重庆邮电大学理学院：《数值计算理论与技术》研究生课程PPT教学课件_第4章 线性方程组的数值方法

第4章线性方程组的数值方法 41高斯消去法 4,2选主元素的高斯消去法 4.3矩阵的三角分解法 44平方根法与改进平方根法 45向量和矩阵的范数 46线性方程组的性态和解的误差分析 47解线性方程组的迭代法 48迭代法的收敛性及误差估计

4.1 高斯消去法 4.2 选主元素的高斯消去法 4.4 平方根法与改进平方根法 4.3 矩阵的三角分解法 第4章 线性方程组的数值方法 4.5 向量和矩阵的范数 4.7 解线性方程组的迭代法 4.6 线性方程组的性态和解的误差分析 4.8 迭代法的收敛性及误差估计

第4章 引言 工程实际中,存在大量的解线性方程组的问题。 很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解 问题:如样条插值的M和m关系式,曲线拟合的法方 程组,方程组的 Newton迭代等问题。 预备知织 1、线性方程组 Amyx=b 2、线性方程组Ax=b有解的充要条件

引言 第 4章 工程实际中，存在大量的解线性方程组的问题。 很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解 问题：如样条插值的M和m关系式，曲线拟合的法方 程组，方程组的Newton迭代等问题。 预备知识 1、线性方程组A m×n x=b 2、线性方程组Ax=b有解的充要条件

3、 Anyx=b的逆矩阵解法及 MATLAB程序 命令 相同功能命令 含义 X=AIC X=inV(A)C 方程AX=C的解 Y=D/B Y=D“inv(B) 方程YB=D的解 z=AUF/B Z=inv(A)*F*inv(B) 方程AZB=F的解 b=1;1/2;5/2 例 2x,+2x+2x,=1 3x1+2x2+4x2=1/2 x1+3x2+9x3=5/2

3、A n×n x=b的逆矩阵解法及MATLAB程序 例               3 9 5/ 2 3 2 4 1/ 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x

问题的提出 求解线性方程组Ax=b,其中A是n阶非奇异的常系数方阵 n比较大,其行列式不等于0),x是待求的具有m维的解向量。 12 21 2 2n X 2 2 nI an2 n

求解线性方程组Ax=b，其中A是n阶非奇异的常系数方阵 (n比较大，其行列式不等于0)，x是待求的具有n维的解向量。 问题的提出                    n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a          2 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1

解决方法 ①直接法 Ax=b<等价→,Gx=d 高斯消元法(三角形方程组回代法) 列主元素消去法 杜利特尔分解法(三角分解法) 追赶法 平方根法

解决方法 高斯消元法（三角形方程组回代法） 列主元素消去法 杜利特尔分解法（三角分解法） 追赶法 平方根法 ① 直接法 Ax  b 等价变换 Gx  d

解决方法 Ax= b 等价变换 x= Bx+d ②迭代法 建立选代格式x(k+=Bx6)+∫ 雅可比迭代法 高斯一塞德尔迭代法 超松弛迭代法 注:克莱姆法则不能用于计算方程组的解, 如n=100,1033次/秒的计算机要算10120年

解决方法 雅可比迭代法 高斯－塞德尔迭代法 超松弛迭代法 …… ② 迭代法 注：克莱姆法则不能用于计算方程组的解， 如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年. Ax  b 等价变换 x  Bx  d  ( 1) ( )   建立迭代格式 k k x Bx f

4.1高斯消去法 、引例 2x1+2x2+2x3=1 例.用高斯消去法解方程组3x,+2x,+4x,=1/2 x1+3x2+9x2=5/2 x1+2x2+2x2=1 x十 得到与原方程组等价 的三角形方程组 10x,=0

4.1 高斯消去法 例. 用高斯消去法解方程组               3 9 5/ 2 3 2 4 1/ 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x              10 0 1 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3 x x x x x x  得到与原方程组等价 的三角形方程组 一、引例

2x1+2x2+2x2=1 x,十x 10x2=0 用回代的方法,可求得原方程组的解为: x3=0,x2=1,x1=-1/2

用回代的方法，可求得原方程组的解为：              10 0 1 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 0, 1, 1/ 2 x3  x2  x1  

用矩阵来描述消去法的约化过程 222 222 A,b]=324:1/2 0-11 139:5/2 028 2 222 这种求解过程,称为 具有回代的高斯消去法 0-11 0010

用矩阵来描述消去法的 约化过程         1 1 3 9 5 / 2 3 2 4 1/ 2 2 2 2 1 [ , ]    A b         0 2 8 2 0 1 1 1 2 2 2 1             0 0 10 0 0 1 1 1 2 2 2 1 2    这种求解过程，称为 具有回代的高斯消去法

二、高斯消去法解方程组的基本思想 用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵 C1x1+a12X+… nn 211+a2,x2+…+a nxn=b, anIX tanx, +.+anxn=bm

用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵                  n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 二、高斯消去法解方程组的基本思想