2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分.请将答案写在答题纸指定位置 上 (1)极限 lim xsin (2)微分方程x+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为 (3)设二元函数=x"+(x+1)n(1+y),则d0= (4)设行向量组(21)(21a)(3,2a)(432)线性相关,且a≠1,则 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1…,X中任取一个数,记为Y,则 PY=21 (6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 0 0.4 b 若随机事件{X=0)与{X+y=}相互独立,则a= b 、选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (7)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 ()设1=osF2+yo,1=J(x2+y)d,1=(x2+y)do,其 中D={(x,y)x2+y2≤1},则 (A)13>l2>1(B)l1>l2>l3(C)l2>1>13(D)l3>l1>l2 (9)设an>0.n=12,…若∑an发散,∑(-1)"an收敛,则下列结论正确的是
2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置 上. (1) 极限 2 2 lim sin x 1 x x → x = + ______. (2) 微分方程 xy y + = 0 满足初始条件 y(1 2 ) = 的特解为______. (3) 设二元函数 ( 1 ln 1 ) ( ) x y z xe x y + = + + + ，则 (1,0) dz = ______. (4) 设行向量组 (2,1,1,1 , 2,1, , , 3,2,1, , 4,3,2,1 ) ( a a a ) ( ) ( ) 线性相关，且 a 1 ，则 a =______. (5) 从数 1, 2,3, 4 中任取一个数，记为 X ，再从 1, , X 中任取一个数，记为 Y ，则 P Y = = 2 ______. (6) 设二维随机变量 ( X Y, ) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件 X = 0 与 X Y+ =1 相互独立，则 a =______，b = ______. 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 当 a 取下列哪个值时，函数 ( ) 3 2 f x x x x a = − + − 2 9 12 恰有两个不同的零点. （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 (8) 设 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 cos , cos , cos D D D I x y d I x y d I x y d = + = + = + ，其 中 ( ) 2 2 D x y x y = + , 1 ，则 （A） 3 2 1 I I I （B） 1 2 3 I I I （C） 213 I I I （D） 3 1 2 I I I (9) 设 0, 1,2, , n a n = 若 1 n n a = 发散， ( ) 1 1 1 n n n a − = − 收敛，则下列结论正确的是
(A)∑a2n1收敛 发散 (B)∑an收敛,∑a2m发散 (C)∑(an1+a2)收敛 (D)∑(a21-a2n)收敛 (10)设∫(x)= xsinx+cosx,下列命题中正确的是 (A)f(O)是极大值,f是极小值 (B)f(0)是极小值, 是极大值 (C)f(0)是极大值, 也是极大值 (D)f(0)是极小值, 也是极小值 (11)以下四个命题中,正确的是 (A)若f(x)在(0)内连续,则f(x)在(0,1)内有界 (B)若f(x)在(Q)内连续,则∫(x)在(.)内有界 (C)若f(x)在(01)内有界,则∫(x)在(,)内有界 (D)若f(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(01)内有界 2)设矩阵A=()满足A=A,其中A为A的件随矩阵,为A的转置矩阵 若a12a12,a13为三个相等的正数,则a1为 √ (A) (B)3 (D) √3 13)设A,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a1,a2,则 a,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)A1=0 0 1≠0(D)A2≠0 (14)(注:该题已经不在数三考纲范围内)
（A） 2 1 1 n n a − = 收敛， 2 1 n n a = 发散 （B） 2 1 n n a = 收敛， 2 1 1 n n a − = 发散 （C） ( 2 1 2 ) 1 n n n a a − = + 收敛 （D） ( 2 1 2 ) 1 n n n a a − = − 收敛 (10) 设 f x x x x ( ) = + sin cos ，下列命题中正确的是 （A） f (0) 是极大值， 2 f 是极小值 （B） f (0) 是极小值， 2 f 是极大值 （C） f (0) 是极大值， 2 f 也是极大值 （D） f (0) 是极小值， 2 f 也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是 （A）若 f x ( ) 在 (0,1) 内连续，则 f x( ) 在 (0,1) 内有界 （B）若 f x( ) 在 (0,1) 内连续，则 f x( ) 在 (0,1) 内有界 （C）若 f x ( ) 在 (0,1) 内有界，则 f x( ) 在 (0,1) 内有界 （D）若 f x( ) 在 (0,1) 内有界，则 f x ( ) 在 (0,1) 内有界 (12) 设矩阵 ( )3 3 A aij = 满足 * T A A = ，其中 * A 为 A 的伴随矩阵， T A 为 A 的转置矩阵. 若 11 12 13 a a a , , 为三个相等的正数，则 11 a 为 （A） 3 3 （B）3 （C） 1 3 （D） 3 (13) 设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2 , ，则 1 1 2 , A( + ) 线性无关的充分必要条件是 （A） 1 = 0 （B） 2 = 0 （C） 1 0 （D） 2 0 (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）
三、解答题:本题共9小题,满分94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分8分) 求lim (16)(本题满分8分) 设f()具有二阶连续导数,且8(xy)=11+y 求x28_,202 g (17)(本题满分9分) 计算二重积分x+y2-1,其中D={(xy)0≤x1.0sys (18)(本题满分9分) 求幂级数 ∑(2+-)在区(1)内的函数6 (19)(本题满分8分) 设f(x),g(x)在[]上的导数连续,且f(0)=0,f(x)≥0,g(x)≥0.证明:对任 何a∈0,1,有 g(x)(x)d+!f(xg(x)≥/(a)g() (20)(本题满分13分) 已知齐次线性方程组 x1+2x2+3x3 0, (i)12x+3x2+5x3=0, 和(ix+bx2+C=0 x1+x2+ax3=0, x1+bx2+(c+1 同解,求a,b,c的值 (21)(本题满分13分) 设D=4C 为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n阶 C B 矩阵
三、解答题：本题共 9 小题，满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 8 分） 求 0 1 1 lim 1 x x x e x → − + − − . （16）（本题满分 8 分） 设 f u( ) 具有二阶连续导数，且 ( , ) y x g x y f yf x y = + ，求 2 2 2 2 2 2 g g x y x y − . （17）（本题满分 9 分） 计算二重积分 2 2 1 D x y d + − ，其中 D x y x y = ( , 0 1,0 1 ) . （18）（本题满分 9 分） 求幂级数 2 1 1 1 2 1 n n x n = − + 在区间 (−1,1) 内的和函数 S x( ) . （19）（本题满分 8 分） 设 f x g x ( ), ( ) 在 0,1 上的导数连续，且 f f x g x (0 0, 0, 0 ) = ( ) ( ) .证明：对任 何 0,1 ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 a g x f x dx f x g x dx f a g + （20）（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 （ⅰ） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 5 0, 0, x x x x x x x x ax + + = + + = + + = 和 （ⅱ） ( ) 1 2 3 2 1 2 3 0, 2 1 0, x bx cx x b x c x + + = + + + = 同解，求 abc , , 的值. （21）（本题满分 13 分） 设 T A C D C B = 为正定矩阵，其中 A B, 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵， C 为 m n 阶 矩阵
(1)计算PDP,其中P/En-fC O E (Ⅱ)利用(I)的结果判断矩阵B-CAC是否为正定矩阵,并证明你的结论 (22)(本题满分13分) 设二维随机变量(X)的概率密度为 f(x,y) 0,02)为来自总体N(c2)的简单随机样本,其样本均值为x 记y=X1-X,i=1,2…,n (I)求的方差DHi=1,2…,n (Ⅱ)求F与H的协方差Co(Fy) (Ⅲ)若c(H1+)是a2的无偏估计量,求常数C
（Ⅰ）计算 T P DP ，其中 1 m n E A C P O E − − = ； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵 T 1 B C A C− − 是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分 13 分） 设二维随机变量 ( X Y, ) 的概率密度为 ( ) 0, 0 1,0 2 , , 1, x y x f x y = 其它. 求：（Ⅰ） ( X Y, ) 的边缘概率密度 f x f y X Y ( ), ( ) ； （Ⅱ） Z X Y = − 2 的概率密度 f z Z ( ) ； （Ⅲ） 1 1 2 2 P Y X . （23）（本题满分 13 分） 设 X X X n 1 2 , , , 2 n ( ) 为来自总体 ( ) 2 N 0, 的简单随机样本，其样本均值为 X ， 记 , 1,2, , Y X X i n i i = − = . （Ⅰ）求 Yi 的方差 , 1,2, , DY i n i = ； （Ⅱ）求 Y1 与 Y n 的协方差 Cov Y Y ( 1 , n ) ； （Ⅲ）若 ( ) 2 1 n c Y Y+ 是 2 的无偏估计量，求常数 c