 上lim 是不存在的,参考问题2(2)中的函数 问题4下列运算是否正确? 设=f(x,y)= e sindy+(x-1)acam,求厂(L,f(y) 解∵∫(x)=(x-) arctan√x 对x求导得f(x.)= arctan√F+x-1 f(1)=z 1+x f(ly)=esinry,:f(1, y)=er costy 答:正确.事实上偏导数就是这样定义的 问题5下列命题是否正确? (1)若f(x,y)在(x,y)偏导数存在则f(x,y)在(x,y)连续
量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点 ( x y, ) 沿平行于坐标轴的 方式趋于点 ( x y 0 0 , ) 时）的极限存在,并不能保证 ( x y, ) 以任何方式趋向于 ( x y 0 0 , ) 的极限存 在且等于 f x y ( 0 0 , ) ,就是说不能保证 f x y ( , ) 的连续性.例如函数 ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 0 0 xy x y f x y x y x y + = + + = ， 一元函数 f y (0, 0 ) = 在 y = 0 连续, f x( ,0 0 ) = 在 x = 0 连续,但 f x y ( , ) 在 (0,0) 处不连 续.事实上, 当动点 ( x y, ) 沿着任意一条直线 y kx = 趋向于点 (0,0) 时, 有 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 lim , lim 1 1 x x y kx kx k f x y → → x k k = = = + + 随 k 变化 所以极限不存在,从而不连续. 问题 3 下列运算是否正确？ 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim lim 0. x y x y xy xy → → → x y x y → = = + + 答： 不正确.因为 2 2 2 2 0 0 0 0 lim lim lim x y x y xy xy → → → x y x y → + + 是二重极限，而 是二次极限， 事实 上 2 2 0 0 lim x y xy → x y → + 是不存在的，参考问题 2（2）中的函数. 问题 4 下列运算是否正确? 设 ( , sin 1 arctan , ) ( ) x x z f x y e y x y = = + − 求 f f y x y (1,1 , 1, ) ( ). 解 f x x x ( ,1 1 arctan ) = − ( ) , 对 x 求导,得 ( ) ( ) 1 1 ,1 arctan 1,1 1 4 2 x x x f x x f x x − = + = + . f y e y f y e y (1, sin , 1, cos ) = = y ( ) 答：正确.事实上偏导数就是这样定义的. 问题 5 下列命题是否正确? (1)若 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 偏导数存在,则 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 连续
x2+y2≠0 答:不正确,例如f(x,y)=x2+y2 在(0)处,f(.0)=m(:o)-/0=0(0o)=lm2(0y)-/0.)=0 都存在但f(xy)在(0,0)处不连续(见思考题2(2)的例) 注对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论 (2)f(x,y)在(xny)可微的充分必要条件是f(x,y)在(x,y)偏导数存在 答:不正确.对一元函数来说可微与可导是等价的,但多元函数不同.偏导数存在是可 微的必要条件,而不是充分条件 若f(x,y)在(xy)可微则f(xy)在(x,y)偏导数存在且 d==fr(x, y)dx+f(x,y)ay 反之,不然例如上题中的f(xy)在(0,)处偏导数都存在,但不连续,从而也就不可微 但是,若f(xy)在(xy)偏导数连续则∫(x,y)在(x,y)可微 (x+y)sinI x+y2≠0 反之不然例如f(x,y) 在(0,0)处可微,但偏导数 在(00)不连续(读者自己证明) 问题6有人说偏导数f(x,y)及f,(x,y)分别就是函数f(x,y)在M0(x2,y)处沿 Ox轴方向(1=1)及沿Oy轴方向(=)的方向导数这种说法对吗? 答:上述说法不对 事实上,依方向导数定义,当l=i时,在M。处 d,lim f (=,+Ax, yo)-/(Xo o2=, Jim /(xo+Ax, yo)-f(lo, yo) 而 = f(x0+△x,y)-f(x0,y0) 由此可见,前者是单侧极限,后者是双侧极限,两者并非完全一样若一存在,则沿l=i 方向的方向导数二也存在,且两者相等但反之,若存在,则一可能不存在例如
答：不正确. 例如 ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 0 0 xy x y f x y x y x y + = + + = 在 (0,0) 处， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ,0 0,0 0, 0,0 0,0 lim 0, 0,0 lim 0 x x x y f x f f y f f f → → x y − − = = = = 都存在,但 f x y ( , ) 在 (0,0) 处不连续(见思考题 2 (2)的例). 注 对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论. (2) f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 可微的充分必要条件是 f x y ( , ) 在 ( x y 0 0 , ) 偏导数存在. 答：不正确. 对一元函数来说,可微与可导是等价的,但多元函数不同. 偏导数存在是可 微的必要条件,而不是充分条件. 若 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 可微,则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 偏导数存在,且 dz f x y dx f x y dy = + x y ( , , ) ( ) 反之,不然.例如上题中的 f x y ( , ) 在 (0,0) 处偏导数都存在，但不连续，从而也就不可微. 但是，若 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 偏导数连续,则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 可微. 反之,不然.例如 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 0 , 0 0 x y x y f x y x y x y + + = + + = 在 (0,0) 处可微，但偏导数 在 (0,0) 不连续(读者自己证明). 问题 6 有人说偏导数 0 0 ( , ) x f x y 及 0 0 ( , ) y f x y 分别就是函数 f x y ( , ) 在 0 0 0 M x y ( , ) 处沿 Ox 轴方向 (l i = ) 及沿 Oy 轴方向 (l j = ) 的方向导数.这种说法对吗？ 答：上述说法不对. 事实上，依方向导数定义，当 l i = 时，在 M0 处 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y l x → + − = 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y →+ x + − = 而 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y x x → + − = . 由此可见，前者是单侧极限，后者是双侧极限，两者并非完全一样.若 z x 存在，则沿 l i = 方向的方向导数 z l 也存在，且两者相等.但反之，若 z l 存在，则 z x 可能不存在.例如
=x+y2在点(00)处沿1=1方向9=1,而不存在 需特别指出的是:沿Ox轴负向4= a,, Jim f(%o+Ax, yo)- y o2 o= lim /(xo+Ax)-(o,yo)_az (这里假设f(x,y)在M0处的偏导数与方向导数都存在) 类似地,沿方向l=j的方向导数与也不完全一样 问题7用拉格朗日乘数法求条件极值问题,一般都转化为求解一个多变量的方程组, 但解此方程通常会遇到困难,有没有一般的方法? 答:用拉格朗日乘法求条件极值,依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的,解 法的技巧性较高,需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法下面举例说明常见的解题技 例1求函数=x2在约束条件+-+-=-(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值 解设拉格朗日函数为F(x,y,z,)=xz+(-+-+---)令 x y= a =XI 0 1111 F y = a 以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论,不具体求出极值 方法一注意到前三个方程的第一项是x、y、Z三个变量中两个的乘积,如果各 方程乘以相应缺少的那个变量,那么就都成为xyz再消项.即 (1)×x:xz (2)xx:xyz y (3)×x:x (7) (1)+(2)+(3)得3xy2-A(-+-+-)=0
2 2 z x y = + 在点 (0,0) 处沿 l i = 方向 1 z l = ，而 z x 不存在. 需特别指出的是：沿 Ox 轴负向 1 l i =− ， 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y l x → + − = 0 0 0 0 ( ) ( , ) lim x f x x f x y z →− x x + − = = − − ， （这里假设 f x y ( , ) 在 M0 处的偏导数与方向导数都存在）. 类似地，沿方向 l j = 的方向导数与 z y 也不完全一样. 问题 7 用拉格朗日乘数法求条件极值问题，一般都转化为求解一个多变量的方程组， 但解此方程通常会遇到困难，有没有一般的方法？ 答：用拉格朗日乘法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的，解 法的技巧性较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法.下面举例说明常见的解题技 巧. 例1 求函数 u xyz = 在约束条件 1 1 1 1 ( 0, 0, 0, 0) x y z a x y z a + + = 下的极值. 解 设拉格朗日函数为 1 1 1 1 F x y z xyz ( , , , ) ( ). x y z a = + + + − 令 2 2 2 ' 0, (1) ' 0, (2) ' 0, (3) 1 1 1 1 ' 0, (4) x y z F yz x F xz y F xy z F x y z a = − = = − = = − = = + + − = 以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论，不具体求出极值． 方法一 注意到前三个方程的第一项是 x、y、z 三个变量中两个的乘积，如果各 方程乘以相应缺少的那个变量，那么就都成为 xyz 再消项．即 (1) : 0, x xyz x − = （５） (2) : 0, x xyz y − = （６） (3) : 0, x xyz z − = （７） (1)+(2)+(3) 得 1 1 1 3 ( ) 0. xyz x y z − + + = （８）
把(4)代入(8),得xz=.再把它分别代入(5)、(6)、(7)式便得x=y==3a 方法二把(1)和(2)式改写为yz= 因x,y,z都不等于0,两式相除,立即消去λ及二,得到y=x, 同理对(2)与(3)作类似处理,得到y=z,从而x=y=z 再代入(4),便得x=y==3a 方法三先解出,把(4)代入(8)式,得λ=3ayz 再把λ分别代入(1),(2),(3)式便得x=y=z=3a 方法四由于这个问题的特殊性,从目标函数的构成及约束条件看,三个变量 x,y二呈轮换对称,由此必然有x=y=二,再代入约束条件就得x=y=z=3a
把（４）代入（８），得 . 3 xyz a = 再把它分别代入（５）、（６）、（７）式便得 x y z a = = = 3 . 方法二 把（１）和（２）式改写为 2 yz . x = 2 xz . y = 因 x y z , , 都不等于０，两式相除，立即消去 及 z ，得到 y x = ， 同理对（２）与（３）作类似处理，得到 y z = ，从而 x y z = = ． 再代入（４），便得 x y z a = = = 3 . 方法三 先解出 ，把（４）代入（８）式，得 = 3 . axyz 再把 分别代入（１），（２），（３）式便得 x y z a = = = 3 . 方法四 由于这个问题的特殊性，从目标函数的构成及约束条件看，三个变量 x y z , , 呈轮换对称，由此必然有 x y z = = ，再代入约束条件就得 x y z a = = = 3
