习题五 1.二维随机变量)只能取下列数组中的值:(0(1)(-120),且取这 些组值的概率依次为11.1.5,求这二维随机变量的分布律。 631212 解由题意可得(x,)的联合分布律为 XIY 0 10 12 5 2.一口袋中有四个球,它们依次标有数字12,23。从这袋中任取一球后,不 放回袋中,再从袋中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相 同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律及P(x=) 解X可能的取值为,2,3,Y可能的取值为12,3,相应的,其概率为 P(X=1y=1)=0,P(X=1Y=2) l×21 =,P(X=1,y=3)= 4×36 4×312 P(X=2,y=1) 2×11 =,P(X=2,y=2)= 2×11 P(X=3y=1)=,P(x=3y=2)=1×x/+36 4×36 2×1=1,P(x=2Y=3)=4×36 4 4x3=,P(X=3,F=3)=0 或写成 XIY 1 6 P(X=y)=P(X=1Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3y=3)
习题五 1. 二维随机变量 (X,Y ) 只能取下列数组中的值： ( ) ( ) ,(2,0) 3 1 0,0 , 1,1 , 1, − − ，且取这 些组值的概率依次为 12 5 , 12 1 , 3 1 , 6 1 ，求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得 (X,Y ) 的联合分布律为 X\Y 0 3 1 1 -1 0 12 1 3 1 0 6 1 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字 1,2,2,3 。从这袋中任取一球后，不 放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相 同。以 X、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求 (X,Y ) 的分布律及 P(X = Y )。 解 X 可能的取值为 1,2,3，Y 可能的取值为 1,2,3 ，相应的，其概率为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 3, 3) 0. 6 1 4 3 1 2 , 3, 2 12 1 3, 1 , 6 1 4 3 2 1 , 2, 3 6 1 4 3 2 1 , 2, 2 6 1 4 3 2 1 2, 1 , 12 1 4 3 1 1 , 1, 3 6 1 4 3 1 2 1, 1 0, 1, 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 1 2 3 1 0 6 1 12 1 2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 1 P X =Y = P X =1,Y =1 + P X = 2,Y = 2 + P X = 3,Y = 3 =
3.箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品 共取2次,定义随机变量X、Y如下: 0,若第一次取出正品 Y 若第二次取出正品 1,若第一次取出次品; 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量(x,y)的联合分布律:(1)放回抽样;(2) 不放回抽样。 解(1)在放回抽样时,Ⅹ可能取的值为01,Y可能取的值也为01,且 P(X=0r=0)=8×816 10×1025 P(x=0y=1)=8x2 10×10 P(X=1y=0) 2×84 10×1025 P(X=1Y=1) 2×21 10×1025 或写成 XY0 1 0 16 4 (2)在无放回情形下,X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率 与有放回情形下不一样,具体为 P(X=0,y=0) P(x=0y=)=3×2=8 10×9 10×945 10×9-45,P(X=1y=1)=2x1 2×8 或写成 XIY 0 0 4.对于第1题中的二维随机变量(x,Y)的分布,写出关于X及关于Y的边缘 分布律
3. 箱子中装有 10 件产品，其中 2 件为次品，每次从箱子中任取一件产品， 共取 2 次，定义随机变量 X、Y 如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布律：（1）放回抽样；（2） 不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为 0,1，Y 可能取的值也为 0,1 ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) , 25 1 10 10 2 2 , 1, 1 25 4 10 10 2 8 1, 0 , 25 4 10 10 8 2 , 0, 1 25 16 10 10 8 8 0, 0 = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 0 1 0 25 16 25 4 1 25 4 25 1 （2）在无放回情形下，X、Y 可能取的值也为 0 或 1，但取相应值的概率 与有放回情形下不一样，具体为 ( ) ( ) ( ) ( ) , 45 1 10 9 2 1 , 1, 1 45 8 10 9 2 8 1, 0 , 45 8 10 9 8 2 , 0, 1 45 28 10 9 8 7 0, 0 = = = = = = = = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y 或写成 X\Y 0 1 0 45 28 45 8 1 45 8 45 1 4. 对于第 1 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，写出关于 X 及关于 Y 的边缘 分布律
解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X-102 概率 5 按列相加得Y的边缘分布律为 概率 5.对于第3题中的二维随机变量(x,)的分布律,分别在有放回和无放回两 种情况下,写出关于X及关于Y的边缘分布律。 解在有放回情况下X的边缘分布律为 X01 概率33 Y的边缘分布律为 Y01 概率55 在无放回情况下Ⅹ的边缘分布律为 X01 概率| Y的边缘分布律为 Y 概率 04-5 6.求在D上服从均匀分布的随机变量(x,Y)的密度函数及分布函数,其中D 为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域 解区域D见图52。 易算得D的面积为s=1×1×1=1,所以(x)的密度函数 4
解 把第 1 题中的联合分布律按行相加得 X 的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 12 5 6 1 12 5 按列相加得 Y 的边缘分布律为 Y 0 3 1 1 概率 12 7 12 1 3 1 5. 对于第 3 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布律，分别在有放回和无放回两 种情况下，写出关于 X 及关于 Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下 X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 6. 求在 D 上服从均匀分布的随机变量 (X,Y ) 的密度函数及分布函数，其中 D 为 x 轴、y 轴及直线 y = 2x +1 围成的三角形区域。 解 区域 D 见图 5.2。 易算得 D 的面积为 4 1 2 1 1 2 1 S = = ，所以 (X,Y ) 的密度函数
f(x, y) 其他 (x,Y)的分布函数 F(,y)=C”Cf(x,y)k 当x<-或y<0时,F(xy) 当-x<00≤y<2x+1时 (x,y)=小y14adx=4x+2 当-≤x<0.y≥2x+1时,F(xy)=1d4dy=4x2+4x+1; 当x≥00≤y<1时,F(x,y)=44dx=2y-y 1时,F(x,y)=∫1df4dy=1 综合有 x<--或y<0 4. ≤x<0且0≤y<2x+1 X< 2 x≥0且0≤y<1 7.对于第6题中的二维随机变量(x,y)的分布,写出关于X及关于Y的边缘 密度函数。 解X的边缘密度函数为 f(x)=C"f(x,y)如y 2x+1 少 4(2x+1) 其他 其他 Y的边缘密度函数为
f (x, y) = 0, 4, ( ) 其他 x, y D (X,Y ) 的分布函数 ( ) ( ) − − = y x F x, y f x, y dxdy 当 2 1 x − 或 y 0 时， F(x, y) = 0 ； 当 0,0 2 1 2 1 − x y x + 时 , ( ) 2 0 2 1 F x, y dy 4dx 4xy 2y y y x y = = + − − ； 当 0, 2 1 2 1 − x y x + 时， ( , ) 4 4 4 1 2 2 1 2 1 0 = = + + − + F x y dx dy x x x x ； 当 x 0,0 y 1 时， ( ) 2 0 0 2 1 F x, y dy 4dx 2y y y y = = − − ； 当 x 0, y 1 时， ( ) − + = = 0 2 1 2 1 0 , 4 1 x F x y dx dy 综合有 0, 0 2 1 x − 或y 4 2 , 2 xy − y + y 0 0 2 1 2 1 − x 且 y x + F(x, y) = 4 4 1, 2 x + x + 0 2 1 2 1 − x 且y x + 2 , 2 y − y x 0且0 y 1 1, x 0且y 1 7. 对于第 6 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，写出关于 X 及关于 Y 的边缘 密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ( ) ( ) + − f x = f x y dy X , = 0, 4 , 2 1 0 x+ dy 其他 0 2 1 − x = ( ) 0, 4 2x +1 , 其他 0 2 1 − x Y 的边缘密度函数为 -1 2 1 − 0 1 x y 1 图 5.2
fr ()=mf(r,y)dx 2(1-y) 0<y<1 其他 其他 8.在第3题的两种情况下,Ⅹ与Y是否独立,为什么? 解在有放回情况下,由于x=0=0)=,而x=0=035,即 P(x=0y=0)=P(x=0)P(y=0);容易验证P(x=0,Y=1)=P(x=0)P(=1) P(x=1y=0)=P(x=1)P(y=0)P(x=1y=1)=P(x=1)P(y=1),由独立性定义知X与Y相 互独立。 在无放回情况下,由于Px=0r=0)=28,而P(x=0y=05525,易见 4416 P(x=0y=0)≠P(x=0)P(=0),所以X与Y不相互独立。 9.在第6题中,Ⅹ与Y是否独立,为什么? 解 1)4 43 而 易见 所以 X与Y不相互独立。 0.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律: 100.5 Y|-0.513 概率3123 概率 写出表示(x,Y)的分布律的表格。 解由于X与Y相互独立,因此 y)=P(x=x )Ply=y, hi 例如P(x=2y=-05)=P(x=2)Py=05)=1×1=1 428 其余的联合概率可同样算得,具体结果为 XY|-0.513
( ) ( ) + − f y = f x y dx Y , = 0, 4 , 0 2 y−1 dx 其他 0 y 1 = ( ) 0, 2 1− y , 其他 0 y 1 8. 在第 3 题的两种情况下，X 与 Y 是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于 ( ) 25 16 P X = 0,Y = 0 = ，而 ( ) ( ) 25 16 5 4 5 4 P X = 0 P Y = 0 = = ，即 P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) ；容易验证 P(X = 0,Y =1) = P(X = 0)P(Y =1), P(X =1,Y = 0) = P(X =1)P(Y = 0), P(X =1,Y =1) = P(X =1)P(Y =1) ，由独立性定义知 X 与 Y 相 互独立。 在无放回情况下，由于 ( ) 45 28 P X = 0,Y = 0 = ，而 ( ) ( ) 25 16 5 4 5 4 P X = 0 P Y = 0 = = ，易见 P(X = 0,Y = 0) P(X = 0)P(Y = 0) ，所以 X 与 Y 不相互独立。 9. 在第 6 题中，X 与 Y 是否独立，为什么？ 解 4 3 1 , 4 1 = f − ，而 3 4 3 1 2, 4 1 = = X − Y f f ，易见 − − 3 1 4 1 3 1 , 4 1 X Y f f f ，所以 X 与 Y 不相互独立。 10. 设 X、Y 相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 4 1 3 1 12 1 3 1 概率 2 1 4 1 4 1 写出表示 (X,Y ) 的分布律的表格。 解 由于 X 与 Y 相互独立，因此 P(X = x ,Y = y )= P(X = x )P(Y = y ),i =1,2,3,4, j =1,2,3, i j i j 例如 ( ) ( ) ( ) 8 1 2 1 4 1 P X = −2,Y = −0.5 = P X = −2 P Y = −0.5 = = 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 8 1 16 1 16 1
61212 48 0.5 61212 11.设Ⅹ与Y是相互独立的随机变量,X服从[2]上的均匀分布,Y服从参 数为5的指数分布,求(x,y)的联合密度函数及P(x≥y)。 解.由均匀分布的定义知 fr()3 s, 其他 由指数分布的定义知 ()手5y, y 0 其他 因为X与Y独立,易得(x,)的联合密度函数 f(x,y)=fx(x)()= 00 其他 概率P(X≥Y)=』∫(x,y)xd 0.2 其中区域G={x,y)x≥y见图5.3,经计算有 图5.3 P(x2)=02a23b=025-e-kh e-1 12.设二维随机变量(x,Y)的联合密度函数为 ke f(x, y)= 0,y>0 其他 求:(1)系数k;(2)P0≤Xs10≤Y≤2);(3)证明X与Y相互独立 解(1)k必须满足C八(xydb=1,即ke(+)dx=1,经计算得k=12 (2)P0≤X≤10≤y≤2)=((12e-(+bx=(-e-)-e-) (3)关于X的边缘密度函数 f()=( 其他
-1 6 1 12 1 12 1 0 24 1 48 1 48 1 0.5 6 1 12 1 12 1 11. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，X 服从 0,0.2 上的均匀分布，Y 服从参 数为 5 的指数分布，求 (X,Y ) 的联合密度函数及 P(X Y )。 解. 由均匀分布的定义知 f X (x) = 0, 5, 其他 0 x 0.2 由指数分布的定义知 fY (y) = 0, 5 , 5 y e − 其他 y 0 因为 X 与 Y 独立，易得 (X,Y ) 的联合密度函数 f (x, y) = f X (x)fY (y) = 0, 25 , 5 y e − 其他 0 x 0.2, y 0 概率 ( ) ( ) = G P X Y f x, y dxdy， 其中区域 G = (x, y)| x y 见图 5.3，经计算有 ( ) ( ) 0.2 1 0 0.2 5 0 0 5 25 51 − − − P X Y = dx e dy = − e dx = e x y x 。 12. 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x, y) = ( ) 0, , 3x 4 y ke− + 其他 x 0, y 0 求：（1）系数 k ；（2） P(0 X 1,0 Y 2) ；（3）证明 X 与 Y 相互独立。 解 （1） k 必须满足 ( ) + − + − f x, y dxdy=1 ，即 ( ) 1 0 3 4 0 = + + − + dy k e dx x y ，经计算得 k =12 ； （2） ( ) ( ) ( )( ) 2 3 8 0 1 0 3 4 0 1,0 2 12 1 1 − + − − P X Y = dy e dx = − e − e x y ； （3）关于 X 的边缘密度函数 ( ) ( ) + − f X x = f x, y dy = ( ) 0, 12 , 0 3 4 e dy x y + − + 其他 x 0 y 0.2 x 图 5.3
其他 同理可求得Y的边缘密度函数为 6()J4 其他 易见f(x,y)=(x)1()<x<+-<y<+,因此Ⅹ与Y相互独立。 13.已知二维随机变量(x,y)的联合密度函数为 0<x<1,0<y<x 0, 其他 (1)求常数k;(2)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数;(3)X与Y是否 独立? 解(1)k满足f(x, yydxdy=1,即4k(-x)y=1解得k=24 (2)Ⅹ的边缘密度函数 fx(x)=f(,ydy 2401-x)oh 0<x<1 其他 12x2(-x) 0<x<1 其他 Y的边缘密度函数为 f ∫240-x)yh 0<y<1 其他 12y(-y)2 0<y<1 其他 (3) 111 而fx(x) frl) 192 易见 1616 1((小,因此x与Y不相互独立。 14.设随机变量ⅹ与Y的联合分布律为 XY0 1
= 0, 3 , 3x e − 其他 x 0 同理可求得 Y 的边缘密度函数为 fY (y) = 0, 4 , 4 y e − 其他 x 0 易见 f (x, y) = f X (x)fY (y),− x +,− y + ，因此 X 与 Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数为 f (x, y) = ( ) 0, k 1− x y, 其他 0 x 1,0 y x （1）求常数 k ；（2）分别求关于 X 及关于 Y 的边缘密度函数；（3）X 与 Y 是否 独立？ 解 （1） k 满足 ( ) + − + − f x, y dxdy=1 ，即 ( ) − = 1 0 0 1 1 x dx k x ydy 解得 k = 24 ； （2）X 的边缘密度函数 ( ) ( ) + − f X x = f x, y dy = ( ) 0, 24 1 , 0 x ydy x − 其他 0 x 1 = ( ) 0, 12 1 , 2 x − x 其他 0 x 1 Y 的边缘密度函数为 fY (y) = ( ) 0, 24 1 , 1 − y x ydx 其他 0 y 1 = ( ) 0, 12 1 , 2 y − y 其他 0 y 1 （ 3 ） 3 1 4 1 2 1 24 4 1 , 2 1 = = f ， 而 ( ) ( ) 16 27 16 9 4 1 , 12 2 3 2 1 4 1 f X x =12 = fY y = = ，易见 4 1 2 1 4 1 , 2 1 X Y f f f ，因此 X 与 Y 不相互独立。 14. 设随机变量 X 与 Y 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 25 2 b
且P(=1x=0)=3,(1)求常数ab的值;(2)当ab取(1)中的值时,X与Y 是否独立?为什么? 解(1)ab必须满足∑∑n=1,2+b+a+3+n+2,可推出a+b=5 另外由条件概率定义及已知的条件得 r(=1x=0=2P(x=0y==b=3 由此解得b=3,结合a+b=7可得到a=14, 3 (2)当a=14,b=3时,可求得P(x=0)=5,m(=0)=1,易见 P(x=0y=0)=2≠P(x=0)(=0 因此,Ⅹ与Y不独立。 15.对于第2题中的二维随机变量(x,y)的分布,求当y=2时X的条件分布律。 解易知p2=Py=2)=,因此y=2时X的条件分布律为 XY 2 概率 P23p23 16.对于第6题中的二维随机变量xy)的分布,求当x=x-<x<0时Y的 条件密度函数。 解X的边缘密度函数为(由第7题所求得)
1 a 25 3 2 25 1 25 2 且 ( ) 5 3 P Y =1| X = 0 = ，（1） 求常数 a,b 的值；（2）当 a,b 取（1）中的值时，X 与 Y 是否独立？为什么？ 解 （1） a,b 必须满足 = = = 2 1 3 1 1 j i ij p ，即 1 25 2 25 1 25 3 25 2 + b + a + + + = ，可推出 25 17 a + b = ， 另外由条件概率定义及已知的条件得 ( ) ( ) ( ) 5 3 25 0 2 0, 1 1| 0 = + = = = = = = = b b P X P X Y P Y X 由此解得 25 3 b = ，结合 25 17 a + b = 可得到 25 14 a = ， 即 25 3 25 14 = = b a （2）当 25 3 , 25 14 a = b = 时，可求得 ( ) ( ) 25 17 , 0 25 5 P X = 0 = P Y = = ，易见 ( ) ( 0) ( 0) 25 2 P X = 0,Y = 0 = P X = P Y = 因此，X 与 Y 不独立。 15. 对于第2 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，求当 Y = 2 时X 的条件分布律。 解 易知 ( ) 2 1 p2 = P Y = 2 = ，因此 Y = 2 时 X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 3 1 2 12 = p p 3 1 2 22 = p p 3 1 2 32 = p p 16. 对于第 6 题中的二维随机变量 (X,Y ) 的分布，求当 = − 0 2 1 X x, x 时 Y 的 条件密度函数。 解 X 的边缘密度函数为（由第 7 题所求得）
f(x) 4(2x+1) <x< 其他 由条件密度函数的定义知当x=x-<x<0时Y的条件密度函数为 f(x,y) 0<y<2x+1 f(x) 4(2x+1) 其他 0<y<2x+1 2x+1 其他
f X (x) = ( ) 0, 4 2x +1 , 其他 0 2 1 − x 由条件密度函数的定义知当 = − 0 2 1 X x, x 时 Y 的条件密度函数为 ( ) ( ) ( ) = = f x f x y f y x X Y X , | | ( ) 0, , 4 2 1 4 x + 其他 0 y 2x + 1 = 0, , 2 1 1 x + 其他 0 y 2x +1
