第三章习题课 中值定理及导数的应用
第三章 习题课 中值定理及导数的应用
基本要求 1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理,会用他们证明 些等式或不等式。 2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论, 会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。 3、熟练掌握洛必达法则,并利用它求未定式的极限。 4、理解函数单调性与导数正负号的关系,会判断函数 的单调性 5、掌握极值的概念和求法,掌握最大(小)值的求法。 6、了解函数图形的凹凸性与拐点的概念,并会判断曲 线的凹凸性与拐点。 7、了解微分作图法
一 基本要求 1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会用他们证明 一些等式或不等式。 2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论， 会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式。 3、熟练掌握洛必达法则，并利用它求未定式的极限。 4、理解函数单调性与导数正负号的关系，会判断函数 的单调性。 5、掌握极值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。 6、了解函数图形的凹凸性与拐点的概念，并会判断曲 线的凹凸性与拐点。 7、了解微分作图法
二要点提示 1、洛必达法则 若在自变量某一变化过程中(x→x或x), (1)g(x)为(0)或()型未定式; (2)f(x),g(x)可导,且8(x)≠0; f'(x) (3)m 8(x)存在或∞ 则1f(x)1f(x) g(x)
二 要点提示 1、洛必达法则 若在自变量某一变化过程中( 或 )， （1） 为（ ）或（ ）型未定式； （2） ， 可导，且 ； （3） 存在或 ； 则 0 x → x x → ( ) ( ) lim g x f x 0 0 f (x) g(x) g (x) 0 ( ) ( ) lim g x f x ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x =
运用洛必达法则求未定式极限时应该注意下述两 点 (1)先检查法则的条件是否具备,特别要注意极 限是否未定式,mnf(x)是否存在或∞。 (2)配合使用其它求极限的方法,例如,化简 分子(分母)有理化、先求出非零因式的极限, 等价无穷小替代等,以使运算简便 注:对于(0.·∞)、(∞-∞汲09,∞,1型未定式,可通 过变形转化为(0)或(型,再运用洛必达法 则
运用洛必达法则求未定式极限时应该注意下述两 点： (1)先检查法则的条件是否具备，特别要注意极 限是否未定式， 是否存在或 。 (2)配合使用其它求极限的方法，例如，化简、 分子(分母)有理化、先求出非零因式的极限， 等价无穷小替代等，以使运算简便。 注：对于 及 ， ， 型未定式，可通 过变形转化为( )或( )型，再运用洛必达法 则。 ( ) ( ) lim g x f x (0 ),( − ) 0 0 0 1 0 0
2、判定函数单调性的方法 若∫(x)>0,x∈(ab),则y=f(x)在[ab上单调增 加 若f(x)<0,x∈(ab),则y=f(x)在[ab]上单调减
2、判定函数单调性的方法 ◼ 若 ， ，则 在 上单调增 加； ◼ 若 ， ，则 在 上单调减 少。 f (x) 0 x (a,b) y = f (x) [a,b] f (x) 0 x (a,b) y = f (x) [a,b]
3、判定曲线凹凸的方法 若f"(x)>0,x∈(ab),则f(x)在ab1上的图形 是凹的 若f"(x)<0,x∈(a,b),则f(x)在[ab上的图形 是凸的
3、判定曲线凹凸的方法 ◼ 若 ， ，则 在 上的图形 是凹的； ◼ 若 ， ，则 在 上的图形 是凸的。 f (x) 0 x (a,b) f (x) [a,b] f (x) 0 x (a,b) f (x) [a,b]
4、极值 可能极值点为:驻点和不可导点 判定极值的方法: (1)第一种充分条件:设x为可能极值点,考察x0 两侧导数f(x)是否改变符号。 (2)第二种充分条件:若/(x)≠0,f(x0)=0,则 当时f"(x)0,f(x)在x处取得极小值。 注:当f"(x)=0时,方法失效
4、极值 可能极值点为：驻点和不可导点。 判定极值的方法： (1)第一种充分条件：设 为可能极值点，考察 两侧导数 是否改变符号。 (2)第二种充分条件：若 ， ，则 当时 ， 在 处取得极大值； 当时 ， 在 处取得极小值。 注：当 时，方法失效。 f (x0 ) 0 0 x 0 x f (x) f (x0 ) = 0 f (x0 ) 0 f (x) 0 x f (x0 ) 0 f (x) 0 x f (x0 ) = 0
5、拐点 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为 曲线的拐点(xn,f(x) 可能的拐点为:使f(x)=0和f(x)不存在时 曲线上相应的点(x,f(x) 判定(xnf(x)是拐点的方法:考察x左右两 侧二阶导数f"(x)是否改变符号
5、拐点 ◼ 连续曲线 上凹弧与凸弧的分界点称为 曲线的拐点( )。 ◼ 可能的拐点为：使 和 不存在时 曲线上相应的点( )。 ◼ 判定( )是拐点的方法：考察 左右两 侧二阶导数 是否改变符号。 y = f (x) , ( ) 0 0 x f x f (x0 ) = 0 f (x) x, f (x) , ( ) 0 0 x f x 0 x f (x)
三问题与思考 问题1、下面例题方法对吗? (1) 2e lim xex= lim - m =0 2 r-sin x I-cos x (2) x→>∞0x+ Sin xx→>∞1+cosx 不存在
三 问题与思考 问题1、下面例题方法对吗？ （1） （2） 不存在。 0 2 lim 1 2 lim 1 lim lim 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 = = − − = = → → → → x e x e x x e x e x x x x x x x x x x x x x x x x 1 cos 1 cos lim sin sin lim + − = + − → →
答:均为错误 (1)不是未定式事实上me 1,∴ lim xex x→00 (2)应为 sInx lim x-sin x lim x→>x+ sIn x x>∞ 1+-sin x X ( lim sin x=0) 说明:洛必达法则不是万能的
答：均为错误。 (1)不是未定式.事实上 ， 。 (2)应为 （ ） 说明：洛必达法则不是万能的。 lim 1 0 1 2 = = → e e x x = → 2 1 lim x x xe 1 sin 1 1 sin 1 1 lim sin sin lim = + − = + − → → x x x x x x x x x x sin 0 1 lim = → x x x