第九章习题课 重积分
第九章 习题课 重积分
基本要求 1.理解重积分的概念 2.了解重积分的性质,明确重积分是定积 分的推广 3.掌握二重积分的计算方法(直角坐标 极坐标),会计算简单的三重积分(直角 坐标、柱面坐标、球面坐标) 会用重积分求一些几何量和物理量
一 基本要求 1．理解重积分的概念. 2．了解重积分的性质，明确重积分是定积 分的推广. 3．掌握二重积分的计算方法（直角坐标﹑ 极坐标），会计算简单的三重积分（直角 坐标﹑柱面坐标﹑球面坐标）. 4．会用重积分求一些几何量和物理量
二.要点提示 重积分的计算 二重积分是定积分的推广,其计算 方法是化为二次积分来计算。三重积分 可以化为一个单积分和一个二重积分或 三次积分来计算
二.要点提示 1.重积分的计算 二重积分是定积分的推广，其计算 方法是化为二次积分来计算。三重积分 可以化为一个单积分和一个二重积分或 三次积分来计算
二重积分 a.在直角坐标系下 y= y,X 若积分区域D可表示为 X-型区域: 2=yi y(x)≤y≤y2(x)a≤x≤b 则(先y后x) ∫f(x,y)xd=∫ajf(x,yh
• 二重积分： a. 在直角坐标系下 ▪ 若积分区域D可表示为 X-型区域: 则 （先y后x） y1 (x) y y2 (x),a x b ( ) ( ) ( ) ( ) f x y dxdy dx f x y dy y x y x b D a = 2 1 , , a b y y (x) = 2 y y (x) = 1
若积分区域D可表示为Y型区域: D:x(y)≤x≤x2(y), cssd 则(先x后y) x,yard ∫∫f(x,y D X1 若D不是X型、Y-d 型区域,可由重积分 x=x() X=x 的可加性来计算
▪ 若积分区域D可表示为Y-型区域： 则(先x后y) ▪ 若D 不是X-型、Y- 型区域，可由重积分 的可加性来计算. ( ) ( ) ( ) ( ) f x y dxdy dy f x y dx x y x y d D c = 2 1 , , c d x x (y) = 1 x x (y) = 2 ( ) ( ) 1 2 D x y x x y c y d : ,
在极坐标下 (一般总是先对r积分后对积分): 若D不包含极点, D:FSrS2,as6≤B 则 0 fs(, do=de f(cose, rsin Oyrdr D (0
b. 在极坐标下 （一般总是先对r 积分后对 积分）: ▪ 若D不包含极点， D: 则 ( ) ( ) ( ) ( ) f x y d d f r r rdr r D r = 2 1 , cos , sin ( ) 1 r = r ( ) 2 r = r 0 1 2 r r r ,
若D包含极点 D则 0≤r≤r(0)0≤0≤2 f(x, wHo=def(cose,rsin Oydr
▪ 若D包含极点. D: 则 0 r r( ),0 2 ( ) ( ) ( ) f x y d d f r r rdr r D = 2 0 0 , cos , sin o r = r( )
交换积分次序 可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 般步骤为 所给二次积分将D表示为不等式 画出积分域—D的新的不等式表示 新的二次积分
• 交换积分次序 可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式 画出积分域 D 的新的不等式表示 新的二次积分
三重积分: 设=f(xy,在空间有界区域Ω上连续, a.直角坐标系 21(x 2(x,y) y(x)≤y≤y2(x) asxsb b y2(x) 二2(x,y) f(x,y, z)da n1(x) 1(x,y
• 三重积分： 设 在空间有界区域 上连续， a. 直角坐标系 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) z x y z z x y y x y y x a x b u f x y z = ( , , ) : f x y z dxdydz ( , , ) 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) b y x z x y a y x z x y = dx dy f x y z dz
先二后 设Ω在z轴上的投影区间 为a,月,有界闭区域D(=) 为平行于xO面的g2的任 z() 意截面, 图9-5 x2y,2 f(x, y, z)dxdy z D(二)
• 先二后一 设 在 轴上的投影区间 为 ，有界闭区域 为平行于 面的 的任 意截面，则 ( ) ( , , ) ( , , ) D z f x y z dv f x y z dxdy dz = z , xoy D z( )