2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上 (1) (2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f(x)=e,f(2)=1,则 )设函数/()可徽,且f()=2,则:=(4x2-y)在点(12处的全微分 (4)设矩阵/2 E为2阶单位矩阵矩阵B满足BA=B+2E,则B= 5)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[03]上的均匀分布,则 P(max(X, r 0,f"(x)>0,△x为自变量x在点x处 的增量,4y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分,若△x>0,则() (A)0<dy<4 (B)0<Ay< dy (C) (D)dy< Ay<o (8)设函数/(x)在x=0处连续,且1n/(h2 h=1,则() A)f(0)=0且(0)存在 (B)f(0)=1(0)存在
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. (1) ( 1) 1 lim ______. n n n n − → + = (2) 设函数 f x( ) 在 x = 2 的 某 邻 域 内 可 导， 且 ( ) ( ) e f x f x = ， f (2 1 ) = ， 则 f (2 ____. ) = (3) 设函数 f u( ) 可微，且 ( ) 1 0 2 f = ，则 ( ) 2 2 z f x y = − 4 在点(1,2)处的全微分 (1,2) d _____. z = (4) 设矩阵 2 1 1 2 A = − ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B E = + 2 ，则 B = . (5) 设随机变量 X Y 与 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布 ， 则 P X Y max , 1 = _______. (6) 设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) 1 2 1 , , , , 2 x n f x e x X X X − = − + 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 2 S ，则 2 ES = ____. 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数 y f x = ( ) 具有二阶导数，且 f x f x ( ) 0, ( ) 0 ，x 为自变量 x 在点 0 x 处 的增量， y y 与d 分别为 f x( ) 在点 0 x 处对应的增量与微分，若 x 0 ，则（） (A) 0 d y y . (B) 0 d y y . (C) y yd 0 . (D) d 0 y y . (8) 设函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，且 ( ) 2 2 0 lim 1 h f h → h = ，则（） (A) f f (0 0 0 ) − ( ) = 且 存在 (B) f f (0 1 0 ) − ( ) = 且 存在
)f()=0目+(O)存在 D)f(0)=1且(0)存在 (9)若级数∑an收敛,则级数() A)∑|an收敛 (B)∑(-1)an收敛 (C)∑anan收敛 收敛 (10)设非齐次线性微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y(x),y2(x),C为任 意常数,则该方程的通解是() cIy(x)-y2(x) +C[y(x)-y2(x)] (c)Cly(x)+y(x) (D)y(x)+Cly (x)+y2(x) 1)设f(x,y)与o(x,y)均为可微函数,且9(x,y)≠0,已知(x,y)是f(x,y)在 约束条件q(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是() (A)若f(x2y3)=0,则f(x2,y)=0 (B)若f(x,y)=0,则f,(x,0)≠0 C)若厂(x,y0)≠0,则f(x,y)=0 D)若f(x,y0)≠0,则f,(x,y)≠0 (12)设a1,2…a,均为n维列向量,A为m×Hn矩阵,下列选项正确的是() (A)若∝1,a2,…a线性相关,则Aa1,Ax2,…,Aa,线性相关 (B)若a1,a2…a,线性相关,则Ax12Aax2…,Aa,线性无关 (C)若ax1,a2…,a,线性无关,则Ax1,Aa2…,A,线性相关 (D)若a1,a2…,∝,线性无关,则Am1,Aa2…,Aa,线性无关, (13)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到
(C) f f (0 0 0 ) + ( ) = 且 存在 (D) f f (0 1 0 ) + ( ) = 且 存在 (9) 若级数 1 n n a = 收敛，则级数（） (A) 1 n n a = 收敛 . （B） 1 ( 1)n n n a = − 收敛. (C) 1 1 n n n a a + = 收敛. (D) 1 1 2 n n n a a + = + 收敛. (10) 设非齐次线性微分方程 y P x y Q x + = ( ) ( ) 有两个不同的解 1 2 y x y x C ( ), ( ), 为任 意常数，则该方程的通解是（） (A) C y x y x 1 2 ( ) ( ) − . (B) y x C y x y x 1 1 2 ( ) ( ) ( ) + − . (C) C y x y x 1 2 ( ) ( ) + . (D) y x C y x y x 1 1 2 ( ) ( ) ( ) + + (11) 设 f x y x y ( , ) ( , ) 与 均为可微函数，且 ( , ) 0 y x y ，已知 0 0 ( , ) x y 是 f x y ( , ) 在 约束条件 ( , ) 0 x y = 下的一个极值点，下列选项正确的是（） (A) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y = ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y = . (B) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y = ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . (C) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y = . (D) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y ，则 0 0 ( , ) 0 y f x y . (12) 设 1 2 , , , s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若 1 2 , , , s 线性相关，则 1 2 , , , A A A s 线性相关. (B) 若 1 2 , , , s 线性相关，则 1 2 , , , A A A s 线性无关. (C) 若 1 2 , , , s 线性无关，则 1 2 , , , A A A s 线性相关. (D) 若 1 2 , , , s 线性无关，则 1 2 , , , A A A s 线性无关. (13) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的−1 倍加到
第2列得C,记P=010,则 001 (A)C=P AP 3)C= PAF (C)C=PAP (D)C=PAPT (14)设随机变量X服从正态分布N(A1G2),随机变量服从正态分布N(2G2), 且 x-ukP(r-u2k (C)112 三、解答题:15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分7分) 设f(xy)=, x>0,y>0 arctan 1)g(x)=lim f(x, y) (Ⅱ)limg(x) (16)(本题满分7分) 计算二重积分』y2-d,其中D是由直线y=x,y=1x=0所围成的平面区 域 (17)(本题满分10分) 证明:当0asin a+2cosa+a (18)(本题满分8分) 在xOy坐标平面上,连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线 斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)
第 2 列得 C ，记 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P = ，则（） (A) 1 C P AP − = . (B) 1 C PAP− = . (C) T C P AP = . (D) T C PAP = . (14) 设随机变量 X 服从正态分布 2 1 1 N( , ) ，随机变量 Y 服从正态分布 2 2 2 N( , ) ， 且 P X P Y − − 1 2 1 1 则必有（） (A) 1 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 1 2 三、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分） 设 ( ) 1 sin , , 0, 0 1 arctan x y y y f x y x y xy x − = − + ，求： (Ⅰ) ( ) lim , ( ) y g x f x y →+ = ； (Ⅱ) ( ) 0 lim x g x → + 。 （16）（本题满分 7 分） 计算二重积分 2 d d D y xy x y − ，其中 D 是由直线 y x y x = = = , 1, 0 所围成的平面区 域。 （17）（本题满分 10 分） 证明：当 0 a b 时， b b b b a a a a sin 2cos sin 2cos + + + + （18）（本题满分 8 分） 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M (1,0) ，其上任意点 P x y x ( , 0 )( ) 处的切线 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a>0 ）
(Ⅰ)求L的方程 (Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时,确定a的值。 (19)(本题满分10分) 求幂级数∑ (-1 n(2n-1) 的收敛域及和函数s(x)。 (20)(本题满分13分) 设4维向量组a1=(+a1,1),a2=(2+a,2,2),a1=(3,3,3+a13),a (4.4.4a)问a为何值时a1,a2a3,a4线性相关?当a1,a2a3,a1线性相关时,求其 个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。 (21)(本题满分13分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1),a2=(0.-1)是 线性方程组Ax=0的两个解 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ=A (Ⅲ)求A及A-E,其中E为3阶单位矩阵。 (22)(本题满分13分) 设随机变量X的概率密度为 <x< fx( 0≤x<2 0.其他 令y=X2,F(xy)为二维随机变量(XY)的分布函数 (1)求y的概率密度f(y) (Il)Cov(X, Y)
（Ⅰ）求 L 的方程； （Ⅱ）当 L 与直线 y ax = 所围成平面图形的面积为 8 3 时，确定 a 的值。 （19）（本题满分 10 分） 求幂级数 ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 n n n x n n − + = − − 的收敛域及和函数 s x( ) 。 （20）（本题满分 13 分） 设 4 维向量组 ( ) ( ) ( ) T T T 1 2 3 4 = + = + = + = 1 ,1,1,1 , 2, 2 , 2, 2 , 3,3,3 ,3 , a a a ( ) T 4, 4, 4, 4 + a 问 a 为何值时 1 2 3 4 , , , 线性相关？当 1 2 3 4 , , , 线性相关时，求其一 个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。 （21）（本题满分 13 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 ( ) ( ) T T 1 2 = − − = − 1, 2, 1 , 0, 1,1 是 线性方程组 Ax = 0 的两个解。 （Ⅰ）求 A 的特征值与特征向量； （Ⅱ）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 T Q AQ = ； （Ⅲ）求 A 及 6 3 2 A E − ，其中 E 为 3 阶单位矩阵。 （22）（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 1 , 1 0 2 1 , 0 2 4 0, X x f x x − = 其他 ， 令 ( ) 2 Y X F x y = , , 为二维随机变量 ( , ) X Y 的分布函数。 （Ⅰ）求 Y 的概率密度 f y Y ( ) ； （Ⅱ） Cov( , ) X Y ；
(Ⅲ)F|--4 (23)(本题满分13分) 设总体X的概率密度为 b,0<x<1, f(x0)={1-0,1≤x<2 0,其他, 其中是未知参数(0<<1),X1,k2,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本 值x,x2…xn中小于1的个数 (Ⅰ)求b的矩估计; (Ⅱ)求b的最大似然估计
（Ⅲ） 1 ,4 2 F − 。 （23）（本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为 ( ) , 0 1, ; 1 ,1 2, 0 , x f x x = − 其他, 其中 是未知参数 (0 1 ) ， 1 2 n X X X , ..., 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 值 1 2 , ..., n x x x 中小于 1 的个数。 （Ⅰ）求 的矩估计； （Ⅱ）求 的最大似然估计