延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第五章 数理统计的基本知识 5.4 正态总体统计量分布

§54正态总体统计量分布 单个正态总体统计量的分布 两个正态总体统计量的分布

§5.4 正态总体统计量分布 单个正态总体统计量的分布 两个正态总体统计量的分布

、单个正态总体的统计量的分布 设正态总体X的均值为a,方差为a2,X1,X2…,X是 来自总体的一个样本,则样本均值X和样本方差S2 n i=1 2 ∑(X;-X)2 n-1

一、单个正态总体的统计量的分布 2 1 2 2 , , , X X X X n X S 设正态总体 的均值为  ，方差为 ， 是 来自总体的一个样本，则样本均值 和样本方差 = = n i Xi n X 1 1 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1

定理1、2(样本均值的分布) 设X1,X2…,X是来自正态总体N(p,O) 的样本,是样本均值,则有X~N(μ,) N(0,1)

定理 1、2 (样本均值的分布) 设 X1 , X2 , …, Xn 是来自正态总体 ( , ) 2 N   的样本， 是样本均值，则有 ~ ( , ) 2 n X N   ~ N(0,1) n X u  −  即 = X

定理3设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(A,a2) 的样本,则统计量x2=∑ X1- x2() i=1

定理 3 设 X1 , X2 , …, Xn 是来自正态总体 ( , ) 2 N   的样本， 则统计量 =       − = n i Xi 1 2 2    (n) 2 ~ 

定理4 设X1X2y…X是来自正态总体N(p,G)的样本, X和S分别为样本均值和样本方差,则有 (1) (n-1)S2 x2(n-1) (2)X与S2独立 注意 (n-1)S2 ∑ (X;-X) X -X x2(n-1)

定理 4 ~ ( 1) ( 1) (1) 2 2 2 2 − − = n n S    设X1 ,X2 ,…,Xn是来自正态总体 ( , ) 2 N   的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 (2) . X与S 2独立 2 2 ( 1)  n − S 注意 :   = =         − = − = n i i n i i X X X X 1 2 2 1 2 ( )   ~ ( 1) 2  n −

定理5(样本均值的分布) 设X1X2y…X是取自正态总体N(p,O2) 的样本,X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有,_X-p t(n-1) 证由定理12,t分布的定义可得 N(0,1), (n-1)S 2~x(n-1)且相互独立 (n-1)s2 则 X-u n-1~t(n-1)

定理 5 (样本均值的分布) 设X1 ,X2 ,…,Xn是取自正态总体 ( , ) 2 N   的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 ~ ( −1) − = t n S n X t  且相互独立 证 由定理 、 分布的定义可得 ~ ( 1) ( 1) ~ (0,1) , 1 2,t 2 2 2  −  −  −  n n S N n X ~ ( 1) 1 ( 1) 2 2 − − − − t n n n S n X    则

二、两个正态总体的统计量的分布 定理6(两总体样本均值差的分布) 设X~N(A2G2,Y~N(A2a2),且X与独立, xnx2…X是来自x的样本,ynH2,Ym是取自的样本 X和分别是这两个样本的样本均值,S和2分别是 这两个样本的样本方差,则有 X-Y-(A1-2) N(0,1) nn

定理 6 (两总体样本均值差的分布) ~ (0 1) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 N , n n X Y U     + − − − = 2 2 设X N Y N ~ ( , ) ~ ( , )     1 1 2 2 ， ， X和Y 分别是这两个样本的 且X与Y独立, X1 ,X2 ,…, n1 X 是来自X的样本, 是取自Y的样本, 这两个样本的样本方差,则有 2 2 2 S1 和S Y1 ,Y2 ,…, n2 Y 样本均值， 分别是 二、两个正态总体的统计量的分布

证XNA,)F~N(A2,)鸡与Y独立 故x-F~N4-2,5+ 2a2).X-Y-(4-2 N(0,1) h1

证 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ~ N(0 1) X Y , n n     − − −  + ~ ( , ) 1 2 1 1 n X N   ~ ( , ) 2 2 2 2 n Y N   X与Y独立 故X Y− ~ 2 2 1 2 1 2 1 2 N , n n         − +  

定理7(两总体样本均值差的分布) 设X~N(A12a2),Y~N(2a2),且X与Y独立, xnx2…X是来自X的样本,H,2Y是取自Y的样本, ⅹ和分别是这两个样本的样本均值,S2和S;2分别是 这两个样本的样本方差,则有 T X-Y-(41-42) (n1+n2-2) (1-1)S2+(n2-1)S +n2-2

定理 7 (两总体样本均值差的分布) ~ ( 2) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( ) T 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 + − + + − − + − − − − = t n n n n n n n S n S X Y   设X ~ N(1 , 2 )，Y ~ N(2 , 2 )， X和Y 分别是这两个样本的 且X与Y独立, X1 ,X2 ,…, n1 X 是来自X的样本, 是取自Y的样本, 这两个样本的样本方差,则有 2 2 2 S1 和S Y1 ,Y2 ,…, n2 Y 样本均值， 分别是 ( ) 1 = 2

-y=(4=2) t(1+n2-2) (1-1)S2+(2-1)2 n+n2 -2 n 证 X--(-1-N0,)(-y5x(mn1-1) (2-)2-~x2(n2-1)且相互独立 故 (n1-1)S1,(m2-1)S2 x2(n1+n2-2)

~ ( 1) 2 2 1  n − S1 ~ ( 2) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 + − + + − − + − − − − t n n n n n n n S n S X Y   ~ (0 1) ( ) 2 2 1 2 1 2 N , n n X Y     + − − − 证 ~ ( 1) 且相互独立 ( 1) 2 2 2 − − 2 2 2 n n S   ( 1) 1 2  n − ~ ( ) ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 1 n n 2 n S n S 2 1 2 2 + − − + −    故