延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第三章 随机变量的数字特征 3.4 方差与标准差 .6 原点矩、中心矩

第四节方差与标准差 ●方差的定义 ●方差的计算 ●方差的性质

第四节 方差与标准差 方差的定义 方差的计算 方差的性质

上一节我们介绍了随机变量的数学期望, 它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变 量的一个重要的数字特征 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的

上一节我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变 量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的

例如,某零件的真实长度为a,现用甲 乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐 标上的点表示如图: 测量结果的[甲仪器测量结果 均值都是a 乙仪器测量结果 较好 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣,你认为哪台仪器好一些呢? 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？ a •••• • •• ••• 乙仪器测量结果 a • • • • • •• • • • 甲仪器测量结果 较好 测量结果的 均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹,其落点距目标的位置如图: 中心 电心 乙炮 甲炮射击结果 乙炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近

又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 中心 中心

、方差的定义 设X是一个随机变量,若E{(X-E(X存在,称 E{(XE(}为X的方差.记为D(X),即 D(X=ESIX-E(X1) 方差的算术平方根D(X)称为X的标准差或均方差 记为o(X) 注:1随机变量的方差是非负数,D0

一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E{[(X-E(X)]2 }存在 , 称 E{[(X-E(X)]2 }为 X 的方差. 记为D(X) ，即 ( ) ( ) D X X  X 方差的算术平方根 称为 的标准差或均方差 记为 D(X)=E{[X-E(X)]2 } 注：1.随机变量的方差是非负数, D(X)0

2方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散 程度 若X的取值比较集中,则方差D(X)较小 若X的取值比较分散,则方差D(X较大 因此,D(X是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X 取值分散程度的一个尺度

若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 2.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散 程度 . 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X 取值分散程度的一个尺度

二、方差的计算 D(X=EX-E(X12 由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X=[X-E(X)2的数学期望 为离散型, ∑[x-E(Xp(x) 概率函数 D(X) P(xk=PXExk Ix-e(xif(xdx X为连续型,X概率密度fx)

X为离散型， 概率函数 p(xk )=P{X=xk } 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 . D X( ) = 二、方差的计算 X为连续型，X概率密度f(x) D(X)=E{[X-E(X)]2 } 2 1 [ ( )] ( ), k k k x E X p x  =  − 2 [ ( )] ( )d , x E X f x x + − − 

计算方差的一个简化公式 D(X=E(X)-E(X)12 证:D(X)=E!XE(X) E{X22XE(X)+[E(X)2} E(Y2)-2E(XE(X)+|E(X)2 E(X2)-2E(X2+E(X2 E(X%)-E(XI

计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2 证：D(X)=E{[X-E(X)]2 } =E{X2 -2XE(X)+[E(X)]2 } =E(X2 )-2E(X)E(X)+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2 =E(X2 )-2[E(X)]2+[E(X)]2

°例1设随机变量x服从01分布,其概率函数为 P{X=0} P{X=1} 求D(X) 解E(X)=0×(1-p)+1×p=p E(X)=02×(1-p)+1×p=p 由公式D(X)=E(X)-E(X)2=p-p2=p(1-p) 因此,0-1分布E(X)=P,D(X)=P(1-p

例1 设随机变量X服从0—1分布，其概率函数为 P{X = 0} = 1− p, P{X = 1} = p 求D(X) . 解 E(X) = 0(1− p) + 1 p = p E X =  − p +  p = p 2 2 2 ( ) 0 (1 ) 1 由公式 ( ) ( ) [ ( )] (1 ) 2 2 2 D X = E X − E X = p − p = p − p 因此,0-1分布 E(X) = p,D(X) = p(1− p)

例2设X~P(a求D(X) 解°x的概率函数为 P{X=}= 2 e k=0,1,2,…,>0 ! E(X)=而E(X)之在x2 =∑[k(k-1)+k a e =0 ! k e 2e ∑k(k-1) +∑k e + (k-2) k=0 ! k=0 ! 2ee2+=2+aD(X)=E(X2)-E(X)2=元 因此,泊松分布E(X)=元,D(X)=元

例2 设X ~ P()，求D(X)。 解 X的概率函数为 , 0,1,2, , 0 ! { = } = =  −    k  k e P X k k E(X) = ,而 ( ) = 2 E X   = − 0 2 ! k k k e k     = − − − = 2 2 2 ( 2)! k k k e          = + = + 2 − 2 e e    =  − = − = − + 0 0 ! ! ( 1) k k k k k e k k e k k     = − =  2 2 D(X) E(X ) [E(X)] 因此,泊松分布 E(X) = ,D(X) =  +    = − = − + 0 ! [ ( 1) ] k k k e k k k  