目录 第四章集对分析方法及应用 100 第一节三次数学危机与不确定性 100 第二节不确定性理论 102 第三节集对分析原理. 105 、集对基本概念 105 二、集对分析数学表达形式 106 、联系度确定 四、联系数确定 112 第四节水文水资源集对分析 116 、问题的提出 116 水文水资源集对分析主要内容 ∴118 三、集对分析在水文分析计算中的应用 118 四、集对分析在水文水资源评价中的应用 五、集对分析在水文水资源预测中的应用.… 121 六、集对分析在水文水资源决策中的应用…. 121 七、小结与展望 122 第五节集对分析实例应用 123 、概述 123 集对分析评价模型 124 实例分析 126
99 目录 第四章 集对分析方法及应用 ............................................................................................100 第一节 三次数学危机与不确定性 ..................................................................................100 第二节 不确定性理论....................................................................................................102 第三节 集对分析原理....................................................................................................105 一、集对基本概念........................................................................................................105 二、集对分析数学表达形式 ........................................................................................106 三、联系度确定............................................................................................................108 四、联系数确定............................................................................................................112 第四节 水文水资源集对分析 ........................................................................................116 一、问题的提出............................................................................................................116 二、水文水资源集对分析主要内容.............................................................................118 三、集对分析在水文分析计算中的应用.....................................................................118 四、集对分析在水文水资源评价中的应用.................................................................119 五、集对分析在水文水资源预测中的应用.................................................................121 六、集对分析在水文水资源决策中的应用.................................................................121 七、小结与展望............................................................................................................122 第五节 集对分析实例应用 ............................................................................................123 一、概述........................................................................................................................123 二、集对分析评价模型 ................................................................................................124 三、实例分析................................................................................................................126
第四章集对分析方法及应用 第一节三次数学危机与不确定性 公元前5世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他 的一个学生考虑了如下问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少?结果发现这一长度既 不能用整数也不能用分数表示,而只能用√2表示,诞生了第一个无理数,也导致了人们认识 上的危机,史称“第1次数学危机”。 第1次数学危机告诉我们:确定中有不确定,“有理”中有“无理”。 第2次数学危机十七世纪初,微积分诞生,当时的微积分理论建立在无穷小分析之上 但什么是无穷小,无穷小量是不是零?无穷小分析是否合理?谁也说不清,由此引起数学界 长达100多年的争论,直到19世纪初,一些数学家才致力于微积分严格基础的建立,这一 争论,史称“第2次数学危机” 第2次数学危机告诉我们:无穷小具有不确定性。 第3次数学危机十九世纪下半叶,德国数学家康托尔( Georg Cantor,1845-1918)创立了 集合论,开始时遭到许多人的攻击,但最终为大家所接受。数学家们发现,从自然数与康托 尔集合论出发可建立起整个数学大厦,集合论因而成为现代数学的基石。 罗素悖论但在1903年,英国数学家罗素( bertrand russel,1872-1970)构造了一个集合S: S由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问:S是否属于S?根据排中律,一个元素 或者属于某个集合,或者不属于这个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己 是有意义的。就如我们问:我们自己是否属于自己? 对罗素问题的回答会陷入两难境地:如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S:反 之,如果S不属于S,同样根据定义,S属于S,无论如何都自相矛盾 罗素举了一个例子:理发师悖论 村上一个理发师贴出服务公告,宣称他为所有不为自己理发的人理发(设这些人组成集 合A),那么,理发师自己的头该由谁理发? 如果他不为自己理发,那么,理发师属于A:;但这样一来,理发师就不能给自己理发了, 也就不能属于A,那么,理发师自己的头究竞该由谁理发? “羊群中也可能围进了狼”罗素悖论的发现,说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾 这个矛盾是如此的显而易见,在构造一个集合时就存在于这个集合中,震动了当时的数学界, 正如著名的法国数学家庞加莱( Henri Poincare,1854-1912)所坦言,“我们围住了一群羊,然 而在羊群中也可能围进了狼”,史称“第3次数学危机”。 100多年来数学家们围绕集合论中的罗素悖论,开展了广泛的,长时期的激烈争论,纷 纷提出自己的解决方案,希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论,形成了逻辑主义、 直觉主义、形式主义三大数学流派,促进了现代数学的发展。 哥德尔不完全性定理。美国数学家哥德尔( Kurt godel,1906-1978)于1931年给出证明 100
100 第四章 集对分析方法及应用 第一节 三次数学危机与不确定性 公元前 5 世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他 的一个学生考虑了如下问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少？结果发现这一长度既 不能用整数也不能用分数表示，而只能用√2 表示，诞生了第一个无理数,也导致了人们认识 上的危机，史称“第 1 次数学危机”。 第 1 次数学危机告诉我们：确定中有不确定,“有理”中有“无理”。 第 2 次数学危机十七世纪初，微积分诞生，当时的微积分理论建立在无穷小分析之上， 但什么是无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析是否合理？谁也说不清，由此引起数学界 长达 100 多年的争论， 直到 19 世纪初，一些数学家才致力于微积分严格基础的建立，这一 争论，史称“第 2 次数学危机”。 第 2 次数学危机告诉我们：无穷小具有不确定性。 第 3 次数学危机十九世纪下半叶，德国数学家康托尔（Georg Cantor, 1845-1918）创立了 集合论，开始时遭到许多人的攻击，但最终为大家所接受。数学家们发现，从自然数与康托 尔集合论出发可建立起整个数学大厦，集合论因而成为现代数学的基石。 罗素悖论但在 1903 年，英国数学家罗素（bertrand russell ,1872-1970）构造了一个集合 S： S 由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问：S 是否属于 S？根据排中律，一个元素 或者属于某个集合，或者不属于这个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己 是有意义的。就如我们问：我们自己是否属于自己？。 对罗素问题的回答会陷入两难境地：如果 S 属于 S，根据 S 的定义，S 就不属于 S；反 之，如果 S 不属于 S，同样根据定义，S 属于 S，无论如何都自相矛盾。 罗素举了一个例子：理发师悖论 村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集 合 A），那么，理发师自己的头该由谁理发？ 如果他不为自己理发，那么，理发师属于 A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了， 也就不能属于 A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？ “羊群中也可能围进了狼” 罗素悖论的发现，说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾， 这个矛盾是如此的显而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界， 正如著名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然 而在羊群中也可能围进了狼” ，史称“第 3 次数学危机 ”。 100 多年来数学家们围绕集合论中的罗素悖论，开展了广泛的，长时期的激烈争论，纷 纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论，形成了逻辑主义、 直觉主义、形式主义三大数学流派，促进了现代数学的发展。 哥德尔不完全性定理。美国数学家哥德尔(Kurt Gödel，1906—1978)于 1931 年给出证明：
任何一个无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说,在同一个包含初等算术的形式系统中,“无 矛盾”和“完备”是不能同时满足的。 哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源,也是在联系数 中设置i的理论根据之 第3次数学危机告诉我们事物的确定性与不确定性对立统一。 如何客观地认识和处置确定性与不确定性的关系是三次数学危机引出的共性问题 第1次数学危机的启示是确定(的关系)与不确定(的关系)是一个确定一不确定系统, 单位正方形就是这样的一个确定一不确定系统。因为单位正方形的边长1是确定的,但这个 正方形的对角线长2是一个无限不循环小数:一个不能确定的数,这一点让人不可思议 第2次数学危机的启示是当一个无穷小趋于零的时候,它的起始位置与极限位置构成 个集对,无穷小在趋于零的过程中,要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶段,其中有 量变,也有质变,在什么位置发生质变具有不确定性,需要具体分析。 第3次数学危机的启示是描述同一个客观事物需要2个集合。就如我们需要2只眼睛看 东西、2个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只手干活、2条腿走路,而这是大自然的设计 也是罗素悖论给我们的启示。 如果有人问:集对分析从哪里来?可以回答:集对分析从3次数学危机中来,是2000 多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第1次数学危机意外地发现了确定中有不确定, 2000多年后的第3次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼”,充分表明不确定性与确定 性是天生的一对,历经2000多年风和雨,形影相随不分离 在罗素悖论中,如果用一个确定的集合A描述不能为自己理发的人,用另一个不确定的 集合B描述理发师自己,再用A+Bi描述理发师的全部服务对象(i表示不确定),虽然没 有解决理发师由谁理发的问题,但避开了悖论,也客观地描述了理发师的全体服务对象,从 而给罗素悖论和第3次数学危机一种全新的解读。这里的集A和集B是描述理发师的全部服 务对象O( object)所需的两个集合,我们称之为“集对”( Set pair, SP),记为O=(A,B)。 集对就是描述同一个事物所需要的2个集合。这2个集合可以都是确定集,也可以都是 不确定集,也可以1个是确定集,另1个是不确定集。(由两个不确定集组成的集对可解读说 谎者悖论:“我在说的这句话是谎话”。) 什么是集对分析?就是分析2个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联 系与转化。 每个人都是“集对人”,我们的2只眼睛是一个集对、2个鼻孔是一个集对、2只耳朵是 个集对、2只手是一个集对、2条腿是一个集对,从这个意义上说,集对是一个天然的概念, 我们每个人都是一个“集对人” 每个人都在“集对分析”。集对分析是一种自然的分析,我们每个人都在“集对分析”例如 我们看到眼前,又看到长远:眼前是确定的,长远具有不确定性;我们需要物质,也需要精 神:物质是确定的,精神具有不确定性:如此等等。 在集对O=(A,B)中,如果用A表示确定集A的基数,用B表示不确定集B的基数,用 i表示不确定,且在[-1,1]取值,就得到联系数u=A+Bi,显然,联系数u=A+Bi是 关于对象集O的两个映射集合的联合函数,是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对O (A,B)的特征函数
101 任何一个无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用 这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，在同一个包含初等算术的形式系统中，“无 矛盾”和“完备”是不能同时满足的。 哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源，也是在联系数 中设置 i 的理论根据之一。 第 3 次数学危机告诉我们事物的确定性与不确定性对立统一。 如何客观地认识和处置确定性与不确定性的关系是三次数学危机引出的共性问题。 第 1 次数学危机的启示是确定（的关系）与不确定（的关系）是一个确定－不确定系统， 单位正方形就是这样的一个确定－不确定系统。因为单位正方形的边长 1 是确定的，但这个 正方形的对角线长√2 是一个无限不循环小数：一个不能确定的数，这一点让人不可思议。 第 2 次数学危机的启示是当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置与极限位置构成一 个集对，无穷小在趋于零的过程中，要经历与起始位置相同、相异、相反 3 个阶段，其中有 量变，也有质变，在什么位置发生质变具有不确定性，需要具体分析。 第 3 次数学危机的启示是描述同一个客观事物需要 2 个集合。就如我们需要 2 只眼睛看 东西、2 个鼻孔嗅气味、2 只耳朵听声音、2 只手干活、2 条腿走路，而这是大自然的设计， 也是罗素悖论给我们的启示。 如果有人问：集对分析从哪里来？可以回答：集对分析从 3 次数学危机中来，是 2000 多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第 1 次数学危机意外地发现了确定中有不确定， 2000 多年后的第 3 次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼” ，充分表明不确定性与确定 性是天生的一对，历经 2000 多年风和雨，形影相随不分离。 在罗素悖论中，如果用一个确定的集合 A 描述不能为自己理发的人，用另一个不确定的 集合 B 描述理发师自己，再用 A＋B i 描述理发师的全部服务对象（ i 表示不确定），虽然没 有解决理发师由谁理发的问题，但避开了悖论，也客观地描述了理发师的全体服务对象，从 而给罗素悖论和第 3 次数学危机一种全新的解读。这里的集 A 和集 B 是描述理发师的全部服 务对象 O（object）所需的两个集合，我们称之为“集对”（Set pair,SP），记为 O＝（A，B）。 集对就是描述同一个事物所需要的 2 个集合。这 2 个集合可以都是确定集，也可以都是 不确定集，也可以 1 个是确定集，另 1 个是不确定集。（由两个不确定集组成的集对可解读说 谎者悖论：“我在说的这句话是谎话”。） 什么是集对分析？就是分析 2 个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联 系与转化。 每个人都是“集对人”，我们的 2 只眼睛是一个集对、2 个鼻孔是一个集对、2 只耳朵是一 个集对、2 只手是一个集对、2 条腿是一个集对，从这个意义上说，集对是一个天然的概念， 我们每个人都是一个“集对人”。 每个人都在“集对分析”。集对分析是一种自然的分析，我们每个人都在“集对分析”.例如 我们看到眼前，又看到长远；眼前是确定的，长远具有不确定性；我们需要物质，也需要精 神；物质是确定的，精神具有不确定性；如此等等。 在集对 O=(A,B) 中，如果用 A 表示确定集 A 的基数，用 B 表示不确定集 B 的基数，用 i 表示不确定，且在［－1，1］取值，就得到联系数 u＝ A+B i，显然，联系数 u＝ A+B i 是 关于对象集 O 的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对 O＝ （A，B）的特征函数
又由于u=A+Bi恰好含有2项,所以也称为二元联系数,简称联系数 设村上包括理发师在内共有100人,其中不能为自己理发的有99人,确定属于理发师的 服务范围(A=99):加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围(B=1),于是得联 系数A+B=99+1i,这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O 的两个映射集合A(确定集)与B(不确定集)的基数之联系和 元联系数在罗素悖论中的应用。假设在罗素悖论中,一个人的理发价是1元钱,那 当理发师自己的头由自己理时,共收入99+li(i=1)=100元;当理发师自己的头由别人 理时,他的净收入是99+li(i=-1)=98元;由此看出,引进集对的概念和二元联系数u A十Bi,使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、合理、简明和流利 元联系数U=A+Bi+Cj是集对分析的常用数学工具:其中A是同关系个数(相对确定 的测度),B是异关系个数(相对不确定的测度)、C是反关系个数(相对确定的测度),i表 示不确定,在[-1,1]取值。 三元联系数可以由罗素悖论导出。假定村子中原来只有理发师L1的基础上又来了一位 新理发师L2,这样就有L1,L2共2位理发师,而村子中确定需要理发师们理发的总人数A 不变,则由于2位理发师在业务上相互竞争,势必把A分成Al(A1>0)与A2(A2>0)2个部份 设A1是由L1理发的人数,A2是由L2理发的人数,站在理发师L1的角度,这时有联系数 A1+Bi+A2,j在这里代表A2与A1对立之意。一眼看出:联系数A1+Bi+A2j就是站在 L1角度的同异反三元联系数。 多元联系数与罗素悖论。依此类推,可以把集对分析中的四元联系数、五元联系数...n 元联系数分别看作是村子中有3位理发师、4位理发师…n-1位理发师时站在L1角度建 立起来的顾客服务模型。从而说明集对分析中的联系数(包括所谓的多元联系数)都可以从 罗素悖论及其扩展形态导出 联系数是一个大家族。从联系数U=A+Bi+Cj可以导出U=A+B(同异型联系数),U=A+Cj (同反型联系数),U=Bi+Cj(异反型联系数),U=A+Bi+Cj+Dk(四元联系数),U=A+Bi+Cj 十Dk+EI(五元联系数)……等多元联系数,以及联系数的各种伴随函数,如偏联系数,邻联 系数,态势函数,势函数,复联系数,2次联系数,多次联系数,多阶联系数等等。因此 联系数是一个大家族。 第二节不确定性理论 联系数用数学的语言给出了一个基于集对分析的重要理论:不确定性系统理论 ( Uncertainty system theory based on set pair analysis)。要点( main points)有: UST-1:同一对象的确定性关系与不确定性关系是一个不确定性系统。 个研究对象相对于给定参考集的确定性测度a与不确定性测度b是一个不确定性系 统联系数a+bi既是这个系统的数学模型,本身也是一个系统。在这个系统中,确定性测度 与不确定性测度相互联系、相互影响、相互制约(a+b=1,i∈[-1,1])而且在一定条件 下相互转化 UST—2:不确定性系统具有层次性。不确定性系统中的确定性与不确定性具有层次性. 在a+bi中,首先把a看作处在宏观层,bi处在微观层;当把a、b都看作处在宏观层时,i处 在微观层;当对bi作分解时,bi处在宏观层,bli1,b212,,bnin处在微观层;由于i∈ 102
102 又由于 u＝ A+B i 恰好含有 2 项，所以也称为二元联系数，简称联系数。 设村上包括理发师在内共有 100 人，其中不能为自己理发的有 99 人，确定属于理发师的 服务范围（A=99）；加上理发师 1 人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联 系数 A+B i=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集 O 的两个映射集合 A（确定集）与 B（不确定集）的基数之联系和。 二元联系数在罗素悖论中的应用。假设在罗素悖论中，一个人的理发价是 1 元钱，那么 当理发师自己的头由自己理时，共收入 99+1i（i＝1）＝ 100 元；当理发师自己的头由别人 理时，他的净收入是 99+1i（i＝－1）＝98 元；由此看出，引进集对的概念和二元联系数 u ＝A＋Bi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、合理、简明和流利。 三元联系数 U=A+Bi+Cj 是集对分析的常用数学工具： 其中 A 是同关系个数（相对确定 的测度），B 是异关系个数（相对不确定的测度）、C 是反关系个数（相对确定的测度），i 表 示不确定，在［－1，1］取值。 三元联系数可以由罗素悖论导出。假定村子中原来只有理发师 L1 的基础上又来了一位 新理发师 L2，这样就有 L1，L2 共 2 位理发师，而村子中确定需要理发师们理发的总人数 A 不变，则由于 2 位理发师在业务上相互竞争，势必把 A 分成 A1(A1>0)与 A2(A2>0) 2 个部份， 设 A1 是由 L1 理发的人数，A2 是由 L2 理发的人数，站在理发师 L1 的角度，这时有联系数 A1＋Bi＋A2j, j 在这里代表 A2 与 A1 对立之意。一眼看出：联系数 A1＋Bi＋A2j 就是站在 L1 角度的同异反三元联系数。 多元联系数与罗素悖论。依此类推，可以把集对分析中的四元联系数、五元联系数……n 元联系数分别看作是村子中有 3 位理发师、4 位理发师……n－1 位理发师时站在 L1 角度建 立起来的顾客服务模型。从而说明集对分析中的联系数（包括所谓的多元联系数）都可以从 罗素悖论及其扩展形态导出。 联系数是一个大家族。从联系数 U=A+Bi+Cj 可以导出 U=A+Bi(同异型联系数)，U=A+Cj （同反型联系数），U＝Bi+Cj（异反型联系数），U=A+Bi+Cj＋Dk（四元联系数），U=A+Bi+Cj ＋Dk＋El(五元联系数)……等多元联系数，以及联系数的各种伴随函数，如偏联系数，邻联 系数，态势函数，势函数，复联系数，2 次联系数，多次联系数，多阶联系数等等。因此， 联系数是一个大家族。 第二节 不确定性理论 联系数用数学的语言给出了一个基于集对分析的重要理论：不确定 性系统理论 （Uncertainty system theory based on set pair analysis）。要点（main points）有： UST－1：同一对象的确定性关系与不确定性关系是一个不确定性系统。 同一个研究对象相对于给定参考集的确定性测度 a 与不确定性测度 b 是一个不确定性系 统,联系数 a+bi 既是这个 系统的数学模型，本身也是一个系统。在这个系统中，确定性测度 与不确定性测度相互联系、相互影响、相互制约（a+b＝1，i∈［－1，1］）而且在一定条件 下相互转化。 UST－2：不确定性系统具有层次性。不确定性系统中的确定性与不确定性具有层次性. 在 a+bi 中，首先把 a 看作处在宏观层，bi 处在微观层；当把 a、b 都看作处在宏观层时，i 处 在微观层；当对 bi 作分解时， bi 处在宏观层，b1i1， b2i2，… bnin 处在微观层；由于 i∈
-1,1],所以也可以把i看作处在宏观层,i,i3..处在微观层;不仅如此,而且a也可 以由不同层次的a1等a2,,an组成。 UST-3:确定性与不确定性在一定条件下相互转化。不确定性系统中的确定性与不确定 性可以在一定条件下相互转化.例如在二元联系数a+bi中,通过对a的分解,分解出在多次 观测分析中相对稳定的a1、a2:和相对不太稳定的an-1、an,并计入blil,而把blil, b212,…bnin中的bnin标为cj(=1) UST-4:确定性与不确定性相互作用。不确定性系统中的确定性测度a与不确定性测度b 存在相互作用(物理原理)相互作用值r的计算公式: r=(a2+b2)l2 不确定性测度 UST-5:不确定性系统的省略性描述。只有在忽略不计不确定性的情况下,才能用一个确 定的实数a描述不确定性系统,如在μ=a+bi中,只有不计bi这个不确定的部份,才能根据 a的大小、a的变化、a的实际内涵作出分析和得到结果.容易看出,由于这种分析是在忽略 不计不确定性情况下进行,所得到结果仍将具有一定程度的不确定性、不完整性与不可靠性 UST-6:n次不确定性。把a+bi自乘n次,将得到关于bi的n次幂,这说明存在着 次不确定性、二次不确定性…η次不确定性;同时也说明稍微复杂一点的不确定性系统是非 线性系统。但由于它们相对于确定性而言都可以看作是一次不确定性,有时也可以在不计不 确定性次幂的条件下有i=P2=B3=…= UST-7:概率的不完全性。经典概率统计理论中的概率仅仅与联系数a+b中的同一度a等 价,因而是一种不完全概率.经典概率统计理论可以在集对分析的基础上进行扩充,目前这方 面的工作还处在研究之中 UST-8:模糊隶属度的不完全性。模糊集理论中的隶属度也仅与联系数中的同一度a等 价它仅指明所研究的对象属于给定参考集的程度能够确定的一面,而忽略了所研究的对象属 于给定参考集的程度不确定的一面.因而是一种不完全隶属度;模糊集理论可以在集对分析 的基础上进行扩充和发展 同异反系统理论(IDCT要点1 同异反系统是原象系统的一种抽象系统 在罗素悖论中,L1,A,L2组成一个原象系统,具有同异反特性(L1与L2是竞争对 手,A处于L1与L2之间);A1,B=2,A2组成一个抽象系统。 同异反系统理论(IDCT要点2 同异反系统具有层次性层内可展开,层间可转化 同异反系统理论(IDCT要点3 存在5种类型的“反”,正负型:(1-1):有无型:(1,0);倒数型:(K,1/K)例:电阻 与电导互为倒数:虚实型(i,k):互补型(a,l-a)。因而存在5种类型的同异反系统 同异反系统理论(DCT要点4 无限可分性。从理论上说,同异反系统具有无限可分性,如要点3中的同异反系统图可以 无限制地不断展开。但实际同异反系统可能是有限的,原因是实际同异反系统存在“同、异、 反”的“最小颗粒。 同异反系统理论(DCT要点5 叠加性.对N个同异反系统作叠加、交叉、嵌套、加权等变换,所得的系统仍是同异反系 103
103 ［－1，1］，所以也可以把 i 看作处在宏观层，i2， i3…处在微观层；不仅如此，而且 a 也可 以由不同层次的 a1 等 a2，… an 组成。 UST-3：确定性与不确定性在一定条件下相互转化。不确定性系统中的确定性与不确定 性可以在一定条件下相互转化. 例如在二元联系数 a+bi 中，通过对 a 的分解，分解出在多次 观测分析中相对稳定的 a1、a2；和相对不太稳定的 an-1 、 an ，并计入 b1i1， 而把 b1i1， b2i2，… bnin 中的 bnin 标为 cj (j=-1)。 UST-4:确定性与不确定性相互作用。不确定性系统中的确定性测度 a 与不确定性测度 b 存在相互作用（物理原理）.相互作用值 r 的计算公式： r=(a2+b2)1/2 不确定性测度 UST-5：不确定性系统的省略性描述。只有在忽略不计不确定性的情况下, 才能用一个确 定的实数 a 描述不确定性系统，如在 μ= a + bi 中,只有不计 bi 这个不确定的部份, 才能根据 a 的大小、a 的变化、a 的实际内涵作出分析和得到结果. 容易看出,由于这种分析是在忽略 不计不确定性情况下进行, 所得到结果仍将具有一定程度的不确定性、不完整性与不可靠性. UST-6： n 次不确定性。把 a + bi 自乘 n 次, 将得到关于 bi 的 n 次幂,这说明存在着一 次不确定性、二次不确定性⋯n 次不确定性; 同时也说明稍微复杂一点的不确定性系统是非 线性系统。但由于它们相对于确定性而言都可以看作是一次不确定性, 有时也可以在不计不 确定性次幂的条件下有 i = i 2 = i 3 = ⋯= i n UST-7：概率的不完全性。经典概率统计理论中的概率仅仅与联系数 a+bi 中的同一度 a 等 价，因而是一种不完全概率. 经典概率统计理论可以在集对分析的基础上进行扩充,目前这方 面的工作还处在研究之中。 UST-8：模糊隶属度的不完全性。模糊集理论中的隶属度也仅与联系数中的同一度 a 等 价.它仅指明所研究的对象属于给定参考集的程度能够确定的一面,而忽略了所研究的对象属 于给定参考集的程度不确定的一面. 因而是一种不完全隶属度;模糊集理论可以在集对分析 的基础上进行扩充和发展. 同异反系统理论(IDCT)要点 1 同异反系统是原象系统的一种抽象系统。 在罗素悖论中，L1，A，L2 组成一个原象系统，具有同异反特性（ L1 与 L2 是竞争对 手，A 处于 L1 与 L2 之间）；A1，B＝2，A2 组成一个抽象系统。 同异反系统理论(IDCT)要点 2 同异反系统具有层次性,层内可展开，层间可转化 同异反系统理论(IDCT)要点 3 存在 5 种类型的“反”，正负型：(1,-1)；有无型：（1，0）；倒数型：（K，1/K）例：电阻 与电导互为倒数；虚实型（i 1/2 ， k）；互补型（a,1-a）。因而存在 5 种类型的同异反系统. 同异反系统理论(IDCT)要点 4 无限可分性。从理论上说,同异反系统具有无限可分性,如要点 3 中的同异反系统图可以 无限制地不断展开。但实际同异反系统可能是有限的,原因是实际同异反系统存在“同、异、 反”的“最小颗粒。 同异反系统理论(IDCT)要点 5 叠加性. 对 N 个同异反系统作叠加、交叉、嵌套、加权等变换,所得的系统仍是同异反系
统 同异反系统理论(IDCT要点6 分形性。同异反系统的每个子系统各自都可以分出“同、异、反”。 同异反系统理论(IDCT要点7 同异反系统状态及其态势由联系数中同异反联系分量的大小关系刻划也称为同异反态 势函数。 对于展开后的同异反系统,其同异反系统态势排序规模庞大 同异反系统理论(IDCT要点8 同异反系统是具有潜在发展趋势的系统,其发展趋势用一阶或多阶偏联系数刻划 以u=a+bi+ej为例,其一阶偏联系数为 da=a(a+b),ab-b/(b+c) auFd a +(ob)i=al(a+ b)+i b/(b+ c) 同异反系统理论(DCT要点9 利用同异反系统理论解不确定数i 原理是:把同异反联系数从u(to)到u(t1)的改变看作是i的变化所至。 同异反系统理论(IDCT要点10 设定目标,并采取适当的调控措施,使同异反系统得到优化,其特点是同时从确定和不 确定方面优化。例如给定产品质量目标是合格品率(a)越大越好,则有两条路径,一是降低 报废率(c),二是分解不良品率(b)。 同异反系统理论(IDCT要点10 同异反预测:正常条件下的预测;异常条件下的预测:反常条件下的预测或不同预测方 法的同异反优化加权组合。 集对分析二大理论的核心思想:把系统的不确定关系与确定的关系作为一个同异反不确 定性系统来进行数学处理 集对分析处理不确定性的16字诀客观承认(设置i):系统描述(用系统描述系统):定 量刻划(联系数);具体分析(类型,主次,层次) 数学的一个新起点。这是因为:集合论是现代数学的基础,集对分析把集合论提升为集 对论,意味着数学有了一个新的起点。例如前面提到的“不确定量”就是一种与常量、变量不 同的一种新的量:联系数是描述这种“不确定量”,(“不确定变量”)的一种有效的数学工具 不确定量与常量、变量的关系 层次 宏观 微观 例子 常量(K)确定 确定 变量(X 不确定 确定 自由落体速度 不确定量(i)确定 不确定粒子的动量 超不确定量不确定 不确定 随机不确定量 为概率论、模糊理论、区间数理论、复变函数、实变函数等提供了共同的表达形式。 系统科学的一个新起点。因为集对恰好是由两个要素组成的一个元系统。集对理论客观 上是系统科学的一种基础理论。 哲学的一个新起点。集对分析的第一篇论文是发表在1988年第10期自然辩证法报上的
104 统. 同异反系统理论(IDCT)要点 6 分形性。同异反系统的每个子系统各自都可以分出“同、异、反”。 同异反系统理论(IDCT)要点 7 同异反系统状态及其态势,由联系数中同异反联系分量的大小关系刻划.也称为同异反态 势函数。 对于展开后的同异反系统, 其同异反系统态势排序规模庞大。 同异反系统理论(IDCT)要点 8 同异反系统是具有潜在发展趋势的系统,其发展趋势用一阶或多阶偏联系数刻划。 以 u=a+bi+cj 为例，其一阶偏联系数为 ∂a = a/ ( a + b)， ∂ b= b/ ( b+ c)， ∂ u=∂ a +(∂ b )i=a/ ( a + b)+i b/ ( b+ c) 同异反系统理论(IDCT)要点 9 利用同异反系统理论解不确定数 i. 原理是：把同异反联系数从 u(t0) 到 u(t1)的改变看作是 i 的变化所至。 同异反系统理论(IDCT)要点 10 设定目标，并采取适当的调控措施，使同异反系统得到优化，其特点是同时从确定和不 确定方面优化。例如给定产品质量目标是合格品率（a）越大越好，则有两条路径，一是降低 报废率（c）,二是分解不良品率（b）。 同异反系统理论(IDCT)要点 10 同异反预测：正常条件下的预测；异常条件下的预测；反常条件下的预测或不同预测方 法的同异反优化加权组合。 集对分析二大理论的核心思想：把系统的不确定关系与确定的关系作为一个同异反不确 定性系统来进行数学处理。 集对分析处理不确定性的 16 字诀客观承认（设置 i）；系统描述（用系统描述系统）；定 量刻划 （联系数）；具体分析 （类型，主次，层次）。 数学的一个新起点。这是因为：集合论是现代数学的基础，集对分析把集合论提升为集 对论，意味着数学有了一个新的起点。例如前面提到的“不确定量”就是一种与常量、变量不 同的一种新的量：联系数是描述这种“不确定量”，（ “不确定变量” ）的一种有效的数学工具。 不确定量与常量、变量的关系 层次 宏观 微观 例子 常量 (K) 确定 确定 1 变量（X） 不确定 确定 自由落体速度 不确定量（i) 确定 不确定 粒子的动量 超不确定量 不确定 不确定 随机不确定量 为概率论、模糊理论、区间数理论、复变函数、实变函数等提供了共同的表达形式。 系统科学的一个新起点。因为集对恰好是由两个要素组成的一个元系统。集对理论客观 上是系统科学的一种基础理论。 哲学的一个新起点。集对分析的第一篇论文是发表在 1988 年第 10 期自然辩证法报上的
赵克勤的《自然辩证法有数学模型吗》一文。表眀集对分析为晢学硏究,特别是自然辩证法 提供了一种新的数学语言。 管理科学的一个新起点。管理科学是研究人与人之间关系的一门学科,而人与人之间关 系除了一些可确定的关系(如母子关系、师生关系、同学关系)外,还有不确定关系(如利 益关系、往来关系等),以致于团队效应有和尚效应(三个和尚没水喝,“(1+1+1)3”)之分,利用联系数A+Bi可以为不 同的团队效应建立统一的数学模型3+6 集对分析与物理学关系密切。不确定量是基于测不准原理的一种量。集对分析中的成对 原理(“一个巴掌拍不响”)与玻尔的互补原理异曲同工。UST中的确定性与不确定性相互作 用原理与力的相互作用原理如出一辙。三原色与同异反。联系数与量子。集对论中的相对论 场论与集对分析中的联系场,等等 第三节集对分析原理 集对分析( Set Pair Analysis,SPA)的核心思想是对不确定性系统的两个有关联的集合构建 集对,再对集对的特性做同一性、差异性、对立性分析,然后建立集对的同异反联系度。可 见,集对分析的基础是集对的构建,关键是联系度的计算 以下主要介绍SPA的基本原理,包括集对的基本概念,联系度和联系数的定义及其含义, 联系度和联系数的计算等 、集对基本概念 l、集合概念 集合是指具有某种共同属性的全部或部分对象。数学上集合一般指m维欧氏空间Rm中 的子集,用大写字母来表示,如A、B、C、X、Y等。集合常用坐标形式描述,如A=(a1,a2,an) }=(y,2,…yJn)。社会生活中集合无处不在,如全体整数,某大学的在校研究生,某城市的医 院等 集合中的任意一个体,称为集合中的元素。a(=1,2,n;n为集合中元素的个数)是集合 A的元素。集合中的元素a可以是具体的数值,也可以是某种特定的符号 在水文水资源系统中存在着各种各样的集合,如某雨量站历年观测的年降水量 P=(p1p2pn),某水文站历年观测到的年径流量Q=(q1q2,q),某采样点水质评价指标体 系观测值X=(x1-x2,xn),1级评价标准值构成的集合B1=(s,1,s12,.,sm),某决策方案各指标 值构成集合X1=(x1,1x,2,x1n),等等。须注意,这里的集合并不奢求其数学上的严密性。 集对概念 根据系统成对原理,任何事物或概念都是成对地存在,概念上完全纯粹单一的集合不能 独立存在。在一般意义上泛指某一事物时,同时在有意无意地拿与该事物成对的另一事物作 参考。例如在说某数是正数时,同时在有意无意拿负数作参考:在进行水文水资源评价时, 就是将评价对象与评价标准在作参考。系统成对原理是关于“对立统一法则”、“事物相互联系 原理”的一种新的表述。由于客观事物都是成对地存在,无法去孤立地认识和研究成对事物中 的某一单个事物,而只能从成对着的两个事物之相互联系、相互影响、相互渗透、相互制约
105 赵克勤的《自然辩证法有数学模型吗》一文。表明集对分析为哲学研究，特别是自然辩证法 提供了一种新的数学语言。 管理科学的一个新起点。管理科学是研究人与人之间关系的一门学科，而人与人之间关 系除了一些可确定的关系（如母子关系、师生关系、同学关系）外，还有不确定关系（如利 益关系、往来关系等），以致于团队效应有和尚效应（三个和尚没水喝，“（1＋1＋1）3” ）之分，利用联系数 A＋Bi 可以为不 同的团队效应建立统一的数学模型 3＋6i. 集对分析与物理学关系密切。不确定量是基于测不准原理的一种量。集对分析中的成对 原理（“一个巴掌拍不响”）与玻尔的互补原理异曲同工。UST 中的确定性与不确定性相互作 用原理与力的相互作用原理如出一辙。三原色与同异反。联系数与量子。集对论中的相对论。 场论与集对分析中的联系场，等等。 第三节 集对分析原理 集对分析(Set Pair Analysis，SPA)的核心思想是对不确定性系统的两个有关联的集合构建 集对，再对集对的特性做同一性、差异性、对立性分析，然后建立集对的同异反联系度。可 见，集对分析的基础是集对的构建，关键是联系度的计算。 以下主要介绍 SPA 的基本原理，包括集对的基本概念，联系度和联系数的定义及其含义， 联系度和联系数的计算等。 一、集对基本概念 1、集合概念 集合是指具有某种共同属性的全部或部分对象。数学上集合一般指 m 维欧氏空间 R m 中 的子集，用大写字母来表示，如 A、B、C、X、Y 等。集合常用坐标形式描述，如 A=(a1,a2,…,an)， Y=(y1,y2,…,yn)。社会生活中集合无处不在，如全体整数，某大学的在校研究生，某城市的医 院等。 集合中的任意一个体，称为集合中的元素。ai(i=1,2,…,n；n 为集合中元素的个数)是集合 A 的元素。集合中的元素 ai 可以是具体的数值，也可以是某种特定的符号。 在水文水资源系统中存在着各种各样的集合，如某雨量站历年观测的年降水量 P=(p1,p2,…,pn)，某水文站历年观测到的年径流量 Q=(q1,q2,…,qn)，某采样点水质评价指标体 系观测值 X=(x1,x2,…,xn)，1 级评价标准值构成的集合 B1=(s1,1,s1,2,…,s1,n)，某决策方案各指标 值构成集合 X1=(x1,1,x1,2,…,x1,n)，等等。须注意，这里的集合并不奢求其数学上的严密性。 2、集对概念 根据系统成对原理，任何事物或概念都是成对地存在，概念上完全纯粹单一的集合不能 独立存在。在一般意义上泛指某一事物时，同时在有意无意地拿与该事物成对的另一事物作 参考。例如在说某数是正数时，同时在有意无意拿负数作参考；在进行水文水资源评价时， 就是将评价对象与评价标准在作参考。系统成对原理是关于“对立统一法则”、“事物相互联系 原理”的一种新的表述。由于客观事物都是成对地存在，无法去孤立地认识和研究成对事物中 的某一单个事物，而只能从成对着的两个事物之相互联系、相互影响、相互渗透、相互制约
和在一定条件下相互转化的过程中去认识和把握其中任一单个事物的有关规律 根据系统成对原理,赵克勤在构建SPA时提出了“集对, Set pair”初始概念。结合水文水 资源系统,对“集对”概念进行完善,并将其定义为不确定性系统中的有一定联系的两个集合 组成的对子,如评价的水质对象与水质标准就是一个集对,其中水质对象用集合A表示,水 质标准用集合B表示,则A和B就构成一个集对。在SPA中集对一般表示为H(A,B),表达 了A和B构成的一个对子。SPA中的集对概念拓展了成对原理中“成对”概念,它包含了在某 特定属性方面有联系的任意两个集合。 集对分析数学表达形式 1、联系度定义 根据普遍联系原理,各种事物之间常在某些特定属性方面具有一定关系。这些关系的程 度通常用三个明显的特征(例如大、中、小,高、中、低,丰、中、枯,好、中、差,同、 异、反等)来描述,称为三分原理,它是自然辨证法中正反两分原理的推广,是人们对客观 事物的无限多样性不可能作彻底分析研究的一种反映 赵克勤基于上述原理提出了集对分析(SPA)方法,SPA的核心是建立集对的联系度函 数表达式。设有联系的集合X和Y。X有n项表征其特性,即=(x1x2,xn),Y亦有n项表 征其特性,即Y=(v1y2,yn)。X和Y构成集对H(X,Y)。描述H(X,Y间关系的联系度定义为 s F ux-y =-+-l+ (4.1) nnn 式中,S为同一性的个数;F为差异性的个数;P为对立性的个数:S+F+P=n;i为差异 不确定系数,在(-1,1)区间视不同情况取值,有时仅起差异标记作用;j为对立系数,且戶=-1, 有时起对立标记作用。xy称为集对H(X,Y)的联系度。 记a=S,b=Fhn,c=P/n,则(1)式可写成 ux-r =a+bi+c (42) 式中,a、b、c为联系度分量,且满足a+b+c=1。a、b、c分别称为集对H(X,Y)的同 度、差异度和对立度。a表示集合X和Y就某种属性而言具有相同性质的程度;c表示集 合X和Y就某种属性而言具有相反性质的程度;b表示集合X和Y就某种属性而言具有即不 相同又不相反(称为差异性)的程度,这种差异性就是同反之间的过渡 式(4.1)、式(42)就是常用的联系度,即3元联系度。将式(42)中的b进一步拓展为b= bi+b2i2+.,可以得到多元(K元)联系度 +bk-2ik-2+c 式中,a+b1+b2++bk2+c=1;b1、b2 称为差异度分量,即差异度有不同级别 如轻度差异、较轻度差异 重度差异;i、i、…、ik2称为差异不确定分量系数。 当K=5时,可得5元联系度 ux-r=a+bi1+b,i2+b3i3+cj 式中,a+b1+b2+b+c=1:b、b2、b称为差异度分量,如轻度差异、中度差异、重度差异, 当集对H(X,Y就某种特性而言其关系仅有同一性、差异性或对立性(二分原理)时,可 得2元联系度
106 和在一定条件下相互转化的过程中去认识和把握其中任一单个事物的有关规律。 根据系统成对原理，赵克勤在构建 SPA 时提出了“集对，Set Pair”初始概念。结合水文水 资源系统，对“集对”概念进行完善，并将其定义为不确定性系统中的有一定联系的两个集合 组成的对子，如评价的水质对象与水质标准就是一个集对，其中水质对象用集合 A 表示，水 质标准用集合 B 表示，则 A 和 B 就构成一个集对。在 SPA 中集对一般表示为 H(A, B)，表达 了 A 和 B 构成的一个对子。SPA 中的集对概念拓展了成对原理中“成对”概念，它包含了在某 特定属性方面有联系的任意两个集合。 二、集对分析数学表达形式 1、联系度定义 根据普遍联系原理，各种事物之间常在某些特定属性方面具有一定关系。这些关系的程 度通常用三个明显的特征（例如大、中、小，高、中、低，丰、中、枯，好、中、差，同、 异、反等）来描述，称为三分原理，它是自然辨证法中正反两分原理的推广，是人们对客观 事物的无限多样性不可能作彻底分析研究的一种反映。 赵克勤基于上述原理提出了集对分析（SPA）方法，SPA 的核心是建立集对的联系度函 数表达式。设有联系的集合 X 和 Y。X 有 n 项表征其特性，即 X=(x1,x2,…,xn)，Y 亦有 n 项表 征其特性，即 Y=(y1,y2,…,yn)。X 和 Y 构成集对 H(X, Y)。描述 H(X, Y)间关系的联系度定义为 j n P i n F n S X ~Y = + + （4.1） 式中，S 为同一性的个数；F 为差异性的个数；P 为对立性的个数；S+F+P=n；i 为差异 不确定系数，在(-1,1)区间视不同情况取值，有时仅起差异标记作用；j 为对立系数，且 j≡-1， 有时起对立标记作用。X~Y 称为集对 H(X, Y)的联系度。 记 a=S/n，b=F/n，c=P/n，则（1）式可写成 a bi cj X ~Y = + + （4.2） 式中，a、b、c 为联系度分量，且满足 a + b + c=1。a、b、c 分别称为集对 H(X, Y)的同 一度、差异度和对立度。a 表示集合 X 和 Y 就某种属性而言具有相同性质的程度；c 表示集 合 X 和 Y 就某种属性而言具有相反性质的程度；b 表示集合 X 和 Y 就某种属性而言具有即不 相同又不相反（称为差异性）的程度，这种差异性就是同反之间的过渡。 式(4.1)、式(4.2)就是常用的联系度，即 3 元联系度。将式(4.2)中的 bi 进一步拓展为 bi= b1i1+b2i2+…，可以得到多元（K 元）联系度 a b i b i b i cj X ~Y = + 1 1 + 2 2 ++ K−2 K−2 + （4.3） 式中，a+b1+b2+…+bK-2+c=1；b1、b2、…、bK-2 称为差异度分量，即差异度有不同级别， 如轻度差异、较轻度差异、…、重度差异；i1、i2、…、iK-2 称为差异不确定分量系数。 当 K=5 时，可得 5 元联系度 a b i b i b i cj X ~Y = + 1 1 + 2 2 + 3 3 + （4.4） 式中，a+b1+b2+b3+c=1；b1、b2、b3 称为差异度分量，如轻度差异、中度差异、重度差异。 当集对 H(X, Y)就某种特性而言其关系仅有同一性、差异性或对立性（二分原理）时，可 得 2 元联系度 a bi X ~Y = + 或 a cj X ~Y = + （4.5）
2、联系数定义 当i或i、12、…、ik2和j取合理值时,联系度变为一个数值,称这个数值为联系数 记为r,且有 当联系度变为一个综合的定量指标—联系数时,其形式含义与相关系数、隶属度和灰 色关联度类似 3、联系度含义 联系度(式(42)或式(4.3))μx-y的表达式虽然简单,但通过a、b(或b、b2、…、bk2) c定量表征了不确定性系统中集合X和Y多层次上的关系。 式(42)中,a表示研究对象集合X与给定参考集合Y关系趋向同一的大小:c表示研究 对象集合X与给定参考集合Y关系趋向对立度的大小:b表示研究对象集合X与给定参考集 合Y的关系既不趋向同一,又不趋向对立的大小,即差异度的大小。式(43)中,a和c的意 义同式(42),而b(=1,2,,K-2)是对差异度b作进一步的细分,展示了不同层次的差异度大 a、b(或b、b2、…、bk2)、c综合描述了集对的各种层次的关系,因而SPA中的联系 度克服了随机分析中的相关系数、模糊分析中的隶属度和灰色分析中的灰色关联度单一指标 表征关系的局限,具有独特的优势。归纳如下 1)联系度描述的系统是一个不确定性系统。自然系统(如水文水资源系统)具有多种 不确定性,是一个不确定性系统,SPA中的联系度是用来刻画不确定性系统的集对关系的定 量指标,因此联系度描述的系统是一个不确定性系统。 2)联系度能清晰地显示了关系的整体和局部结构,形象地定量揭示复杂关系中的三种 或多种秉性。 xy反映了集对H(X,)中X和Y间关系的整体结构,同时a、b(或b、b2、…、bk2) c又反映了集对H(X,Y)中X和Y间关系的内部细致结构,因而对研究对象间的关系从宏观和 微观上都描述得非常具体。下面以3元联系度为例进行说明并与相关系数对比 设集对H(X,Y)。描述X与Y关系的3元联系度为uxy=a+b计+ey,而描述X与Y关系的相 关系数rx为 y 就式(4.7)而言,当x、y具有相同变化趋势时(都增大或都降低),对rxy的贡献为正 当x、具有相反变化趋势时(一个增大另一个降低),对rxy的贡献为负;当x、y的变化 趋势不明显时,对rxy的贡献为正、为负难以明确界定 式(47)中的分子是一个求和式,正负贡献可以相互抵消,因此rxy表征的是笼统的相关 程度,其中正相关、反(负)相关、难以确定的相关所占比例无法展示出来。 而对于xy=a+b计+q而言,用a表示x、y具有相同变化趋势时的正相关程度,用c表
107 2、联系数定义 当 i 或 i1、i2、…、iK-2 和 j 取合理值时，联系度变为一个数值，称这个数值为联系数， 记为 X Y~ ，且有 ~ 1 1 X Y − （4.6） 当联系度变为一个综合的定量指标——联系数时，其形式含义与相关系数、隶属度和灰 色关联度类似。 3、联系度含义 联系度（式(4.2)或式(4.3)）X~Y 的表达式虽然简单，但通过 a、b(或 b1、b2、…、bK-2)、 c 定量表征了不确定性系统中集合 X 和 Y 多层次上的关系。 式(4.2)中，a 表示研究对象集合 X 与给定参考集合 Y 关系趋向同一的大小；c 表示研究 对象集合 X 与给定参考集合 Y 关系趋向对立度的大小；b 表示研究对象集合 X 与给定参考集 合 Y 的关系既不趋向同一，又不趋向对立的大小，即差异度的大小。式(4.3)中，a 和 c 的意 义同式(4.2)，而 bi (i=1,2,…,K-2)是对差异度 b 作进一步的细分，展示了不同层次的差异度大 小。 a、b（或 b1、b2、…、bK-2）、c 综合描述了集对的各种层次的关系，因而 SPA 中的联系 度克服了随机分析中的相关系数、模糊分析中的隶属度和灰色分析中的灰色关联度单一指标 表征关系的局限，具有独特的优势。归纳如下： 1）联系度描述的系统是一个不确定性系统。自然系统（如水文水资源系统）具有多种 不确定性，是一个不确定性系统，SPA 中的联系度是用来刻画不确定性系统的集对关系的定 量指标，因此联系度描述的系统是一个不确定性系统。 2）联系度能清晰地显示了关系的整体和局部结构，形象地定量揭示复杂关系中的三种 或多种秉性。 X~Y 反映了集对 H(X, Y)中 X 和 Y 间关系的整体结构，同时 a、b（或 b1、b2、…、bK-2）、 c 又反映了集对 H(X, Y)中 X 和 Y 间关系的内部细致结构，因而对研究对象间的关系从宏观和 微观上都描述得非常具体。下面以 3 元联系度为例进行说明并与相关系数对比。 设集对 H(X, Y)。描述 X 与 Y 关系的 3 元联系度为X~Y =a+bi+cj，而描述 X 与 Y 关系的相 关系数 rX~Y 为 1 ~ 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i X Y n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − （4.7） 就式(4.7)而言，当 xi、yi 具有相同变化趋势时（都增大或都降低），对 rX~Y 的贡献为正； 当 xi、yi 具有相反变化趋势时（一个增大另一个降低），对 rX~Y 的贡献为负；当 xi、yi 的变化 趋势不明显时，对 rX~Y 的贡献为正、为负难以明确界定。 式(4.7)中的分子是一个求和式，正负贡献可以相互抵消，因此 rX~Y 表征的是笼统的相关 程度，其中正相关、反（负）相关、难以确定的相关所占比例无法展示出来。 而对于X~Y =a+bi+cj 而言，用 a 表示 xi、yi 具有相同变化趋势时的正相关程度，用 c 表
示x、y具有相反变化趋势时的负相关程度,用b表示x、y的变化趋势不明显时存在的不定 相关程度。可见xy显示了关系的整体和局部结构,定量揭示了复杂关系中的三种秉性。 3)联系度表征了综合不确定性。联系度中的a、b(或b1、b2、…、bk2)、c值随研究对 象的特性、解决问题的要求和资料的条件而变,是一个不确定的量。实际上可看作是一个随 机变量,也可看作是一个灰变量,还可看作是一个模糊变量,或者是兼有几种不确定性的不 确定量。因而联系度表征了综合的不确定性 4)联系度是动态的。根据研究对象信息量、处理方法和认识观念不同,可以得到不同 的联系度,动态地反映了集对关系所包含的主客观性。如计算地下水承载力指标值集合与较 好地下水承载力标准值集合的联系度,考虑标准值模糊性时得=0.228+0.033+0.739,考虑 标准值为确定时得=0.125+0250+0625j。和不同,表明了联系度是动态变化的 4、联系数含义 联系数是一个综合的定量指标,表征了集对H(X,Y)的综合关系程度 山y越大,表明集合X和Y趋向于相同(同一)的关系越好 Hy越小,表明集合X和Y趋向于相反(对立)的关系越好 当μrr越接近于1时,说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于同一。 当μrr越接近于-1时,说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于对立 当山越接近于0时,说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于差异(既不同一也不 对立)。 当4ry>0,表示两个集合存在着正(同)关系 当4r<0,表示存在着负(反)关系。 三、联系度确定 设有集对H(X,Y),且X=(x1,x2,xm),=(2yn),n为集合中元素个数。x和y可以 是具体数值,也可以是特定符号,如“1”、“2”、“3”等 确定H(X,Y)的联系度xF=a+bit+bi2+.+bk-ik2qj的关键在于计算a、b(或b、b2 bk2)、c。下面介绍两种途径。 直接途径 所谓直接途径,就是采用直接的方式获得。其步骤如下 1)根据集合X和集合Y的变化特征,将集合X和集合Y中的元素分成K级;结合有关 知识和相关规则,制定K级分类标准 2)根据分类标准将X和Y中各元素进行符号量化处理。对于落入1级标准范围内的 记为符号“1”;对于落入2级标准范围内的,记为符号“2;依此类推,对于落入K级标准范 108
108 示 xi、yi 具有相反变化趋势时的负相关程度，用 b 表示 xi、yi 的变化趋势不明显时存在的不定 相关程度。可见X~Y 显示了关系的整体和局部结构，定量揭示了复杂关系中的三种秉性。 3）联系度表征了综合不确定性。联系度中的 a、b(或 b1、b2、…、bK-2)、c 值随研究对 象的特性、解决问题的要求和资料的条件而变，是一个不确定的量。实际上可看作是一个随 机变量，也可看作是一个灰变量，还可看作是一个模糊变量，或者是兼有几种不确定性的不 确定量。因而联系度表征了综合的不确定性。 4）联系度是动态的。根据研究对象信息量、处理方法和认识观念不同，可以得到不同 的联系度，动态地反映了集对关系所包含的主客观性。如计算地下水承载力指标值集合与较 好地下水承载力标准值集合的联系度，考虑标准值模糊性时得1=0.228+0.033i+0.739j，考虑 标准值为确定时得2= 0.125+0.250i+0.625j。1 和2 不同，表明了联系度是动态变化的。 4、联系数含义 联系数是一个综合的定量指标，表征了集对 H(X, Y)的综合关系程度。 X Y~ 越大，表明集合 X 和 Y 趋向于相同(同一)的关系越好。 X Y~ 越小，表明集合 X 和 Y 趋向于相反(对立)的关系越好。 当 X Y~ 越接近于 1 时，说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于同一。 当 X Y~ 越接近于-1 时，说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于对立。 当 X Y~ 越接近于 0 时，说明这两个集合在某特定属性方面越倾向于差异（既不同一也不 对立）。 当 X Y~ >0，表示两个集合存在着正（同）关系。 当 X Y~ <0，表示存在着负（反）关系。 三、联系度确定 设有集对 H(X, Y)，且 X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)，n 为集合中元素个数。xi 和 yi 可以 是具体数值，也可以是特定符号，如“1”、“2”、“3”等。 确定 H(X, Y)的联系度X~Y=a+b1i1+ b2i2+…+bK-2iK-2+cj 的关键在于计算 a、b(或 b1、b2、…、 bK-2)、c。下面介绍两种途径。 1、直接途径 所谓直接途径，就是采用直接的方式获得。其步骤如下： 1）根据集合 X 和集合 Y 的变化特征，将集合 X 和集合 Y 中的元素分成 K 级；结合有关 知识和相关规则，制定 K 级分类标准。 2）根据分类标准将 X 和 Y 中各元素进行符号量化处理。对于落入 1 级标准范围内的， 记为符号“1”；对于落入 2 级标准范围内的，记为符号“2”；依此类推，对于落入 K 级标准范