第二章习题课 导数与微分
第二章 习题课 导数与微分
基本要求 1理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率理 解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和 法线方程.了解函数的可导与连续性的关系 2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法 则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数 的导数 3了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、 阶导数的求法,会求简单函数的n阶导数 4会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶 导数 5理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分
一 基本要求 1 理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率.理 解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和 法线方程.了解函数的可导与连续性的关系. 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法 则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数 的导数. 3 了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二 阶导数的求法,会求简单函数的 阶导数. 4 会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶 导数. 5 理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分. n
二要点提示 1导数定义的几种形式 若f(x)在x处函数增量与自变量增量之比(当自变 量增量趋于零时)的极限存在,则∫(x)在x可导.于 是f(x)可表达成多种形式: f(x)=lim,其中Ax=x-x △x f(x0+△x)-f(x0) f(xo=lim f(x)-f(x0) f(x)= △x→>0 △x X-x f(o-f(o-a) f(ro)=lim f(xo+h)-f(xo2 f(o) h>0 a→>0 C
二 要点提示 1 导数定义的几种形式 若 在 处函数增量与自变量增量之比(当自变 量增量趋于零时)的极限存在,则 在 可导.于 是 可表达成多种形式： ,其中 f x( ) 0 x f x( ) 0 x 0 f x'( ) 0 0 '( ) lim x y f x → x = 0 = − x x x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x f x → x + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x → x x − = − 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) limh f x h f x f x → h + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim f x f x f x → − − =
2复合函数的求导法则 应用法则时,应首先分析所给复合函数的复 合结构,认清它是由哪些简单函数复合而成,可从 外向里一层一层地求导例如 y=figo(x)li y=f"{gp(x)}·{gq(x川 =f"{glq(x)}·g"Iq(x)·q(x) =f"{g|q(x)}·g"Iq(x)l·q'(x)
2 复合函数的求导法则 应用法则时,应首先分析所给复合函数的复 合结构,认清它是由哪些简单函数复合而成,可从 外向里一层一层地求导.例如: y f g x = { [ ( )]} ' y'= f '{g[(x)]}{g[(x)]} ' = f '{g[(x)]} g'[(x)][(x)] = f '{g[(x)]} g'[(x)]'(x)
3分段函数的导数 在对分段函数求导时分段点处要用导数的 定义或者左、右导数来确定该点的导数是否存 在或求导
3 分段函数的导数 在对分段函数求导时,分段点处要用导数的 定义或者左、右导数来确定该点的导数是否存 在或求导
三问题与思考 问题1设函数y=f(x)在点x=0可导,且f(0)=0, 则一定有f(0)=0,对吗? 答不一定例如f(x)=sinx,f(0)=0,而 f(O)= cos x=1,错误的原因是将f(x)与 f(x)的含义混淆了前者表示f(x)在点x的 导数,后者是函数值(常数)的导数,必为0
三 问题与思考 问题1 设函数 在点 可导,且 , 则一定有 ,对吗？ y f x = ( ) x = 0 f (0) 0 = f '(0) 0 = 答:不一定.例如 , ,而 ,错误的原因是将 与 的含义混淆了.前者表示 在点 的 导数,后者是函数值(常数)的导数,必为0. f x x ( ) sin = f (0) 0 = 0 '(0) cos | 1 x f x = = = 0 f x'( ) ' 0 [ ( )] f x f x( ) 0 x
问题2如果f(x)在x不可导那么曲线y=f(x) 在(x2f(x)处是否一定不存在切线? 答不一定例如f(x)=x在x=0处不可导但曲 线y=√在(O,0)处有铅直切线y轴,即x=0
问题2 如果 在 不可导,那么曲线 在 处是否一定不存在切线？ f x( ) 0 x y f x = ( ) 0 0 ( , ( )) x f x 答:不一定.例如 在 处不可导,但曲 线 在 处有铅直切线 轴,即 . 3 f x x ( ) = x = 0 3 y x = (0,0) y x = 0
思考:曲线y=f(x)在(x02f(x)处有切线, 则f(x)在x处一定可导吗?
思考：曲线 在 处有切线， 则 在 处一定可导吗？ y f x = ( ) 0 0 ( , ( )) x f x f x( ) 0 x
x3x≥1 问题3设函数f(x)={3 用下列方法 x2x1 f∫(x) 2xx<1
问题3 设函数 ,用下列方法 求 正确吗？ 3 2 2 , 1 ( ) 3 , 1 x x f x x x = f x'( ) 解:当 时,有 ; 当 时, 有 , x 1 2 f x x '( ) 2 = x 1 f x x '( ) 2 = 2 2 , 1 '( ) 2 , 1 x x f x x x =
答不正确在分段点x=1处,由于不连续,所以 f(x)在x=1处不可导在分段函数的分段处的 导数应该用单侧导数来考察,事实上 r(0)=lm()()=1m32 3=21m(x-1)(x2+x+ 2 x→>1+0 x→>1+0 x-13x→1+0 2x 而∫(1)=lim f(x)-f(1) Im 3不存在 1-0 f(x)在x=1处不可导正确答案应是 2. 2 x2,x>1 f(x)=12x,x<1 不存在,x=1
答:不正确.在分段点 处,由于不连续,所以 在 处不可导.在分段函数的分段处的 导数,应该用单侧导数来考察,事实上 x =1 f x( ) x =1 3 2 ' 1 0 1 0 1 0 2 2 ( ) (1) 2 ( 1)( 1) 3 3 (1) lim lim lim 2 x x x 1 1 3 1 x f x f x x x f x x x + → + → + → + − − − + + = = = = − − − 而 ' 1 0 1 0 2 2 ( ) (1) 3 (1) lim lim x x 1 1 x f x f f x x − → − → − − − = = − − 不存在. f x( ) 在 x =1 处不可导.正确答案应是 2 2 , 1 '( ) 2 , 1 , 1 x x f x x x x = = 不存在