第七节全概率公式与贝叶斯公式 ●全概率公式 ●贝叶斯公式
第七节 全概率公式与贝叶斯公式 ⚫全概率公式 ⚫贝叶斯公式
全概率公式 看一个例子: 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个 白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱 中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率. 解记A=“球取自号箱”, 123 99。。。° B=“取得红球” 则B=A1B+A2B+A3B
有三个箱子,分别编号为1,2,3. 1号箱装有1个红球4个 白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3红球. 某人从三箱 中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率. 解 记 Ai=“球取自i号箱” , i=1,2,3; B =“取得红球” 1 2 3 看一个例子: 一、全概率公式 则 B= A1B+A2B+A3B
则B=A1B+A2B+A3B 运用概率加法定理得到 P(B)=P(A1B)+P42B)+P43B) 对求和中的每 项运用概率 乘法定理得P(B)=∑P(A1)P(B|4) 将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每 一项运用概率 乘法定理得 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) = = 3 i 1 P B P Ai P B Ai ( ) ( ) ( ｜ ) 运用概率加法定理得到 则 B= A1B+A2B+A3B
全概率公式 设事件且仅当互不相容的事件B,,B, B中的 任一事件发生时才可能发生,则 P4)=∑P(B)P(A|B1) 事件B1,B2,,B叫做关于事件4的假设
1 2 , , , 设事件A B B B 当且仅当互不相容的事件 n 中的 任一事件发生时才可能发生，则 ( ) ( ) ( ) = = n i i Bi P A P B P A | 1 事件B1 ,B2 ,,Bn 叫做关于事件A的假设 全概率公式
例1有10个袋子,各袋中装球的情况如下 (1)2个袋子中各装有2个白球与4个黑球 (2)3个袋子中各装有3个白球与3个黑球 (3)5个袋子中各装有4个白球与2个黑球 任选一个袋子,并从其中任意取2个球,求取出的2个 球都是白球的概率 解:设A事件表示“取出的两个球都是白球”,事件B表 示“选择的是第谈袋子”(i=1,概率公式 P4)=∑P4|B)P(B
例1 有10个袋子，各袋中装球的情况如下： (1)2个袋子中各装有2个白球与4个黑球 (2) 3个袋子中各装有3个白球与3个黑球 (3) 5个袋子中各装有4个白球与2个黑球 任选一个袋子，并从其中任意取2个球，求取出的2个 球都是白球的概率 解：设A事件表示“取出的两个球都是白球”，事件Bi表 示“选择的是第i类袋子”(i=1,2,3) 由全概率公式 ， = = 3 1 ( ) ( | ) ( ) i P A P A Bi P Bi
例1有10个袋子,各袋中装球的情况如下: (1)2个袋子中各装有2个白球与4个黑球 (2)3个袋子中各装有3个白球与3个黑球 (3)5个袋子中各装有4个白球与2个黑球 2 3 P(B1) P(B2)=P(B3) 10 10 5 P(A B1) 10 C15 P(A|B2)= 3 215 PC4|B,)=C6 15 因此P(A=∑PAB)P(B)=41 150
例1 有10个袋子，各袋中装球的情况如下： (1)2个袋子中各装有2个白球与4个黑球 (2) 3个袋子中各装有3个白球与3个黑球 (3) 5个袋子中各装有4个白球与2个黑球 P(B1 ) = P(B2 ) = P(B3 ) = ( | ) P A B1 P(A| B3 ) = P(A| B2 ) = 10 2 10 3 10 5 15 1 2 6 2 2 = = C C 15 3 2 6 2 3 = C C 15 6 2 6 2 4 = C C 因此 3 1 ( ) ( | ) ( ) i i i P A P A B P B = = 41 150 =
例2每100件产品为一批已知每批产品中次品数 不超过4件,每批产品中有i件次品的概率为 2 34 P0.10.2040201 从每批产品中不放回地取10件进行检验若发现有不合格 产品则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格. 求一批产品通过检验的概率
每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数 不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格 产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求一批产品通过检验的概率 例2
解设一批产品中有i件次品为事件B,i=0,1,,4 A为一批产品通过检验 已知P(B)如表中所示,且 10 P(AB= 100,i=0,123,4 10 100 由全概率公式P(A)=∑P(B)P(B)=0814 0
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 A 为一批产品通过检验 已知P( Bi )如表中所示，且 P(A Bi ) = 由全概率公式 ( ) ( ) ( ) 4 0 i i P A P Bi P AB = = = 0.814 , 0,1,2,3,4 10 100 10 100 = − i C C i
贝叶斯公式 刚才的例子中: 某人从任一箱中任意摸 出一球,发现是红球求该球1红4白 是取自1号箱的概率 2 3 这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中 更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果 发生条件下,探求各原因发生可能性大小
某人从任一箱中任意摸 出一球，发现是红球,求该球 是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 二、贝叶斯公式 刚才的例子中: 这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式
