2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)函数f(x)= 的可去间断点的个数为 SIn zx (A)1 (B)2 (C)3. (D)无穷多个 (2)当x→0时,f(x)=x- inax与g(x)=x21n(1-bx)是等价无穷小,则 1, b (D)a=-1,b 3)使不等式 x sin/ dt>lnx成立的x的范围是 (B)(1,-) (C)(,) (D)(x,+∞) (4)设函数y=f(x)在区间[-13]上的图形为 f(r) 则函数F(x)=f()d的图形为 f(x)
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 3 ( ) sin x x f x x − = 的可去间断点的个数为 (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个. （2）当 x →0 时， f x x ax ( ) sin = − 与 2 g x x bx ( ) ln(1 ) = − 是等价无穷小，则 (A) a =1， 1 6 b = − . （B） a =1， 1 6 b = . (C) a =−1， 1 6 b = − . （D） a =−1， 1 6 b = . （3）使不等式 1 sin ln x t dt x t 成立的 x 的范围是 (A) (0,1) . (B) (1, ) 2 . (C) ( , ) 2 . (D) ( , ) + . （4）设函数 y f x = ( ) 在区间 −1,3 上的图形为 则函数 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = 的图形为 (A) (B) f x( ) O 2 3 x 1 -2 -1 1 f x( ) O -2 1 2 3 x -1 1 1 f x( ) -2 O 2 3 x -1 1
f(x) f(r) (C) (5)设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵,若|A|=2,B=3,则分 块矩阵 的伴随矩阵为 B O O 3B O 2B 2A O /O3 O 2A 2B O 100 (6)设AP均为3阶矩阵,P为P的转置矩阵,且PAP=010 若P=(a1,a2,a3.Q=(1+a2a2,a),则QAQ为 l10 (B)120 002 002 100 (C)010 (D)020 (7)设事件A与事件B互不相容,则 (A)P(AB)=0 (B)P(AB)=P(A)P(B) (C)P(A)=1-P(B) (D)P(A∪B) (8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(O,1),Y的概率分布为 P{Y=0}=P{Y=1=,记F(z)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数F2()的间断
(C) (D) （5）设 A B, 均为 2 阶矩阵， * A B, 分别为 A B, 的伴随矩阵，若 | | 2,| | 3 A B = = ，则分 块矩阵 O A B O 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 O B A O . (B) * * 2 3 O B A O . (C) * * 3 2 O A B O . (D) * * 2 3 O A B O . （6）设 A P, 均为 3 阶矩阵， T P 为 P 的转置矩阵，且 100 0 1 0 0 0 2 T P AP = ， 若 1 2 3 1 2 2 3 P Q = = + ( , , ), ( , , ) ，则 T Q AQ 为 (A) 2 1 0 1 1 0 0 0 2 . (B) 1 1 0 1 2 0 0 0 2 . (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 . (D) 100 0 2 0 0 0 2 . （7）设事件 A 与事件 B 互不相容，则 (A) P AB ( ) 0 = . (B) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = . (C) P A P B ( ) 1 ( ) = − . (D) P A B ( ) 1 = . （8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0,1) ，Y 的概率分布为 1 { 0} { 1} 2 P Y P Y = = = = ，记 ( ) F Z z 为随机变量 Z XY = 的分布函数，则函数 ( ) F z Z 的间断 f x( ) O -2 1 2 3 x -1 1 f x( ) O -1 1 2 3 x 1
点个数为 (C)2. (D)3 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9)lim +x (10)设z=(x+e”),则 (11)幂级数∑ x"的收敛半径为 (12)设某产品的需求函数为Q=QP),其对应价格P的弹性5n=0.2,则当需求量 为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加_ 兀 (13)设a=(11,B=(1,0,k),若矩阵aB相似于000,则k= (14)设x1,H2,…Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本,X和S分别 为样本均值和样本方差,记统计量T=X-S2,则ET= 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分9分) 求二元函数∫(x,y)=x2(2+y2)+yhy的极值 (16)(本题满分10分) 计算不定积分|ln(1+ 如、十 (17)(本题满分10分) 计算二重积分(x-y)dd,其中D=1(x)x-13+(y-1)2y≥x) (18)(本题满分11分) (I)证明拉格朗日中值定理,若函数f(x)在[ab]上连续,在(ab)上可导,则 5∈(a,b),得证f(b)-f(a)=f(5)(b-a)
点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） cos 0 3 2 lim 1 1 x x e e x → − = + − . （10）设 ( )y x z x e = + ，则 (1,0) z x = . （11）幂级数 2 1 ( 1) n n n n e x n = − − 的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为 Q Q P = ( ) ,其对应价格 P 的弹性 0.2 p = ，则当需求量 为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元. （13）设 (1,1,1)T = , (1,0, )T = k ，若矩阵 T 相似于 3 0 0 000 000 ，则 k = . (14) 设 X1 ，X2 ,…, X m 为来自二项分布总体 B n p ( , ) 的简单随机样本， X 和 2 S 分别 为样本均值和样本方差，记统计量 2 T X S = − ，则 ET = . 三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分） 求二元函数 ( ) 2 2 f x y x y y y ( , ) 2 ln = + + 的极值. （16）（本题满分 10 分） 计算不定积分 1 ln(1 ) x dx x + + ( 0) x . （17）（本题满分 10 分） 计算二重积分 ( ) D x y dxdy − ，其中 2 2 D x y x y y x = − + − {( , ) ( 1) ( 1) 2, }. （18）（本题满分 11 分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数 f x( ) 在 a b, 上连续，在 (a b, ) 上可导，则 (a b , ) ，得证 ( ) ' f b f a f b a ( ) ( ) ( ) − = −
(Ⅱ)证明:若函数∫(x)在x=0处连续,在(O,a)(>0)内可导,且 Imf(x)=A,则f(0)存在,且f,(0)=A (19)(本题满分10分) 设曲线y=f(x),其中∫(x)是可导函数,且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线 y=0,x=1及x=(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯 形面积值的丌t倍,求该曲线的方程. (20)(本题满分11分) 0-4-2 (1)求满足A2=5,A253=51的所有向量52,3 (Ⅱ)对(I)中的任意向量2,53,证明5,2,53线性无 (21)(本题满分11分) 设二次型 f(x1x2x3)=ax12+ax2+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3 (I)求二次型∫的矩阵的所有特征值 (Ⅱ)若二次型∫的规范形为y2+y2,求a的值 (22)(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 fxy≈Je0<y<x 0其他 (I)求条件概率密度m(yx) (Ⅱ)求条件概率P{Xs1ys (23)(本题满分11分) 袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现在放回的从袋中取两次,每次取一个,求
（Ⅱ）证明：若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，在 (0, , ( 0) ) 内可导，且 ' 0 lim ( ) x f x A → + = ，则 ' f (0) + 存在，且 ' f A (0) + = . （19）（本题满分 10 分） 设曲线 y f x = ( ) ，其中 f x( ) 是可导函数，且 f x( ) 0 .已知曲线 y f x = ( ) 与直线 y x = = 0, 1 及 x t t = ( 1) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯 形面积值的 t 倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分 11 分） 设 1 1 1 A= 1 1 1 0 4 2 − − − − − , 1 1 1 2 − = − . （Ⅰ）求满足 A 2 1 = ， 2 A 3 1 = 的所有向量 2 ， 3 . （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 2 , 3 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关. （21）（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 f x x x ax ax a x x x x x ( , , ) ( 1) 2 2 = + + − + − . （Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值. （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 2 2 1 2 y y + ，求 a 的值. （22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 0 ( , ) 0 x e y x f x y − = 其他 （Ⅰ）求条件概率密度 ( ) Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率 P X Y 1 1 . （23）（本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求
以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数 (1)求P(X=1|z=0 (Ⅱ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布
以 X 、Y 、 Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求 P X Z = = 1 0 ； （Ⅱ）求二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布