2001年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共5小题每小题3分满分15分把答案填在题中横线上) (1)设y=e'( asin+ bcos)a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解,则该方程为 (2)=vx2+y2+=2, u div(grad)la-22) (3)交换二次积分的积分次序:d,f(x,y)x= (4)设A2+A-4E=0,则(A-2E)= (5)D(X)=2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X-E(X22}≤ 二、选择题(本题共5小题每小题3分满分15分每小题给出的四个选项中只有一个符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如右图所示则y=f(x)的图形为 (A) (2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx(0.0)=3f”(00)=1则 (A)d=ko.o)=3dx+dy (B)曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0)处的法向量为{31,1
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 e ( sin cos )( , x y a x b x a b = + 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解,则该方程为_____________. (2) 2 2 2 r = x + y + z ,则 (1, 2,2) div(grad )r − = _____________. (3)交换二次积分的积分次序: − 0 − 1 1 2 ( , ) y dy f x y dx＝_____________. (4)设 2 A A E O + − = 4 ,则 1 ( 2 )− A E − = _____________. (5) D X( ) 2 = ,则根据车贝晓夫不等式有估计 P{ X − E(X) 2} _____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数 f (x) 在定义域内可导, y = f (x) 的图形如右图所示,则 y = f (x) 的图形为 (A) (B) (C) (D) (2)设 f (x, y) 在点 (0,0) 的附近有定义,且 f x (0,0) = 3, f y (0,0) = 1 则 (A) (0,0) dz dx dy | 3 = + (B)曲面 z = f (x, y) 在 (0,0, (0,0)) f 处的法向量为 {3,1,1}
(C)曲线 z=f(x,y)在(0,0,f(0,0)处的切向量为03 y (D)曲线 z=f(x,y在(0,0,f(0,0)处的切向量为{3,0,1} y=0 (3)设∫(0)=0则f(x)在x=0处可导分→ (A)lim(1-cos h) 存在 (B)lim 存在 h (C)lim /(h-sinh) 存在 f∫(2h)-f(h) h→0 h l111 (4)没A=111 B 0000,则A与B 0000 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y 相关系数为 (A)-1 (本题满分6分) arctan e 求 四、(本题满分6分) f(x,y)在点(1,1)可微 f(1)=,/(1)=2,fy()=3.q(x)=f(x,f(x,x)求q(x)x1 五、(本题满分8分)
(C)曲线 ( , ) 0 z f x y y = = 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为 {1,0,3} (D)曲线 ( , ) 0 z f x y y = = 在 (0,0, (0,0)) f 处的切向量为 {3,0,1} (3)设 f (0) = 0 则 f (x) 在 x =0 处可导 (A) 2 0 (1 cos ) lim h f h → h − 存在 (B) 0 (1 e ) lim h h f → h − 存在 (C) 2 0 ( sin ) lim h f h h → h − 存在 (D) h f h f h h (2 ) ( ) lim 0 − → 存在 (4)设 1 1 1 1 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 = = A B ,则 A 与 B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 相关系数为 (A) -1 (B)0 (C) 1 2 (D)1 三、(本题满分 6 分) 求 2 arctan e e x x dx . 四、(本题满分 6 分) 设函数 z = f (x, y) 在 点 (1,1) 可 微 , 且 f (1,1) = 1, f x (1,1) = 2, f y (1,1) = 3,(x) = f (x, f (x, x)),求 1 3 ( ) x= x dx d . 五、(本题满分 8 分)
/(、J1+xmmx≠.()展开成x的幂级数并求∑二的和 x=0 六、(本题满分7分) 计算/=(y2-=2)+(2=2-x2)+(3x2-y3)其中L是平面x+y+=2与 柱面x+y=1的交线从Z轴正向看去,L为逆时针方 七、(本题满分7分) 设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0.证明 (1)对于Vx∈(-10)U(0,1),存在惟一的(x)∈(01),使f(x)=f(0)+xf((x)x)成 (2)im6(x)=0.5 八、(本趣满分8分) 设有一高度为h()(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 h(o) 2( MD(设长度单位为厘米时间单位为小时)已知体积减少的速率与侧面积 成正比(系数为09问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分6分) 设a12…,,为线性方程组AX=O的一个基础解系 阝=11+12a2,阝2=12+12a3…B4=4,+12 其中1,12为实常数试问1,12满足什么条件时β,阝2…阝,也为AX=O的一个基础解系? 十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵A和三维向量x使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x (1)记P=(x,Ax,A2x),求B使A=PBP (2)计算行列式A+E
设 f x( ) = 2 1 arctan 0 1 0 x x x x x + = ,将 f (x) 展开成 x 的幂级数,并求 = − − 1 2 1 4 ( 1) n n n 的和. 六、(本题满分 7 分) 计算 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 ) (3 ) L I y z dx z x dy x y dz = − + − + − ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与 柱面 x + y =1 的交线,从 Z 轴正向看去 , L 为逆时针方向. 七、(本题满分 7 分) 设 f (x) 在 ( 1,1) − 内具有二阶连续导数且 f (x) 0 .证明: (1)对于 x (−1,0) (0,1),存在惟一的 (x) (0,1) ,使 f (x) = f (0) + xf ( (x)x) 成 立. (2) lim ( ) 0.5 0 = → x x . 八、(本题满分 8 分) 设 有 一 高 度 为 h(t)(t 为时间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 , 其 侧 面 满 足 方 程 ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − (设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积 成正比(系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分 6 分) 设 1 2 , , , α α αs 为线性方程组 AX O= 的一个基础解系, 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2 1 , , , s s β = + = + = + t t t t t t α α β α α β α α , 其中 1 2 t ,t 为实常数,试问 1 2 t ,t 满足什么条件时 1 2 , , , β β βs 也为 AX O= 的一个基础解系? 十、(本题满分 8 分) 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x ,使得 2 x x x , , A A 线性无关,且满足 3 2 A A A x x x = − 3 2 . (1)记 2 P A A = ( , , ), x x x 求 B 使 −1 A PBP = . (2)计算行列式 A E+
十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X服从参数为A(2>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的 概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.y为中途下车的人数求 (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率 (2)二维随机变量(x,Y)的概率分布 十二、(本题满分7分) 设X~N(山,a2)抽取简单随机样本X1,X2X2(n≥2) 样本均值x=1x,y=∑(x+xm-2x)3,求EO
十一、(本题满分 7 分) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布,每位乘客在中途下车的 概率为 p p (0 1), 且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率. (2)二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布. 十二、(本题满分 7 分) 设 2 X N~ ( , ) 抽取简单随机样本 1 2 2 , , , ( 2), X X X n n 样本均值 = = n i Xi n X 2 2 1 1 , = = + + − n i Y Xi X n i X 1 2 ( 2 ) ,求 E Y( )