第一章随机事件及其概率 、基本内容 ()随机试验与样本空间 1.随机试验具有下列特点的试验称为随机试验(试验 (1)试验在相同的条件下可重复进行; (2)试验前知道试验的所有可能结果,并且可能的结果不止一个; (3)试验前不知道那一个结果会出现。 2样本空间与样本点 样本空间随机试验的所有可能的结果所组成的集合,记作2; 样本点样本空间2中的每个元素,即试验的每一可能的结果, 记作。 2 1,02,…,n
1 第一章 随机事件及其概率 一、基本内容 1.随机试验 （1）试验在相同的条件下可重复进行； （2）试验前知道试验的所有可能结果，并且可能的结果不止一个； （3）试验前不知道那一个结果会出现。 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): 2.样本空间与样本点 样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合，记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素， 记作ω。 1 , 2 ,, n , 即试验的每一可能的结果， (一)随机试验与样本空间
二)事件及事件之间的关系与运算 随机事件、必然事件、不可能事件 2事件间的关系与运算 (1)包含与相等 (2)和事件:A∪B:“二事件A与B至少有一事件发生” A1UA20…A:“n个事件A1,A2,…,A,中至少有一个发生” (3)积事件:A∩B或AB:“二事件A与B都发生” n个事件的积A41∩42∩…∩A或AA2…A(简记为∩A1) (4)互不相容(互斥)事件:AB=:事件A与B不能同时发生 若n个事件A1,A2,…,An中任意两个事件不可能同时发生,即 A4A1=(1≤i<j≤n) 通常把n个互不相容事件A1,A2,…,An的和记作 A+A2+…+A,(简记为∑4)
2 (二) 事件及事件之间的关系与运算 1.随机事件、必然事件、不可能事件 2.事件间的关系与运算 (1)包含与相等 (2)和事件: “n 个事件 中至少有一个发生” “二事件 A 与 B 至少有一事件发生” (3)积事件: 或 n 个事件的积 ( ) 1 i n i A 或 简记为 “二事件 A 与 B 都发生” (4)互不相容(互斥)事件: 事件 A 与 B 不能同时发生 若 n 个事件 中任意两个事件不可能同时发生，即 通常把 n 个互不相容事件 的和记作 ( ). 1 n i Ai 简记为
(6)逆事件A∪B=,AB=￠B=A或A=B (7)完备事件组A2=9, = 互不相容的完备事件组:若A1,A2…,An满足 U4=g2,且A1A1=d(1≤i<j≤n) i=1 3事件运算的性质 (1).A=A,A+A=32,AA=中; (2).A(B∪C)= AB U AC (3).A∪B=AB,AB=AUB. ∪A=∩A,∩A=UA i=1
3 (6 ) 逆事件 或 (7)完备事件组 互不相容的完备事件组： 且 若 满足 (1). A A, (2). AB C AB AC , A B A B, AB A B. (3). A A , AA ; 3.事件运算的性质
(三)概率的定义 概率的定义事件A发生的可能性大小 概率的统计定义 概率的古典定义:P(A M N 几何概率的定义:P(A)= 随机事件A所占的几何度量 试验的总的几何度量 概率的公理化定义 (四)概率的有关定理及公式 1.加法定理P(UB)=P(4)+P(B)-P(AB) P(A1∪A2U…UAn)=∑P(4)-∑P(A1A) 1≤i< +∑P(A1A1Ak)-…+(-1)”1P(A,A2…A) 1≤i<j<k≤ 若事件A1,42,…,An构成互不相容的完备事件组,则 (A1+A2+…+An)=P(A1)+P(41)+…+P(
4 (三) 概率的定义 概率的定义 事件 A 发生的可能性大小 概率的古典定义： 几何概率的定义: 概率的统计定义 概率的公理化定义 (四) 概率的有关定理及公式 1.加法定理 若事件 A1 , A2 ,, An 构成互不相容的完备事件组，则
2条件概率及乘法定理 条件概率P(B)=P4,PBAP4B 乘法定理P(AB)=P(B)P(B)=P(A)P(B/A P(4A2…An)=P(41)P(2/A4)P(4/A42)…P(n/A141…An1) 3全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式P(A)=∑P(B1)P(AB 其中∪AB1=A,BB1=φ(≤i<j≤n i=1 贝叶斯公式P(B1/A) P(BP(AB) ∑P(B,)P(B1)
5 2.条件概率及乘法定理 条件概率 乘法定理 3.全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 其中 贝叶斯公式
(五)事件的独立性与独立试验序列 事件的独立性P(4B)=P(AP(4/A,A4…)=P(A1) 事件A与事件B相互独立命→P(AB)=P(4)P(B) 若n个事件A1,42…,n是相互独立的,则 P(A1A12…An)=P(41)P(A2)…P(An) 如果在独立试验序列中事件A的概率为p(0<p<1),则在n 次试验中事件A恰好发生m次的概率 m -7 m--- P m!(n-m)"4 其中p+q=1
6 (五) 事件的独立性与独立试验序列 事件的独立性 事件 A 与事件 B 相互独立 若 n 个事件 A1 ,A2 ,…,An 是相互独立的，则 如果在独立试验序列中事件 A 的概率为 p (0< p <1)， 次试验中事件 A 恰好发生 m 次的概率 其中 。 则在 n
二、例题选讲 1.5把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本放在一起的 概率。 解基本事件的总数:N=P0设4=“指定的3本放在一起”, 则A所包含的基本事件的数:M=P3P8 M P3·P8:3!1 P(A) 8 0.067 10.15 1.6为减少比赛场次,把20个球队任意分成两组(每组10队)进 行比赛,求最强的两队分在不同组内的概率 解基本事件的总数:N=C1020! 2010:10! 设事件A表示最强的两队分在不同组内
7 1.5 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的3本放在一起的 概率。 解 基本事件的总数：N P10 设A =“指定的3本放在一起” ， 则A所包含的基本事件的数： M P3 P8 ∴ 10 3 8 ( ) P P P N M P A 10! 8!3! 0.067 15 1 二、例题选讲 10! 10! 20! 1.6 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进 行比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。 解 设事件A 表示最强的两队分在不同组内， 基本事件的总数： 10 N C20
18! 则4所包含的基本事件的数:M=C2C18=299 P(A) C2C1810 0.526 10 20 19 另解:P(A)=1-P(A) N、2C8 10 20 17解:北家的13张牌中可以是52张牌中的任意13张,则 基本事件总数为:C 13 529 用A表示(1)中所述事件,基本事件数为: CaC4C3C 13 5431 13131313=0.0054. 13 用B表示2)中所述事件,基本事件数为:C!CC4C4C36 (B) 0.03795 13
8 ∴ 10 20 9 18 1 2 ( ) C C C P A 则A所包含的基本事件的数： 9 18 1 M C2C 9!9! 18! 2 0.526 19 10 另解： 10 20 8 18 2 ( ) 1 ( ) 1 C C P A P A 1.7 解: 北家的 13 张牌中可以是 52 张牌中的任意13 张，则 基本事件总数为： 用 A 表示⑴中所述事件， 基本事件数为： 用 B 表示⑵中所述事件，基本事件数为：
183个球随机的投入4个盒子中,求下列事件的概率: (1)A是任意3个盒子中各有1个球 (2)B是任意1个盒子中有3个球; (3)C是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球。 解:(1)P(A)= =0.375 (2)P(B) 0.0625 (3)P(C) C3 =0.5625
9 （1） 3 3 4 4 3! ( ) C P A 1.8 3个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率： （1）A是任意3个盒子中各有1个球； （2）B是任意1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。 解： 0.375 （2） 3 1 4 4 ( ) C P B 0.0625 （3） 3 1 3 2 3 1 4 4 ( ) C C C P C 0.5625
19解:样本空间样本点的个数为:6 A含样本点的个数为:C6C5C4·C B含样本点的个数为: C含样本点的个数为: 甲乙丙 2 21 D含样本点的个数为:C·Cb·CE含样本点的个数为:Cb . c l c P(A) 3=02778P(B)=4654=0.555 6 P(C)= =0.0694 P(D) 0.0926 2×6 P(E)=4=0.0046
10 乙 1.9 解: 样本空间样本点的个数为： 4 6 A含样本点的个数为： 1 3 1 4 1 5 1 C6 C C C B含样本点的个数为： 1 4 1 5 1 6 2 C4 C C C C含样本点的个数为： 2 2 1 1 4 2 6 5 1 2 C C C C 甲 丙 丁 1 1 2 2 2 2 1 1 D含样本点的个数为： 1 5 1 6 3 C4 C C E含样本点的个数为： 1 C6 0.2778 6 ( ) 4 1 3 1 4 1 5 1 6 C C C C P A 0.5556 6 ( ) 4 1 4 1 5 1 6 2 4 C C C C P B 0.0694 2 6 ( ) 4 1 5 1 6 2 4 C C C P C 0.0926 6 ( ) 4 1 5 1 6 3 4 C C C P D 0.0046 6 ( ) 4 1 6 C P E