第五节 中心极限定理
第五节 中心极限定理
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合(或和)影响所形成的 高斯在研究测量误差理论时发现: 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的 综合影响所造成,而每一个别因素对这种综合影响中所 起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从 正态分布
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的 综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所 起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从 正态分布. 高斯在研究测量误差理论时发现：
中心极限定理的研究对象是独立随机变量之和∑X 或其标准化的随机变量 ∑Xk-E(C∑Xk k=1 k=1 DOX k=1
或其标准化的随机变量 = = = − = n k k n k n k k k n D X X E X Z 1 1 1 ( ) ( ) 中心极限定理的研究对象是独立随机变量之和 = n k Xk 1
定理1(独立不同分布下的中心极限定理 林德伯格定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具 有数学期望和方差E(X)=p,D(XA)=ak2,(k=1,2,) 记2=∑a2若X1,Xx2,Xn…满足林德伯格条件 k=1 对于任意的正数,有m∑∫(x-)3(x)=0 n I=I 其中f(x)是随机变量X的概率密度,则当→∞时有
( ) , ( ) ,( 1,2, ) , , , 2 1 2 E X = D X = k = X X X k k k k n 有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立，它们具 = = n k n k s 1 2 2 记 其 中fi (x)是随机变量Xi 的概率密度，则当n → 时 有 定理1（独立不同分布下的中心极限定理 ——林德伯格定理） 若X1 , X2 , , Xn 满足林德伯格条件： = → − − = n i x s i i n n i n x f x dx s lim 1 | | 2 2 ( ) ( ) 0 1 对于任意的正数， 有
定理1(独立不同分布下的中心极限定理 林德伯格定理) limP{Zn≤z} e 2 dt n→0 √2丌 ∑X-∑A plim P3 i=l n→0 2 √2 其中z是任意实数
定理1（独立不同分布下的中心极限定理 ——林德伯格定理） 2 2 1 lim { } 2 t z n n P Z z e dt − → − = 2 1 1 2 2 1 1 lim 2 n n i i t z i i n n k k X P z e dt − = = → − = − = 即 其中z是任意实数
林德伯格条件的意义 设表示事件{->=12…n…则有 P3 max 1X21- X E}=P∪ 1≤ia 对于任意的正数有mS(x-A)(x)=0 n i=l
林德伯格条件的意义： 设 表示事件 ,i 1,2,,n,,则有 s |X μ| A n i i i = − 1 | | max i i i n n X P s − 1 | | i i i n n X P s − = = P A 1 i n i ( ) = n i P Ai 1 1 | | n i i i n X P s = − = = − = n i x s i i n f x dx 1 | | ( ) = − − n i x s i i n i n (x ) f x dx s 1 | | 2 2 2 ( ) 1 = → − − = n i x s i i n n i n x f x dx s lim 1 | | 2 2 ( ) ( ) 0 1 对于任意的正数， 有 而林德伯格条件：
林德伯格条件的意义 maX ≤-22∑ (x-1)2f(x) 1≤i E s n is lx-A>en 而林德伯格条件 对于任意的正数有/m.(xA)()=0 n 因此 lim Pi max X1- >E}=0 1<i<n 因此 lim Pi max x1- E}=1 1<i<n X 即当n→∞时,和式∑ 中的各项均按概率收敛于0
1 | | max i i i n n X P s − = − − n i x s i i n i n (x ) f x dx s 1 | | 2 2 2 ( ) 1 = → − − = n i x s i i n n i n x f x dx s lim 1 | | 2 2 ( ) ( ) 0 1 对于任意的正数， 有 而林德伯格条件： 1 | | lim max 0 i i n i n n X P s → − = 因此 1 | | lim max 1 i i n i n n X P s → − = 因此 1 0 n i i i n X n s = − 即当 → 时，和式 中的各项均按概率收敛于 林德伯格条件的意义：
林德伯格定理的理解 设随机变量X1,X2…,Xn…相互独立,满足林德伯格条件 则当n→时有imP{zn≤} e 2 dt n→0 ∑X-∑ 即limP e n→> 2丌 k 假设被研究的随机变童以表示为大量独立的镇机变量的和 其中每一个随机变量对总和只起微小的作用则可以认为 这个随机变量是服从I分布的
设随机变量X1 , X2 , , Xn 相互独立， 则当n → 时有 满足林德伯格条件， 2 2 1 lim { } 2 t z n n P Z z e dt − → − = 这个随机变量是服从正态分布的 其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可以认为 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和， 林德伯格定理的理解： 2 1 1 2 2 1 1 lim 2 n n i i t z i i n n k k X P z e dt − = = → − = − = 即
林德伯格定理的理解 假设被研究的随机变量以表示为大量独立蘸随机变量的和 其中每一个随机变量对总和只起微小的作用则可以认为 这个随机变量是服从不分布的 ∑Xk-∑近似地 k=1 ≈N(0,1) 近似地 2 C,∑a =1 i=1 =1 k k=1
这个随机变量是服从正态分布的 其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可以认为 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和， ~ (0,1) 1 2 1 1 N X n k k n i i n k k 近似地 = = = − ( , ) 1 2 1 1 ~ = = = n k k n i i n k Xk N 近似地 林德伯格定理的理解：
定理2(独立同分布下的中心极限定理—莱维定理) 设随机变量X1,X2…Xn,…相互独立,服从同一分 布,且具有数学期望差:E(Xk)=,D(Xk)=a2>0 k=12,)则当m→时,∑X的板限分布 =1 ∑X1-nH 是正态分布,即imP互 n→0 O√n et/2dt=Φ(x)
− = → x n X n P n i i n 1 lim 定理2（独立同分布下的中心极限定理——莱维定理） ，则当 时 ， 布，且具有数学期望和方 差 设随机变量 相互独立，服从同一分 = → = = k n E X D X X X X k k n ( 1,2, ) : ( ) , ( ) 0 , , , 2 1 2 的极限分布 = n k Xk 1 = x - -t 2 e dt 2 1 2 = (x) 是正态分布，即
