DDDD(插值法 A 插值法 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 插值法 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 第六章插值法 §1 Lagrange插值 定义6.1设几x)在a上有定义,相异的节点xp(=0,1,2, ,n)都在{a,b上,设 a≤x0<x1<..<x,≤b 又设(x)为这些节点处的准确值,若存在一多项式 yv(x),使得: y(x;)=f(x),i=0,1,2,…,.(6.1) 则称y(x)为函数f(x)的插值多项式( interpolation polynomia),.称a,b为插值区间,条件(6.1)称为插值条 件,x称为插值节点 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 第六章 插值法 2 22 §1 Lagrange插值 定义6.1 设f(x)在[a,b]上有定义, 相异的节点xi , (i=0, 1, 2, ··· , n)都在[a,b]上, 设 又设f(xi )为这些节点处的准确值, 若存在一多项式 y(x), 使得: 则称y(x)为函数f(x)的插值多项式(interpolation polynomial), 称[a,b]为插值区间,条件(6.1)称为插值条 件, xi称为插值节点。 y(xi )=f(xi ), i=0, 1, 2, ··· , n. (6.1) a £ x0 < x1 < … < xn £ b PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 定理6,1满足插值条件(6,1)且次数不超过n次的插值 多项式存在且唯一 引进记号Pm1(x)=∏(x-x)=(x-x0)x-x)…(x-x) 则有Pm(x)=∏(x1-x)=(x1-x )( 令 (x-x0)(x-x1)…(x-x-1)(x-x+1)…(x-x,) (x-x0(x-x1)…(x1-x1)(x1-x+1)…(x1-xn) X-x (x 0,1≠j (x-x1)Pn1(x1) (x)=∑l(x)f(x) (6.2) 0 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 33 定理6.1 满足插值条件(6.1)且次数不超过 n 次的插值 多项式存在且唯一. 引进记号 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 1 n n i n i P x = Õ x - x = x - x x - x x - x = + L 则有 1 0 1 1 0, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n j j i j j j j j j n i i j P x x x x x x x x x x x + - + = ¹ ¢ = Õ - = - L L - - - 令 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0, 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,1, 2, , ( ) ( ) j j n j j j j j j j j n n i n i i j j i j n j x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x x x P x j n x x x x P x - + - + + = ¹ + - - - - - = - - - - - - = = = Õ - - ¢ L L L L L 0 ( ) ( ) ( ) (6.2) n j j j y x l x f x = = å PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 yx)是满足插值条件的n次多项式,称之 Lagrange插值多 项式,记为Ln(x) 1.当n=1时,L1(x)称之为线性插值此时 x-xI X-x f(x0)+ f(x,) f(x)-f(x0) X-X x1 2.当n=2时,L2(x)称为二次插值,即抛物线插值 (x-x1)(x-x2 (x-)x1-42))(1 (x-x0)(x-x2) x-xo(x-x f(x0) f(x2) (x。-x1)(x-x2) (x2-x0(x2-x1) 、插值余项 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 44 y(x)是满足插值条件的n次多项式. 称之Lagrange插值多 项式, 记为Ln (x) 1．当n=1时, L1 (x)称之为线性插值. 此时 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x L x f x f x x x x x f x f x f x x x x x - - = + - - - = + - - 2. 当n=2时, L2 (x)称为二次插值, 即抛物线插值 1 2 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x L x f x f x f x x x x x x x x x x x x x - - - - - - = + + - - - - - - 二、插值余项 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 定义6,2设y(x)是在{a,b上满足插值条件的fx)的插值 多项式称E(x)=x)y(x)为插值多项式y(x)的余项 定理6,2设(x)在[a,b上具有直到n+1阶的导数,则有 n+(x) Vx∈[a,b (n+1)! 其中Pn(x)=∏(x-x)∈[ab]且与x有关 82 Newton插值法 、差商 (divided difference) 1.差商的概念(差商又称为均差) 定义6.3设函数(x)在[an,b上有定义,在a,b上互异节 点x02x1,x2,…处的函数值分别为f(x0,f(x1),fx2),… PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 55 定义6.2设y(x)是在[a, b]上满足插值条件的f(x)的插值 多项式. 称 E(x)=f(x)-y(x)为插值多项式y(x)的余项。 定理6.2 设f(x)在[a,b]上具有直到n+1阶的导数，则有 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) [ , ] ( 1)! n n f E x P x x a b n x + = + " Î + 其中 且与x有关. 1 0 ( ) ( ), [ , ] n n i i P x x x x a b + = =Õ - Î §2 Newton 插值法 一、差商(divided difference) １．差商的概念(差商又称为均差) 定义6.3 设函数f(x)在 [a,b]上有定义, 在[a,b]上互异节 点x0 , x1 , x2 , …处的函数值分别为f(x0 ), f(x1 ), f(x2 ), … PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
会会(插值法 称 fIxo,x, f(x0)-f(x1) 为函数f(x)在点x0,x1处的一阶差商 称 fl fLo, x,-f,,x, 为函数f(x)在点x0x12处的二阶差商 般地称 f[x0,x12…,x-1]-f 为函数f(x)在点x0x1,…x处的k阶差商 (k) 差商与导数之间的关系fx0,x1…,x f(2) k! PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 66 称 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) [ , ] x x f x f x f x x - - = 为函数f(x)在点x0 , x1处的一阶差商. 称 0 2 0 1 1 2 0 1 2 [ , ] [ , ] [ , , ] x x f x x f x x f x x x - - = 为函数f(x)在点x0 ,x1 ,x2处的二阶差商. 一般地称 0 1 1 1 2 0 1 1 0 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , , ] k k k k k f x x x f x x x f x x x x x x - - - = - L L L 为函数f(x)在点x0 ,x1 , … ,xk处的 k 阶差商. 差商与导数之间的关系 ( ) 0 1 ( ) [ , , , ] ! k k f f x x x k x L = PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 二、 Newton插值多项式 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x)+f[x2x12x2](x-x0)(x-x) (x-x0(x-x1)…(x-xn-1) +fIx (x-x0)(x-x)…(x-xm1)(x-x,) 记为Nn(x)+f[x,x02…,x]P+1(x) 其中 Nn(x)=f(x0)+f[x,x1](x-x0)+f[x0,x12x2](x-x0(x-x1) f[x2x12…,x1(x-x0)x-x1)…( Nn(x)是满足插值条件的n次多项式,称之为 Newton插值 多项式,其余项为: E(x)=f(x)-N(x)=f[x,x0,x12…,xn]P+1(x) PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 77 二、Newton插值多项式 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) [ , , , , ]( )( ) ( ) [ , , , ]( )( ) ( )( ) ( ) [ , , , ] ( ) n n n n n n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x N x f x x x P x - - - + = + - + - - + + - - - + - - - - + L L L L L 记为 L 其中 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) [ , , , ]( )( ) ( ) n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x - = + - + - - +L+ L L - - - Nn (x)是满足插值条件的n次多项式, 称之为Newton插值 多项式, 其余项为： 0 1 1 ( ) ( ) ( ) [ , , , , ] ( ) E n n n x f x N x f x x x x P x = - = L + PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 由插值多项式的唯一性,虽然 Lagrange插值多项式与 Newton插值多项式的构造方式不同,但恒有 比较这两个插值多项式中项理的系数,就有 八x,x,…x=∑ f(x,) 这正是差商的性质(1)得出的结论 由于Nn(x)≡Ln(x),故两个插值多项式的余项也应相 等.即 E(x)=f[x,xo,x,, ,xnP(x) ()(2) Pn(x) (n+ 故有 f[x,x0,x1…,xn]= () (n+1 这正是差商的性质(4得出的结论 8 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 88 由插值多项式的唯一性, 虽然Lagrange插值多项式与 Newton插值多项式的构造方式不同，但恒有 ( ) ( ) Nn n x º L x 比较这两个插值多项式中项x n的系数, 就有 这正是差商的性质(1)得出的结论 å= + ¢ = n i n i i n P x f x f x x x 0 1 0 1 ( ) ( ) [ , ,L, ] 由于Nn (x)≡Ln (x), 故两个插值多项式的余项也应相 等. 即： ( 1) 0 1 1 1 ( ) ( ) [ , , , , ] ( ) ( ) ( 1)! n n n n f E x f x x x x P x P x n x + = = + + + L 故有 ( 1) 0 1 ( ) [ , , , , ] ( 1)! n n f f x x x x n x + = + L 这正是差商的性质(4)得出的结论。 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
会会(插值法 在进行 Newton差商插值时,常利用的差商表来加以 计算: (x)foxx, 2 2) xuli front x)/s,x⊥Axx八xx1x2x Newton差商多项式插值的一个显著优点是它的每 项都是按x的指数作升幂排列,这样当需要增加节点 提高插值多项式次数时,可以充分利用前面已经计算 出的结果.如: 一次插值N1(x)=f(x0)+x0,x1](x-x0) N、9 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 99 在进行Newton差商插值时, 常利用的差商表来加以 计算： Newton差商多项式插值的一个显著优点是它的每 一项都是按x的指数作升幂排列, 这样当需要增加节点 提高插值多项式次数时, 可以充分利用前面已经计算 出的结果. 如： … … … … … … x3 f(x3 ) f[x2 ,x3 ] f[x1 ,x2 ,x3 ] f[x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] … f[x0 ,x1 ,x2 f[x ] 1 ,x2 f(x ] 2 x ) 2 f[x0 ,x1 f(x ] 1 x ) 1 f(x0 x ) 0 一次插值 ( ) ( ) [ , ]( ) 1 0 0 1 0 N x = f x + f x x x - x PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(插值法 二次插值N2(x)=f(x)+f[x2x1x-x)+f[x,x1,x2](x-x(x-x1) )+[x0,x12x2](x-x0(x-x1) k次插值N(x)=N1(x)+fx0,x1,…,x1x-x0)x-x1)…(x-x42) 即k次 Newton差商插值,仅仅是在k-1次插值多项 式的基础上增加了一项 W.x 0 (x-x)(x-x1)…(x-xk-1) 作为对k-次插值的一种补偿或修正,从而提高了插值 的精度 §4 Hermite插值 y(x1)=f(x) 插值条件为 (6.3 y(x1,)=f(x),j=0,1,2,…,r PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
插值法 1010 二次插值 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 1 ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) ( ) [ , , ]( )( ) N x f x f x x x x f x x x x x x x N x f x x x x x x x = + - + - - = + - - M k次插值 ( ) ( ) [ , , , ]( )( ) ( ) k = k-1 + 0 1 k - 0 - 1 - k-1 N x N x f x x L x x x x x L x x 即 k 次Newton差商插值, 仅仅是在 k－1次插值多项 式的基础上增加了一项: 0 1 0 1 1 [ , , , ]( )( ) ( ) k k f x x x x x x x x x L L - - - - 作为对k-1次插值的一种补偿或修正, 从而提高了插值 的精度. §4 Hermite插值 插值条件为 ( ) ( ), 0,1,2, , (6.3) ( ) ( ), 0,1, 2, , j j i i k k y x f x i n y x f x j r ì = = ï í ¢ ¢ = = ïî L L PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com