2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共6小题每小题4分满分24分把答案填在题中横线上) (I)lim(cos x) n+r) (2)曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是 (3)设x2=∑ a. cos nx((-≤x≤x),则a2 4从R-0)-()01(的 设二维随机变量(x,Y)的概率密度为f{x,y)= 0≤x≤y≤1 0其它 P{X+Y≤1}= (6)已知一批零件的长度X(单位cm)服从正态分布N(μ,1),从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40(cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 (注:标准正态分布函数值Φ(1.96)=0975Φ(1645)=0.95) 二、选择题(本题共6小题,每小题4分满分24分每小题给出的四个选项中只有一个符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续其导函数的图形如图所示,则f(x)有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 (2)设{an}{bn},{cn}均为非负数列,且man=0,mbn=1,lmcn=∞,则必有 (A)an<bn对任意n成立 (B)bn<Cn对任意n成立 (C)极限 lim a c不存在 D)极限lmb,cn不存在 (3已知函数f(x,y)在点(0.0)的某个邻域内连续且m/(xy)=y=1,则 x→0y0(x-+y
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1) ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + → = . (2)曲面 2 2 z = x + y 与平面 2x + 4y − z = 0 平行的切平面的方程是 . (3)设 cos ( ) 0 2 = − = x a nx x n n ,则 2 a = . (4)从 2 R 的基 1 2 1 1 , 0 1 = = − α α 到基 1 2 1 1 , 1 2 = = β β 的过渡矩阵为 . (5) 设 二 维 随 机 变 量 ( , ) X Y 的 概 率 密 度 为 f x y ( , ) = 6 0 x 0 1 x y 其它 , 则 P{X + Y 1} = . (6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布 N(,1) ,从中随机地抽取 16 个零件, 得到长度的平均值为 40 (cm),则 的置信度为 0.95 的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值 (1.96) = 0.975,(1.645) = 0.95.) 二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数 f x( ) 在 (−,+) 内连续,其导函数的图形如图所示,则 f x( ) 有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 (2)设 { },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列,且 lim = 0 → n n a , lim = 1 → n n b , = → n n lim c ,则必有 (A) an bn 对任意 n 成立 (B) n n b c 对任意 n 成立 (C)极限 n n n a c → lim 不存在 (D)极限 n n n b c → lim 不存在 (3)已知函数 f x y ( , ) 在点 (0,0) 的某个邻域内连续,且 1 ( ) ( , ) lim 2 2 2 0, 0 = + − → → x y f x y xy x y ,则
(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组Ia1,a2…1可由向量组I阝1B2…阝,线性表示,则 (A)当rs时向量组Ⅱ必线性相关 (C)当rs时,向量组I必线性相关 (5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵现有4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B) ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解 ③若Ax=0与Bx=0同解则秩(A)=秩(B) ④若秩(A)=秩(B),则Ax=0与Bx=0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量X~(n)(n>1),Y=2,则 (A)y~x2(n) (B)Y~x2(n-1) (C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线y=lnx的切线该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D (1)求D的面积A (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V 四、(本题满分12分) 将函数f(x)= arctan 1+2x 展开成x的幂级数并求级数∑的和 五、(本题满分10分)
(A)点 (0,0) 不是 f x y ( , ) 的极值点 (B)点 (0,0) 是 f x y ( , ) 的极大值点 (C)点 (0,0) 是 f x y ( , ) 的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f x y ( , ) 的极值点 (4)设向量组 I: 1 2 , , , α α αr 可由向量组 II: 1 2 , , , β β βs 线性表示,则 (A)当 r s 时,向量组 II 必线性相关 (B)当 r s 时,向量组 II 必线性相关 (C)当 r s 时,向量组 I 必线性相关 (D)当 r s 时,向量组 I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组 Ax = 0 和 Bx = 0,其中 AB, 均为 mn 矩阵,现有 4 个命题: ① 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解,则秩 ( ) A 秩 ( ) B ② 若秩 ( ) A 秩 ( ) B ,则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解 ③ 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解,则秩 ( ) A = 秩 ( ) B ④ 若秩 ( ) A = 秩 ( ) B , 则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量 2 1 ~ ( )( 1), X X t n n Y = ,则 (A) 2 Y n ~ ( ) (B) 2 Y n ~ ( 1) − (C) Y F n ~ ( ,1) (D) Y F n ~ (1, ) 三、(本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 y x = ln 的切线,该切线与曲线 y x = ln 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 四、(本题满分 12 分) 将函数 x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan + − = 展开成 x 的幂级数,并求级数 = + − 0 2 1 ( 1) n n n 的和. 五 、(本题满分 10 分)
已知平面区域D={(x,y)≤x≤x,0≤y≤},L为D的正向边界试证 ()Jxeb-ye-d=小x (25xe-dy- yendo≥2 六、(本题满分10分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力 而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为kk>0)汽锤 第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数r(00时,F()>=G(1) 九、(本题满分10分)
已知平面区域 D ={(x, y) 0 x ,0 y }, L 为 D 的正向边界.试证: (1) sin sin sin sin e e e e y x y x L L x dy y dx x dy y dx − − − = − . (2) sin sin 2 e e 2 . y x L x dy y dx − − 六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力 而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 kk. 0 ).汽锤 第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数 r r (0 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分 12 分) 设函数 y y x = ( ) 在 (−,+) 内具有二阶导数,且 y 0, x = x( y) 是 y y x = ( ) 的反函数. (1)试将 x x y = ( ) 所满足的微分方程 ( sin )( ) 0 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x 变换为 y y x = ( ) 满足 的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 y(0) = 0, y (0) = 的解. 八 、(本题满分 12 分) 设函数 f x( ) 连续且恒大于零, + + + = ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) D t t f x y d f x y z dv F t , − + = t D t f x dx f x y d G t 1 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) , 其中 ( ) {( , , ) } 2 2 2 2 t = x y z x + y + z t , ( ) {( , ) }. 2 2 2 D t = x y x + y t (1)讨论 F t() 在区间 (0,+) 内的单调性. (2)证明当 t 0 时, ( ). 2 F(t) G t 九 、(本题满分 10 分)
设矩阵A=232,P=101B=PAP求B+2E的特征值与特征向量 001 其中A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵 十、(本题满分8分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2y+3a=0,l3:cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+C=0 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有 3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)乙箱中次品件数的数学期望 (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 十二、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为 2e-2+)x> f(x) x≤0 其中6>0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1X2,Xn,记 =mn(X12X2,…,Xn) (1)求总体X的分布函数F(x) (2)求统计量的分布函数F(x) (3)如果用作为b的估计量,讨论它是否具有无偏性
设矩阵 322 232 223 = A , 0 1 0 1 0 1 0 0 1 = P , −1 * B P A P = ,求 B E + 2 的特征值与特征向量, 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵. 十 、(本题满分 8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l ax + 2by + 3c = 0 , : 2 l bx + 2cy + 3a = 0 , : 3 l cx + 2ay + 3b = 0 . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a + b + c = 0. 十一 、(本题满分 10 分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分 8 分) 设总体 X 的概率密度为 f x( ) = 2( ) 2e 0 − −x 0 x x 其 中 0 是 未 知 参 数 . 从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X X Xn , , , 1 2 , 记 min( , , , ). ˆ = X1 X2 Xn (1)求总体 X 的分布函数 F x( ). (2)求统计量 ˆ 的分布函数 ( ) Fˆ x . (3)如果用 ˆ 作为 的估计量,讨论它是否具有无偏性