延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第六章 参数估计 6.4 两个正态总体均值差及方差比的区间估计

s6.4 两个正态总体均值差及方差比的区间估计

§6.4 两个正态总体均值差及方差比的区间估计

设已给定置信水平为1-a,并设X1,X2…,X 是来自第一个正态总体的样本,H1,Y2…,Y2是来自第二 个正态总体的样本这两个样本相互独立且设X,分别 为第一、二个总体的样本均值,S2,S2分别为第一、二 个总体的样本方差 本节求两个正态总体均值差A1及方差比_2的置信 水平为1-a的置信区间

设已给定置信水平为 1− α , 并设 1 1 2 , , X X X n 是来自第一个正态总体的样本 , 2 1 2 , , Y Y Y n 是来自第二 个正态总体的样本 ,这两个样本相互独立.且设 X Y, 分别 为第一、二个总体的样本均值 , 2 2 1 2 S S, 分别为第一、二 个总体的样本方差 . 本节求两个正态总体均值差m1−m2及方差比 的置信 水平为1-a的置信区间 2 1 2 2  

两个正态总体均值差A1-H2的区间估计 为已知U: X-Y-(H-2)~N(0) 2 2 2 对于给定的置信水平-a,P(-lm2<U<la2}=1-a 即P{-n2< X-Y-(41-12) <u 2

一、两个正态总体均值差 μ1 2 − μ 的区间估计 1 2 2 1 2 σ ,σ 为已知 ~ (0 1) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 N , n n X Y U   m m + − − − = 对于给定的置信水平1-a, 2 2 P u U u { } 1- , −   = a a a 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 - X Y P u u n n a a m m a         − − −   −   =   +     即

即P{-un2 X-Y-(A1-2) < 々×O PIX-Y —< X-y+ + 2 2 两个正态总体均值着-的置信水平为-a的 置信区间 X-Y-u 2 +2,X-Y+u

即 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 P X Y u X Y u 1 - n n n n a a     m m a       − − +  −  − + + =     置信区间是 两个正态总体均值差m1 − m2 的置信水平为1-a的         − − + − + + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 , n n X Y u n n X Y u     a a 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 1 - X Y P u u n n a a m m a         − − −   −   =   +     即

两个正态总体均值差A1-2的区间估计 2G2=a2=a2,a2为未知 其中 T X-Y-(A1-H2) ~t(n1+n2-2 (n1-1)S2+(m2-1S2 S Vn2+n2-2 对于给定的置信水平-a, P(-t2(1+n2-2)<T<ta2(n+n2-2)}=1-a

2 222 1 2 σ = = σ σ , σ 2 为未知 其中 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) . 2 ω n S n S S n n − + − = + − ~ ( 2) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − = t n n n n S X Y T w m m 对于给定的置信水平1-a, 2 1 2 2 1 2 P t n n T t n n { ( 2) ( 2)} 1- , − + −   + − = a a a 一、两个正态总体均值差 μ1 2 − μ 的区间估计

P{-m2(+n2-2)<7<tn2(m1+n2-2)}=1-a, P1-ta2(n1+n2-2)< -y(A-均)<t n, t PX-Y-to2( a2(4+n2-29/11 二< <Ⅹ-Y 2(n+n2-2)Sa+

1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( 2) ( 2) 1- 1 1 w X Y P t n n t n n S n n a a m m a     − − −   − + −   + − =   +     2 1 2 2 1 2 P t n n T t n n { ( 2) ( 2)} 1- , − + −   + − = a a a 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1- P X Y t n n S X Y n n t n n S n n a  a  m m a   − − + − +  −  −   − + − + =  

于是得到p1-P2的置信水平为1-a的置信区间为 a21+ +,X-Y+ta2(m1+n2-20/1,1 其中-+(n2-) +n,-2

于是得到 μ1 2 − μ 的置信水平为 1− α 的置信区间为 其中 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) . 2 ω n S n S S n n − + − = + −         − − + − + − + + − + 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 , ( 2) 1 1 ( 2) n n X Y t n n S n n X Y t a n n S a 

例1为比较I,Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口 速度,随机地取I型子弹10发,得到枪口速度的平 均值为x=50(m/),标准差s1=11m/s),随 机地取Ⅱ型子弹20发,得到枪口速度的平均值为 y=496(m/s),标准差S2=120(m/s).假设两总 体都可认为近似地服从正态分布且生产过程可认 为方差相等求两总体均值差H1-H2的置信水平为 0.95的置信区间

例1 为比较 I , Ⅱ 两种型号步枪子弹的枪口 速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平 均值 为 标准差 随 机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为 标准差 假设两总 体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认 为方差相等 .求两总体均值差 的置信水平为 0.95 的置信区间. x m s = 500( ) , 1 s m s = 1.10( ) , y m s = 496( ) , 2 s m s = 1.20( ) . μ1 2 − μ

依题意,可认为分别来自两总体的样本是 相互独立的又因为由假设两总体的方差相等,但数 值未知,故选取统计量 ⌒X-Y-(-p2-t(n1+n2-2) 其中s|(n-1)S2+(m2-12 2 对于给定的置信水-a, P(-ta2(n1+n2-2)<T<ta2(m1+n2-2)}=1-a

解 依题意 , 可认为分别来自两总体的样本是 相互独立的.又因为由假设两总体的方差相等 ,但数 值未知 ,故选取统计量 ~ ( 2) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − = t n n n n S X Y T w m m 对于给定的置信水平1-a, 2 1 2 2 1 2 P t n n T t n n { ( 2) ( 2)} 1- , − + −   + − = a a a 其中 2 2 1 1 2 2 1 2 ( 1) ( 1) . 2 ω n S n S S n n − + − = + −

P{-t2(n+n2-2)<7<tm2(1+n2-2)}=1-a P1-ta2(n1+n2-2)< -y(A-均)<t n, t PX-Y-to2( a2(4+n2-29/11 二< <Ⅹ-Y n2(n+n2-2)S

1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( 2) ( 2) 1- 1 1 w X Y P t n n t n n S n n a a m m a     − − −   − + −   + − =   +     2 1 2 2 1 2 P t n n T t n n { ( 2) ( 2)} 1- , − + −   + − = a a a 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1- P X Y t n n S X Y n n t n n S n n a  a  m m a   − − + − +  −  −   − + − + =  