延安大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（经管类）第八章 参数估计

第八章参数估计 研究参数估计,要解决两个方面的问题: 怎样估计参数,即用什么样的办法对参数进行估计; 2.对估计出的参数值用什么标准衡量其优劣程度 S8.1估计量的优劣标准 §8,2获得估计量的方法——点估计 §8.3区间估计

第八章 参数估计 §8.1 估计量的优劣标准 §8.2 获得估计量的方法——点估计 §8.3 区间估计 研究参数估计，要解决两个方面的问题： 1.怎样估计参数，即用什么样的办法对参数进行估计； 2.对估计出的参数值用什么标准衡量其优劣程度

参数估计的概念 定义设总体X的分布函数F(x;0)的形式为已 知,θ∈⊙。其中θ为未知参数,回为参数空间, ● X是总体X的一个样本,若统计 量f(X1 X1)可作为0的一个估计,则称其为 0的一个估计量,记为日,即日=f(X1…,Xn) 若x1,…,xn是样本的一个观测值 0=f(x1…,xn)称为b的估计值 在不致混淆的情况下统称估计量与估计值为估计 注:Ⅹ的分布函数F(x;θ)也可用分布律或密度函数代替

参数估计的概念 定义 设总体X的分布函数F(x; )的形式为已 知, 。其中为未知参数, 为参数空间, X1， … ， Xn是总体X的一个样本，若统计 量f(X1， … ， Xn)可作为的一个估计,则称其为 的一个估计量，记为 注：X的分布函数F(x;)也可用分布律或密度函数代替. 1 ˆ ˆ , f ( , , ).   即  X X  n 若x1，…， xn是样本的一个观测值。 1 ˆ f ( , , ) , n    x x  称 为 的 估 计 值 在不致混淆的情况下统称估计量与估计值为估计

S8.1估计量的优劣标准 )一致估计 定义8.1如果当n→>∞时,依概率收敛于O,即任给E>0, inP(-60,则称θ是0的一致性估计量 致性是对于极限性质而言的,它只在样本 容量较大时才起作用

§8.1 估计量的优劣标准 （一） 一致估计 定义8.1 ˆ ˆ ˆ ˆ   设  是 的估计量，若 则称 是 的一致性估计量。 1 n P θ θ(X , ,X ) θ θ θ， θ θ    n n , 0 lim P( )=1               如果当 时，依概率收敛于 即任给 ， ，则称 为参数 的一致估计。 一致性是对于极限性质而言的，它只在样本 容量较大时才起作用

(二)无偏估计 设0=(X1…,Xn)为6的估计量,若Eb=b 则称是的无偏估计量 定义8,2如果EO=成立 则称估计为参数的无偏估计。 例1从总体ξ中取一样本(X1,…,X),E8= H,D8=σ2,试证样本平均数Ⅹ及样本方差S2 分别是μ及σ2的无偏估计

（二）无偏估计 例1 从总体ξ中 取一样本（ X1, …,Xn ），Eξ = μ ,Dξ = σ2 , 试证样本平均数     1 ( , , ) , .      X X E n   设    为 的估计量 若 则称 是 的无偏估计量   8.2 E = ,     定义 如果 成立 则称估计 为参数 的无偏估计。 分别是μ及σ2的无偏估计。 2 X S 及 样 本 方 差

证 Xn2X, S=n2(, -X) E(X)=E(∑X)=∑EX=-m= E(X)=1∴样本均值X是μ的无偏估计 ES2=E∑(X1-X)2]=a

证 1 1 , n i i X X n     2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n      1 1 ( ) ( ) n i i E X E X n    2 2 2 1 1 ES = [ ( ) ] . 1 n i i E X X n       1 1 n i i EX n    1 n n     E X( )   ∴样本均值X是μ的无偏估计

Dx=D/x)=1∑Dx=1 ES=E n-1>(x-X) n1x-(- n1B(x-02-x-) DX E n-1 ∑E(X1-) no S2是σ2的无偏估计

2 2 1 1 ( ) 1 n i i ES E X X n              2 1 1 1 n i i E X X n                2 2 1 1 ( ) 1 n i i E X n X n                2 2 1 1 1 1 1 n n DX D X DX i i n n n               2 1 2 2 1 1 n n n n n             2 2 1 1 1 1 n i i n E X E X n n           1 2 DX = n  ∴S 2是σ2的无偏估计

如果从总体中随机取出两个相互独立的样本 X1n1)及(X X2),则可以证 明 X 4+(+)s=(n=+(2-s n1+n2 分别是总体中μ和σ的无偏估计量。其中, x=∑x n-1之(xn1-X)

如果从总体中随机取出两个相互独立的样本 （ X11 , …,X1n1 ）及（X21 , …,X2n2），则可以证 明 分别是总体中μ和σ2的无偏估计量。其中， i 1 2，       2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 n S n S X n X n X S n n n n          2 2 1 1 1 1 ( ) 1 n n i i j i i j i j j i X X S X X n n        

(三)有效估计 对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个,而 且无偏性仅仅表明θ所有可能取的值按概率平均等 于日,可能它取的值大部分与0相差很大。为保证 θ的取值能集中与θ附近,自然要求日的方差越小 越好 设O=0(x1…Xn),=1,2分别是参数O的两个 无偏估计,若DO1<DO2,则称O比2有效

对总体的某一参数的无偏估计量往往不止一个，而 且无偏性仅仅表明θ所有可能取的值按概率平均等 于θ，可能它取的值大部分与θ相差很大。为保证 θ的取值能集中与θ附近，自然要求θ的方差越小 越好。 （三）有效估计       1 1 2 1 2 ( , , ), 1, 2 , , . i i X X i n D D           设  分别是参数 的两个 无偏估计 若 则称 比 有效

定义8.3设和θ都是0的无偏估计,若样本容量为 的方差小于8的方差,则称是比有效的估 计量。如果在θ的一切无偏估计量中,的方差达到 最小,则。称为θ的有效估计量。 实际上,样本平均数X是总体期望值μ的有效估计量。 由定义可知,一个无偏估计量取的值是在可能范 围内最密集于θ附近的

由定义可知，一个无偏估计量取的值是在可能范 围内最密集于 θ附近的。 定义8.3 设θ和θ’都是θ的无偏估计，若样本容量为 n, θ的方差小于θ’的方差，则称θ是比θ’有效的估 计量。如果在θ的一切无偏估计量中, θ的方差达到 最小，则θ称为θ的有效估计量。 实际上，样本平均数X是总体期望值μ的有效估计量

例2比较总体期望值μ的两个无偏估计的有效性 aX ∑ XX ≠0 解:E(X)=Dx=1a2 a EX EⅩ

例2 比较总体期望值μ的两个无偏估计的有效性。 1 1 n i i X X n    ' 1 1 n i i i n i i a X X a      1 0 n i i a          解： E X( )   1 2 DX n   μ ' 1 1 X n i i i n i i a E EX a       