2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 仅供参考 选择题:1-8小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (1)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则() A函数∫(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点 函数∫(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有3个拐点 C.函数∫(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有1个拐点 D.函数∫(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点 (2)已知函数f(x,y) 则() f-f”=0 f+∫ f"-f”=f (3)设=Jyx-ydh(=123),其中D={(x,y)osxs10≤ys1}, D2=(xy)0x10y≤√x}D2={xy)0x5x2sys则() J1<J2< B.<J,<J C.<J<J (4) 级数为∑( sin(n+k)(k为常数)() A绝对收敛 B.条件收敛 C发散
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 仅供参考 一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （1）设函数 y f x ( ) 在( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ） A.函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x ( ) 有 2 个拐点 B. 函数 f x( ) 有 2 个极值点，曲线 y f x ( ) 有 3 个拐点 C. 函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x ( ) 有 1 个拐点 D. 函数 f x( ) 有 3 个极值点，曲线 y f x ( ) 有 2 个拐点 （2）已知函数 ( , ) x e f x y x y ，则（ ） A. 0 x y f f B. 0 x y f f C. x y f f f D. x y f f f （3）设 3 ( 1, 2,3) i k D J x ydxdy i ，其中 D x y x y 1 ( , ) 0 1, 0 1， D x y x y x 2 ( , ) 0 1, 0 2 3 D x y x x y ( , ) 0 1, 1 则（ ） A. 1 2 3 J J J B. 3 1 2 J J J C. 2 3 1 J J J D. 2 1 3 J J J （4）级数为 1 1 1 ( ) sin( ) n 1 n k n n （ k 为常数） （ ） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散
D收敛性与k有关 (5)设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是() A.A与B相似 B.A与B-1相似 C.A+A与B+B相似 D.A+A与B+B相似 (6)设二次型∫(x,x2,x)=a(x2+x2+x2)+2x2+2x2x+2xx3的正负惯性指数分别 为1,2,则() A.a>1 B.a<-2 C.-2<a< D.a=1或a=-2 (7)设A,B为两个随机变量,且0<P(4)<1,0<P(B)<1,如果PCAB)=1,则() A P(B A=1 BP(AB)=0 C.P(A∪B)=1 D P(BlA=1 (8)设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2,Y~N(1,4),则D(X)=() B.8 C.14D.15 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。 (9)已知函数∫(x)满足lim √+f(xin2x-1 2,则Iimf(x)= (10)极限im=2(Sn-+2sin2 +…+nsin)= (11)设函数∫(,v)可微,z=(x,y)由方程(x+1)x-y2=xf(x-2,y)确定,则 d=ko.n (12)设D={xy)xys1-15x51,则∫xedh=
D.收敛性与 k 有关 （5）设 A B, 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ ） A. T A 与 T B 相似 B. 1 A 与 1 B 相似 C. T A A 与 T B B 相似 D. 1 A A 与 1 B B 相似 （6）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x a x x x x x x x x x ( , , ) ( ) 2 2 2 的正负惯性指数分别 为 1,2，则（ ） A. a 1 B. a 2 C. 2 1 a D. a 1或 a 2 （7）设 A B, 为两个随机变量，且 0 ( ) 1, 0 ( ) 1 P A P B ，如果 P A B ( ) 1 ，则（ ） A. P B A ( ) 1 B. P A B ( ) 0 C. P A B ( ) 1 D. P B A ( ) 1 （8）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X N Y N ~ (1, 2), ~ (1, 4) ，则 D XY ( ) =（ ） A.6 B.8 C.14 D.15 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数 f x( ) 满足 3 0 1 ( ) sin 2 1 lim 2 1 x x f x x e ，则 0 lim ( ) x f x __________. （10）极限 2 1 1 2 lim (sin 2 sin sin ) n n n n n n n ___________. （11） 设函数 f u v ( , ) 可微， z z x y ( , ) 由方程 2 2 ( 1) ( , ) x x y x f x z y 确定，则 (0,1) dz | __________. （12）设 D x y x y x {( , ) || | 1, 1 1}，则 2 2 y D x e dxdy ___________
02-10 (13)行列式 00元-1 (14)设袋中有红、白、黑球各1个,从中有放回地取球,每次取1个,直到三种颜色的球 都取到时停止,则取球次数恰好为4的概率为 三、解答题:15-23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) 求极限lm(cos2x+2 sinx)x。 (16)(本题满分10分) 设某商品的最大需求量为1200件,该商品的需求函数Q=Q(p),需求弹性 7 120-P (7>0),p为单价(万元)。 (Ⅰ)求需求函数的表达式 (lⅡ)求p=100万元时的边际效益,并说明其经济意义 (18)(本题满分10分) 设函数f(x)连续,且满足”(x-)d=0(x-0(d+e-1,求f(x (19)(本题满分10分) 求幂级数 的收敛域及和函数 =(n+1)(2n+1) (20)(本题满分11分) 设矩形A=10a,B= 且方程组AX=B无解, +11a+1 求:(1)求a的值 (2)求方程组AAX=AB的通解 (21)(本题满分11分)
（13）行列式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 1 _________. （14）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球 都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为__________. 三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分） 求极限 41 0 lim(cos 2 2 sin ) x x x x x 。 （16）（本题满分 10 分） 设 某 商 品 的 最 大 需 求 量 为 1200 件 ， 该 商 品 的 需 求 函 数 Q Q p ( ) ， 需 求 弹 性 ( 0) 120 p p ， p 为单价（万元）。 （Ⅰ）求需求函数的表达式； （Ⅱ）求 p 100万元时的边际效益，并说明其经济意义。 （17） （18）（本题满分 10 分） 设函数 f x( ) 连续，且满足 0 0 ( )d ( ) ( )d 1 x x x f x t t x t f t t e ，求 f x( ) 。 （19）（本题满分 10 分） 求幂级数 2 2 0 ( 1)(2 1) n n x n n 的收敛域及和函数。 （20）（本题满分 11 分） 设矩形 1 1 1 1 0 1 1 1 a A a a a ， 0 1 2 2 a ，且方程组 AX 无解， 求：（1）求 a 的值 （2）求方程组 T T A AX A 的通解. （21）（本题满分 11 分）
已知矩阵A=2-30 000 (I)求A (Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1,a2a3)满足B2=BA。记B=(B,B2,月),将月1,B,B3分 别表示为a1,a2,a3的线性组合 (22)(本题满分11分) 设二维随机变量(X,y)在区域D={(x,y)0Y ()写出(X,)的概率密度; (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由 ()求Z=U+X的分布函数F(=) (23)(本题满分11分) 「3x2 设总体X的概率密度f(x0)={,0<x< 其中b∈(0,+∞)为未知参数, 0 x1,X2,X3为来自X的简单随机样本,令T=max(X1,X2,X3). (1)求T的概率密度; (2)确定a,使得E(aT)
已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A （Ⅰ）求 99 A （Ⅱ）设 3 阶矩阵 1 2 3 B ( , , ) 满足 2 B BA 。记 100 1 2 3 B ( , , ) ，将 1 2 3 , , 分 别表示为 1 2 3 , , 的线性组合。 （22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , ) X Y 在区域 2 D x y x x y x ( , ) | 0 1, 上服从均匀分 布，令 1, . 0, . X Y U X Y （ I ） 写出( , ) X Y 的概率密度； （ II ） 问U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （ III ）求 Z U X 的分布函数 F z( ) . （23）（本题满分 11 分） 设 总 体 X 的 概 率 密 度 2 3 3 , 0 ( , ) 0 x x f x 其 中 (0, ) 为 未 知 参 数 ， 1 2 3 X X X , , 为来自 X 的简单随机样本，令T X X X max( , , ) 1 2 3 .。 （1）求T 的概率密度； （2）确定 a ，使得 E aT ( )
一、选择题:1~8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)【答案】(B) (2)【答案】D (3)【答案】(B (4)【答案】(A) (5)【答案】(C (6)【答案】(C (7)【答案】(B (8)【答案】(C 二、填空题:9~14小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9)【答案】 (10)【答案】 - cos w (11)【答案】-ax+2@ (12)【答案】-(1--) (13)【答案】元4+A3+2元2+3元+4 (14)【答案】二 三、解答题:15~23小题共9分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 (15)【答案】e3 (16)【答案】(1)Q=1200-10p4 (Ⅱ)R'(p)=1200-20p p=100,R'(100)=-8004
(17)【答案】f(x)=4x2-2x; ∫()为最小值,最小值为二 4 (18)【答案】∫(x)=--ex--e2 1+x (19)【答案】收敛城[-1]:和函数S(x xln-+ln(1-x2).x∈(-1,1) (20)【答案】(I)a=0 (Ⅱ)通解为x=k(0-1,1)2+(1-2,0)2,其中k为任意常数 (21)【答案】(1)|-2+2101-2102-29 (Ⅱ)A=(2+2)a1+(-2+2)a2+ A2=(1-2)a1+(1-2)a2 B3=(2-2)a1+(2 (2)【答案】(①f(xy)= 30<x<1,2<y<√x 0,其他 I)U与X不独立,因为 P{≤,X≤3≠P{U≤=3PX≤}; I)Z的分布函数 0,z<0 z2-2.0≤z<1 F2(2) +2(z-1)2--(2-1)2,1≤z<2 (23)【答案】()T的概率密度艹 9x3 (x)=80<x<8 0其他