2016考研数学(一)真题及答案解析 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设{x}是数列下列命题中不正确的是() (A)若 limx=a,则lmx2n=limx2n+=a (B)若limx2n=limx2n+1=a,则 lim x=a (C)若 lim x=a,则limx3n=limx2n1=a (D)若lmx3n= lim x1=a,则 lim x=a 【答案】(D) (2)设y=1 争e2+(x-)e2是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+qy+b=ce2的一个 特解 a=-3,b=2,c=-1 (B)a=3,b=2,c=-1 (C)a=-3,b=2,c=1 (D)a=3.b=2c=1 【答案】(A) 【解析】将特解代入微分方程,利用待定系数法,得出a=-3,b=2,c=-1。故选A。 (3)若级数∑ax”在x=2处条件收敛,则x=√5与x=3依次为幂级数∑nn(x-1y的 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(A) 【解析】因为级数∑ax”在x=2处条件收敛,所以R=2,有幂级数的性质 ma(x-1)”的收敛半径也为R=2,即x-1<3,收敛区间为-1<x<3,则收敛域为 1<x≤3,进而x=√5与x=3依次为幂级数∑nn(x-1)的收敛点,收敛点,故选A (4)下列级数发散的是()
2016 考研数学（一）真题及答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）设 xn 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A）若 lim n n x a → = ，则 2 2 1 lim lim n n n n x x a + → → = = （B）若 2 2 1 lim lim n n n n x x a + → → = = ，则 lim n n x a → = （C）若 lim n n x a → = ，则 3 2 1 lim lim n n n n x x a − → → = = （D）若 3 3 1 lim lim n n n n x x a − → → = = ，则 lim n n x a → = 【答案】（D） （2）设 1 1 2 ( ) 2 3 x x y e x e = + − 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x y ay by ce + + = 的一个 特解，则 （A） a b c = − = = − 3, 2, 1 （B） a b c = = = − 3, 2, 1 （C） a b c = − = = 3, 2, 1 （D） a b c = = = 3, 2, 1 【答案】（A） 【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出 a b c = − = = − 3, 2, 1 。故选 A。 （3）若级数 1 n n n a x = 在 x = 2 处条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的 （ ） （A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】（A） 【解析】因为级数 1 n n n a x = 在 x = 2 处条件收敛，所以 R = 2 ，有幂级数的性质， 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛半径也为 R = 2 ，即 x − 1 3 ，收敛区间为 − 1 3 x ，则收敛域为 − 1 3 x ，进而 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛点，收敛点，故选 A。 （4）下列级数发散的是（ ）
(A)S (B) ln(1+ (C) (=y+1 In n (D) 【答案】(C) 【解析】(A)Sn=1+l2+…+ln= n81 +.+, sS.=(5)+2++n→7S=1+1++-8m=S=80-(y)-m imSn=存在,则收敛 %=m(+)-三→点三收敛,所以(B)收 (c)>(-y+ ∑ 2 Inn s Inn Inn 1,因为∑(∑上分别是收敛和发散,所以 (-1)”+1 发散,故选(C) (D)u =-, lim lin +1=e-1<1,所以收敛 (5)设矩阵A=12a,b=a,若集合9={12},则线性方程组Ax=b有无穷 多解的充分必要条件为() (A) aEQ2.aEQ2 (B)agg,a∈ (C)a∈g,a≠Ω2 (D)a∈9,a∈g 【答案】(D) 【解析】Ax=b有无穷多解白7(4)=7(4)<3.=4=0,即(a-2Xa-1)=0,从而 a=1或a=2
（A） 1 8 n n n = （B） 1 1 1 ln(1 ) n n n = + （C） 2 ( 1) 1 ln n n n = − + （D） 1 ! n n n n = 【答案】（C） 【解析】（A） 1 2 2 1 2 ... ... 8 8 8 n n n n S u u u = + + + = + + + ， 2 3 1 2 1 1 1 2 7 1 1 1 8 1 7 ( ) ... ... (1 ( ) ) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 49 8 8 n n n n n n n n n n n S S S + + = + + + = + + + − = − − ， 8 lim 49 n n S → = 存在，则收敛。 (B) 3 3 1 2 2 1 1 1 1 ln(1 ) n n u n n n n = = + 收敛，所以（B）收敛。 （C） 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ln ln ln n n n n n n n n = = = − + − = + ，因为 2 2 ( 1) 1 , ln ln n n n n n = = − 分别是收敛和发散，所以 2 ( 1) 1 ln n n n = − + 发散，故选（C)。 （D) ! , n n n u n = 1 1 lim lim 1 1 n n n n n u n e u n + − → → = = + ，所以收敛。 （5）设矩阵 2 2 1 1 1 1 1 2 , 1 4 A a b a = = ，若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷 多解的充分必要条件为（ ） （A） a , （B） a , （C） a , （D） a , 【答案】（D） 【解析】 Ax b = 有无穷多解 r A r A A ( ) = = ( ) 3, 0 ，即 ( 2)( 1) 0 a a − − = ，从而 a a = = 1 2 或
当a=1时,A=121:a→010:a-1 141 000:a2-3a+2 从而a2-3a+2=0→a=1或a=2时Ax=b有无穷多解 l11:1 144:a2)(000:a2-3a+2 从而a2-3a+2=0→a=1或a=2时Ax=b有无穷多解 所以选D (6)二次型∫(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y+y2-y2,其中 P=(e1e2e3),若Q=(e1-e3,e2),f(x,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准型为() (A)2y-y2 (B)2y2+y2-y2 (C)2y2-y2-y2 (D)2y2+y2+ 【答案】(A) 【解析】由已知得f(x,x2,x)= Y PAPY=2y2+y2-y3,Q=PE23E2(-1), 从而 f(x, x2,x3)=Y AQY=r E(DE P APEZE,(-Dr =yE2(-1)E2PAPE2E(-1)Y=2y-y2+y,其中E23=|001, 010 E2(-1)=0-10均为初等矩阵,所以选A 1001 (7)若A,B为任意两个随机事件,则 (A)P(AB)≤P(A)P(B) (B)P(AB)≥P(A)P(B) (C)P(AB)≤P()+P(B) (D) P(AB)> P(A)+P(B) 【答案】(C) 【解析】排除法。若AB=Φ,则P(AB)=0,而P(A),P(B)未必为0,故
当 a =1 时， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 4 1 0 0 0 3 2 A = → − − + 从而 2 − + 3 2=0 =1 =2 或 时 Ax b = 有无穷多解 当 a = 2 时， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 4 4 0 0 0 3 2 A = → − − + 从而 2 − + 3 2=0 =1 =2 或 时 Ax b = 有无穷多解 所以选 D. （6）二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其中 1 2 3 P = (e ,e ,e ) ，若 1 3 2 Q e = − (e , e , ) ， 1 2 3 f x x x ( , , ) 在正交变换 x Qy = 下的标准型为（ ） （A） 2 2 2 1 2 3 2y y y − + （B） 2 2 2 1 2 3 2y y y + − （C） 222 1 2 3 2yyy − − （D） 222 1 2 3 2yyy + + 【答案】（A） 【解析】由已知得 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ) 2 T T f x x x Y P APY y y y = = + − ， 23 2 Q PE E = −( 1) ， 从而 1 2 3 2 23 23 2 ( , , ) ( 1) ( 1) T T T T T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y = = − − 2 2 2 2 23 23 2 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 T T = − − = − + Y E E P APE E Y y y y ，其中 23 1 0 0 0 0 1 0 1 0 E = ， 2 1 0 0 ( 1) 0 1 0 0 0 1 E − = − 均为初等矩阵，所以选 A。 （7）若 A B, 为任意两个随机事件，则 （A） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （B） P AB P A P B ( ) ( ) ( ) （C） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + （D） ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB + 【答案】（C） 【解析】排除法。若 AB = ，则 P AB ( ) 0 = ，而 P A P B ( ), ( ) 未必为 0，故
P(AP(B)≥P(AB)P(+P(B)2P(AB),故BD错 若AcB,则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B),故A错。 (8)设总体X~B(mO),x12x2,H3为来自该总的简单随机样本,X为样本均值,则 EIYOX-X (A)(m-1)n(1-b) (B)m(n-1)6(1-) (C)(m-1)(n-1)(1-0 (D)mne(l-e) 【答案】(B) 【解析】 =m(n-1)(1-6) 、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上) (9)lim In(cosx 【答案】- 【解析】 lim Incos =lim-Cosx =-=lim- sinx 2x→0 X cosx2 (10) sInx 【答案】 【解析】 sInx 12,出x+[到x=2,出xd+2|5xk=x coS x 1+cos x 21+cosx 1)若函数=x,y)有方程C+2+x+csx=2确定,则d|o 【答案】 【解析】对e+xz+x+cosx=2两边分别关于x,y,求偏导,并将(0,1)这个代入,得到 0,所以dz -dx ay
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 2 P A P B P A P B P AB P AB + ，故 B D, 错。 若 A B ，则 P AB P A P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) = ，故 A 错。 （8）设总体 1 2 3 X B m X X X ( , ), , , 为来自该总的简单随机样本， X 为样本均值，则 2 1 ( ) n i i E X X = − = （A） ( 1) (1 ) m n − − （B） m n( 1) (1 ) − − （C） ( 1)( 1) (1 ) m n − − − （D） mn (1 ) − 【答案】（B） 【解析】 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 (1 ) 1 ( 1) (1 ) n i i n i i E X X ES DX m n E X X m n = = − = = = − − − = − − 二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上)． （9） 2 0 ln(cos ) lim x x → x = _____. 【答案】 1 2 − 【解析】 2 0 0 0 sin ln cos 1 sin 1 cos lim lim lim x x x 2 2 cos 2 x x x x → → → x x x x − = = − = − (10) 2 2 sin 1 cos x x dx x − + = + _______. 【答案】 2 4 【解析】 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 sin sin sin 2 1 cos 1 cos 1 cos 4 x x x x dx dx x dx dx xdx x x x − − − − + = + = + = + + + (11) 若函数 z z x y = ( , ) 有方程 cos 2 z e xyz x x + + + = 确定，则 (0,1) dz = _______. 【答案】 −dx 【解析】对 cos 2 z e xyz x x + + + = 两边分别关于 x y z , , 求偏导，并将 (0,1) 这个代入，得到 (0,1) (0,1) 1, 0 z z x y = − = ，所以 (0,1) dz dx = −
(12)设Ω是由x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域,则 [(x+2y+3=ydxdyd= 【答案】 【解析】由对称性 J(x+2y+3=ydrdyds:=6=dxdyds=6 =d=[]dxdy 其中 D2为平面二=-截空间区域Ω所得的截面 其面积为(1-2) 所以 前(x+2y+3)M=6h=6=21-31=3(=-2+)在=4 02 (13)n阶行列式 00:2 【答案】2m+1-2 【解析】按第一行展开得 20 2:00 0 =2D1+(-1)2(-1y 2D,+2 =2(2Dn-2+2)+2 2 2n+-2 (14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(L010)则P{xY-y<0
（12）设 是由 x y z + + =1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ( x y z dxdydz 2 3 ) + + = 【答案】 1 4 【解析】由对称性， ( ) 1 0 2 3 6 6 , DZ x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy + + = = 其中 DZ 为平面 z z = 截空间区域 所得的截面 其面积为 1 2 (1 ) 2 − z 所以： ( ) ( ) 1 1 2 3 2 0 0 1 1 2 3 6 6 (1 ) 3 2 2 4 x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz + + = = − = − + = (13) n 阶行列式 2 0 0 2 1 2 0 2 _______ 0 0 2 2 0 0 1 2 − = − 【答案】 1 2 2 n+ − 【解析】按第一行展开得 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 0 0 2 1 2 0 2 0 0 2 2 0 0 1 2 2 ( 1) 2( 1) 2 2 2(2 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n D D D D D + − − − − − − + − = − = + − − = + = + + = + + = + + + = − （14）设二维随机变量 ( X Y, ) 服从正态分布 N(1,0;1,1;0), 则 P XY Y − = 0 .
【答案】 P{X-y0}+P{(x-1)>0y0+P(x-)>}P{y<0 222 三、解答题:15-23小题,共赙分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (15)设函数f(x)=x+aln(1+x)+ basin x,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时为等 价无穷小,求ab,k的值。 【解析】由题意, lim f(x) g( →mx+ah(1+x)+ basin x →mx+叫(x-x/2+x3/3+ )+bx(x-x3/6+o(x3) k →m(a+1)x+(b-a/2)x2+ax313-bx4/6+0(x2)+o(x2)=k →a=-1,b=-1/2,k=-1/3 (16)计算二重积分x+y,其中D={(xy)+y22y≥x} 【解析】 =』x(x+y)=』 x'dxdy+xhod=2xrhy, 其中D={(xyx2+y2≤2,y≥x,x20} 则=x+y)h=2xd=ax3h_x。 x (17)已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的 最大方向导数 【解析】因为∫(x,υ)沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模 fx(x,y)=1+y,f,(x,y)=1+x grad(xy)={+y,1+x},模为√(1+y)2+(1
【答案】 1 2 . 【解析】由 0, XY = 故 X Y, 独立。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0, 0 1 0, 0 1 0 0 1 0 0 . 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 P XY Y P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y − = − = − + − = − + − = + = 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15）设函数 3 f x x a x bx x g x kx ( ) ln(1 ) sin , ( ) , = + + + = 若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 时为等 价无穷小，求 a b k , , 的值。 【解析】由题意， 1, 1/ 2, 1/ 3 ( 1) ( / 2) / 3 / 6 ( ) ( ) lim ( / 2 / 3 ( )) ( / 6 ( )) lim 1 ln(1 ) sin lim 1 ( ) ( ) lim 3 2 3 4 3 4 0 3 2 3 3 3 3 0 3 x 0 x 0 = − = − = − = + + − + − + + = + − + + + − + = + + + = → → → → a b k k x a x b a x ax bx o x o x k x x a x x x o x bx x x o x k x x a x bx x g x f x x x （16）计算二重积分 ( ) D x x y dxdy + ，其中 2 2 2 D x y x y y x = + ( , ) 2, 。 【解析】 1 2 2 ( ) 2 D D D D I x x y dxdy x dxdy xydxdy x dxdy = + = + = ， 其中 2 2 2 1 D x y x y y x x = + ( , ) 2, , 0 ， 则 2 2 1 1 2 2 2 0 2 ( ) 2 2 4 5 x x D D I x x y dxdy x dxdy dx x dy − = + = = = − 。 （17）已知函数 f x y x y xy ( , ) , = + + 曲线 2 2 C x y xy : 3, + + = 求 f x y ( , ) 在曲线 C 上的 最大方向导数 【解析】因为 f x y ( , ) 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模 ' ( , ) 1 , ' ( , ) 1 , x y f x y y f x y x = + = + gradf x y y x ( , ) 1 ,1 , = + + 模为 2 2 (1 ) (1 ) , + + + y x
此题目转化为对函数 g(x,y)=√(+y2+(1+x)2在约束条件C:x2+y2+xy=3 下的最大值,即为条件极值问题。本问题可以转化为对 d(x,y)=(1+y)2+(1+x)2在约束条件C:x2+y2+xy=3 下的最大值,构造函数 f(x,y,)=(1+y)2+(1+x)2+(x2+y2+xy-3) F'x=2(1+x)+(2x+y)=0 F',=2(1+y)+A(2y+x)=0 F +y2+xy-3=0 M1(1,1),M2(-1,-1),M3(2,-1),M4(-1,2), d(M1)=8d(M2)=0,d(M3)=9,d(M4)=9 故最大值为3 (18)设函数∫(x)在定义域/上的导数大于0,若对任意的x∈,曲线y=f(x)在点 (x,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x) 的表达式 【解析】y-f(x)=∫(x0)(x-x =f(x0(x-x0)+f(x0) ∫mr(xXx-x)+f(x)体x=4 解得:5y-dx 分离变量可得 3 因为y(0)=2 所以 2 综上f(x)
此题目转化为对函数 2 2 g x y y x ( , ) (1 ) (1 ) = + + + 在约束条件 2 2 C x y xy : 3, + + = 下的最大值，即为条件极值问题。本问题可以转化为对 2 2 d x y y x ( , ) (1 ) (1 ) = + + + 在约束条件 2 2 C x y xy : 3, + + = 下的最大值，构造函数 2 2 2 2 f x y y x x y xy ( , , ) (1 ) (1 ) ( 3) = + + + + + + − 2 2 ' 2(1 ) (2 ) 0 ' 2(1 ) (2 ) 0 ' 3 0 x y F x x y F y y x F x y xy = + + + = = + + + = = + + − = 1 2 3 4 M M M M (1,1), ( 1, 1), (2, 1), ( 1,2), − − − − 1 2 3 4 d M d M d M d M ( ) 8, ( ) 0, ( ) 9, ( ) 9, = = = = 9 3. = 故最大值为 3. （18）设函数 f x( ) 在定义域 I 上的导数大于 0，若对任意的 0 x I ，曲线 y f x = ( ) 在点 0 0 ( , ( )) x f x 处的切线与直线 0 x x = 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0) 2 = ，求 f x( ) 的表达式。 【解析】 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) '( )( ) 0 0 0 y f x x x f x = − + '( )( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 '( ) '( )( ) ( ) 4 x f x x f x f x x x f x dx − − + = 解得： 2 3 dy y dx = 分离变量可得： 1 3x c y − = + 因为 y(0) 2 = 所以 1 2 c = − 综上 2 ( ) 1 6 f x x = −
19、已知曲线L的方程为 起点为AO,√2,0),终点为BO0,-√2,0,计 算曲线积分/=(+)+(=2-x2+y)b+(x2+y3 x=cos e 【解析】由题意假设参数方程{y=√sn,:x→-z 2 COS -(v2 sin 0+ cos O)sin@+2sin e cos0+(1+sin e) sine ke = sin20+ cos 0 sin+(1+sin e)sin@ pe =22[5si2=y2n (20)向量组a,a24a3是R的一个基,b=2n1+2Aa3,b2=22b=a1+(k+1)a2 (I)证明b1,b2,b3为R的一个基; (Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量e在基a1a2a3与基b,b2,b3下的坐标相同,并求所 有的e 【解析】(Ⅰ)证明: (A,AB,B)=(2a1+2ka,2a2a1+(k+1)a)=(an,a2,a3)020 a1a2,a3是R的一个基 a1a2a3线性无关,即r(a1a2a2)=3 201 r(B,B2,B3)=020 2k0k+1) 又∵020=4?0 2k0k+1
19、已知曲线 L 的方程为 2 2 z x y 2 z x = − − = ，起点为 A(0, 2,0) ，终点为 B(0, 2,0), − 计 算曲线积分 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) L I y z dx z x y dy x y dz = + + − + + + 【解析】由题意假设参数方程 cos 2 sin , : 2 2 cos x y z = = → − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( 2 sin cos )sin 2sin cos 1 sin sin 2 sin cos sin 1 sin sin 2 2 2 sin 2 d d d − − − − + + + + = − + + + = = （20）向量组 1 2 3 a a a , , 是 3 R 的一个基， 1 1 3 2 2 3 1 3 2 2 , 2 , 1 , ( ) b a a b a b a a = + = = + + k k （Ⅰ）证明 1 2 3 b b b , , 为 3 R 的一个基； （Ⅱ）当 k 为何值时，存在非零向量 e 在基 1 2 3 a a a , , 与基 1 2 3 b b b , , 下的坐标相同，并求所 有的 e . 【解析】（Ⅰ）证明： ( 1 2 3 1 3 2 1 3 1 2 3 ) ( ( ) ) ( ) 2 0 1 , , 2 2 ,2 , 1 = , , 0 2 0 2 0 1 k k k k = + + + + 1 2 3 a a a , , 是 3 R 的一个基 1 2 3 a a a , , 线性无关，即 ( 1 2 3) r a a a , , 3 = ( 1 2 3 ) 2 0 1 , , 0 2 0 2 0 1 r r k k = + 又 2 0 1 0 2 0 4 0 2 0 1 k k = ? +
r(B,B2,B)=020=3 2k0k+1 b1,b2b3线性无关,为R的一个基 (Ⅱ)由已知设e=ka1+k42+k3=kb+k2b2+kb3e?0 即k(b1-a)+k2(b2a2)+k(b3a)=k(a1+26a)+k2+k(a1+a)=0 有非零解,即(4+2ka3,a,a1+ka)k2=0有非零解 所以1+2ka3,a2a1+kan=1a2a1010=0 →010=0→k=0 2k 0k 从而ka1+k2a2+ka1=0 k2=0,k=-k E=k2a1-ka3=0,k1≠0 (21)设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0 1-2a 03 (1)求a,b的值。 (2)求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵 【解析】(1)
( 1 2 3 ) 2 0 1 , , 0 2 0 2 0 1 r r k k = + =3 1 2 3 b b b , , 线性无关，为 3 R 的一个基 （Ⅱ）由已知设 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 e a a a b b b e = + + = + + ? k k k k k k , 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 3 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) ( 2 0 ) ( ) 即k k k k k k k k b a b a b a a a a a a - + - + - = + + + + = 有非零解， ( ) 1 1 3 2 1 3 2 3 2 , , 0 k k k k k + + = 即 有非零解 所以 1 3 2 1 3 1 2 3 1 0 1 2 , , = , , 0 1 0 0 2 0 k k k k a a a a a a a a + + = 1 0 1 0 1 0 =0 0 2 0 k k k = 从而 1 1 2 2 3 1 k k k a a a + + = 0 2 1 3 k k k = = - 0, 1 1 1 3 1 = − = k k k 0, 0 （21）设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 A a − = − − − 相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 B b − = 。 （1）求 a b, 的值。 （2）求可逆矩阵 P ，使 1 P AP − 为对角矩阵。 【解析】（1）
-20 B-=0b-20|=(1-)b-x)=0 →A1=2=13=b 12 4-E=|-13--3 由=(1-A)[2-(a+2)2+2a-3 A~B∴A,B特征值相同 22-(a+2)2+2a-3=(4-14-(2a-3) 得a=4,3=5,故b=5 「02-3 (2)由(1)得A=-13-3|,其中特征值=2=1石=5 当A1=乙2=1时,解(A-E)x=0方程的基础解系为a1 当2=5时,解(4-5E)x=0方程的基础解系为a3=1, 从而(4x,A2,Ax)=(an,a25a)→A(a1,2,B3)=(a12,3)1 为a,a2,a3线性无关,所以令P=a1,a2,a3可逆,即P=10-1,使得 01 P Ap 2-ln2x>0 (22)设随机变量X的概率密度为f(x) rsO’对X进行独立重复的观测, 直到第2个大于3的观测值出现为止,记Y的观测次数 (1)求Y的概率分布 (2)求EY 【解析】
由 4, 5, 5 ( 2) 2 3 1 [ (2 3)], ~ , (1 )[ ( 2) 2 3] 1 2 1 3 3 2 3 1, (1 ) ( ) 0 0 3 1 0 0 1 2 0 3 2 2 1 2 3 2 = = = − + + − = − − − = − − + + − − − − − − − − − = = = = = − − = − − − − − = a b a a a A B A B a a a A E b B E b b 得 故 （ ） 特征值相同 （2）由（1）得 0 2 3 1 3 3 1 2 4 A − = − − − ，其中特征值 1 2 3 = = = 1, 5 ， 当 1 2 = =1 时，解 ( ) 0 A E x − = 方程的基础解系为 1 2 2 3 1 , 0 0 1 − = = − ； 当 3 = 5 时，解 ( 5 ) 0 A E x − = 方程的基础解系为 3 1 1 1 − = ， 从而 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ( , , ) ( , ,5 ) ( , , ) ( , , ) 1 5 A A A A = = ， 因为 1 2 3 , , 线性无关，所以令 1 2 3 P = , , 可逆，即 2 3 1 1 0 1 0 1 1 P − − = − ，使得 1 1 1 5 P Ap − = 。 （22）设随机变量 X 的概率密度为 2 ln 2 0 ( ) 0 0 x x f x x − = ，对 X 进行独立重复的观测， 直到第 2 个大于 3 的观测值出现为止，记 Y 的观测次数。 （1）求 Y 的概率分布。 （2）求 EY 。 【解析】