2007年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)当x→0时,与√x等价的无穷小量是() (A)1 B)m+√x)(c)h+√x-1(0)1-cos (2)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是() (A)若lim(x) 存在,则f(0)=0 (B)若lm(x)+/)存在,则f(0)=0 (C)若1mf(x)存在,则f(0)存在 (D)若1m(x)-/(-3)存在,则∫(0)存在 ()如图,连续函数y=f(x)在区间[-3-2[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下 半圆周,在区间[22]上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=5(M 则下列结论正确的是() (A)F(3)=3 (B)F(3)=F(2) (C)F(-3)=-F(2) (D)F(-3) (4)设函数f(x,y)连续,则二次积分上f(x,y)等于( f(x, ydx T-aresiny f(x, (C)[d (D)[d
2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1) 当 x 0 → + 时，与 x 等价的无穷小量是（） （A） 1 x − e （B） ln(1 ) + x （C） 1 1 + − x （D） 1 cos − x (2) 设函数 f x( ) 在 x = 0 处连续，下列命题错误的是（） （A）若 0 ( ) lim x f x → x 存在，则 f (0) 0 = （B）若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x + − 存在，则 f (0) 0 = （C）若 0 ( ) lim x f x → x 存在，则 f '(0) 存在 （D）若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x − − 存在，则 f '(0) 存在 (3) 如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 − − 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下 半圆周，在区间 −2,0 , 0,2 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 0 ( ) ( ) , x F x f t dt = 则下列结论正确的是（） （A） 3 (3) ( 2) 4 F F = − − （B） 5 (3) (2) 4 F F = （C） 3 ( 3) (2) 4 F F − = （D） 5 ( 3) ( 2) 4 F F − = − − (4) 设函数 f x y ( , ) 连续，则二次积分 1 sin 2 ( , ) x dx f x y dy 等于（） （A） 1 0 arcsin ( , ) y dy f x y dx + （B） 1 0 arcsin ( , ) y dy f x y dx − （C） 1 arcsin 0 2 ( , ) y dy f x y dx + （D） 1 arcsin 0 2 ( , ) y dy f x y dx −
(5)设某商品的需求函数为Q=160-2p,其中Q,p分别表示需要量和价格,如果 该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是() (A)10 (B)20 (C)30 (D)40 (6)曲线y=-+ln(1+e),渐近线的条数为() (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组线性相关的是( (A)a1-a2,a2-a3,a3-a1 (B)c1+a2,a2+a3,a3+a1 2a2,a2-2a3,a3-2a1 (D)a1+2a2,a2+2ax3,a3+2a1 100 (8)设矩阵A={-12 ,B={010},则A与B() 1-12 000 (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰 好第2次命中目标的概率为() (A)3p(1-p)2 (B)6p(1-p)2 (C)3p(1-p) (D)6p(1-p)2 (10)设随机变量(x,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,f(x),f,(y)分别表示 xY的概率密度,则在Y=y条件下,X的条件概率密度m(xy)为() (A)fr (B)f() (C)r(x)f() )(x) f2(y) 、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11)lim (sin x+cos x) (2)设函数y=2x+3,则y"(
(5) 设某商品的需求函数为 Q = − 160 2 ，其中 Q ， 分别表示需要量和价格，如果 该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（） （A）10 （B）20 （C）30 （D）40 (6) 曲线 1 ln(1 ), x y e x = + + 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 (7) 设向量组 1 ,2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（） （A） 1 2 − ， 2 3 − ， 3 1 − (B) 1 2 + ， 2 3 + ， 3 1 + （C） 1 2 2 3 3 1 − − − 2 , 2 , 2 (D) 1 2 2 3 3 1 + + + 2 , 2 , 2 (8) 设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A − − = − − − − ， 1 0 0 0 1 0 000 B = ，则 A 与 B（） （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为（） （A） 2 3 (1 ) p p − (B) 2 6 (1 ) p p − (C) 2 2 3 (1 ) p p − (D) 2 2 6 (1 ) p p − (10) 设随机变量 ( , ) X Y 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， ( ), ( ) x y f x f y 分别表示 X, Y 的概率密度，则在 Y y = 条件下， X 的条件概率密度 ( ) X Y f x y 为（） （A） ( ) X f x (B) ( ) Y f y (C) ( ) ( ) X Y f x f y (D) ( ) ( ) X Y f x f y 二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 (11) 3 2 3 1 lim (sin cos ) ________ 2 x x x x x x → x + + + = + . (12) 设函数 1 2 3 y x = + ，则 ( ) (0) _________ n y =
(13)设f(a)是二元可微函数,2=f(,-xa (14)微分方程=2-()满足y=1的特解为y 0100 (15)设距阵A=0010 0001,则A的秩为 0000 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数这两数之差的绝对值小于的概率为 三、解答题:17-24小题,共86分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 (17)(本题满分10分) 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附 近的凹凸性 (18)(本题满分11分) 设二元函数 x+y f(x,y)={1 1≤x+y≤2 计算二重积分/(x,y其中D=(xy)|对+s2} (19)(本题满分11分) 设函数∫(x),g(x)在[a6]上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a), f(b)=g(b),证明 (I)存在n∈(a,b),使得f(m)=g(m); (Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得∫"()=g"(5)。 (20)(本题满分10分) 将函数/(x)=x-3x-4展开成x-1的幂级数,并指出其收敛区间 (21)(本题满分11分)
(13) 设 f u v ( , ) 是二元可微函数， ( , ), y x z f x y = 则 z z x y x y − ________. (14) 微分方程 1 3 ( ) 2 dy y y dx x x = − 满足 1 1 x y = = 的特解为 y = __________. (15) 设距阵 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0000 A = 则 3 A 的秩为_______. (16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 1 2 的概率为________. 三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分 10 分） 设函数 y y x = ( ) 由方程 y y x y ln 0 − + = 确定，试判断曲线 y y x = ( ) 在点（1，1）附 近的凹凸性。 （18）（本题满分 11 分） 设二元函数 2 2 2 . 1. ( , ) 1 , 1 2. x x y f x y x y x y + = + + 计算二重积分 ( , ) . D f x y d 其中 D x y x y = + ( , ) 2 。 （19）（本题满分 11 分） 设函数 f x( ) ， g x( ) 在 a b, 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 f a( ) ＝ g a( ) ， f b( )＝ g b( ) ，证明： （Ⅰ）存在 ( , ), a b 使得 f g ( ) ( ) = ； （Ⅱ）存在 ( , ), a b 使得 f g ''( ) ''( ) = 。 （20）（本题满分 10 分） 将函数 2 1 ( ) 3 4 f x x x = − − 展开成 x −1 的幂级数，并指出其收敛区间。 （21）（本题满分 11 分）
x1+x2+x3=0 设线性方程组{x+2x2+ax3=0 与方程 x1+2x2+x3=a 有公共解,求a的值及所有公共解 (22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征值=1,2=2,2=-2,a1=(1,-1,1)是A的属于的一 个特征向量。记B=A-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (I)验证a1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量 (Ⅱ)求矩阵B (23)(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 x-y,02y) (I)求Z=X+Y的概率密度f2() (24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 <x<6, b≤x<1, 其他 其中参数6(0<0<1)未知,X1X2,X是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值 (I)求参数O的矩估计量O (Ⅱ)判断4X是否为02的无偏估计量,并说明理由
设线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0 2 0 (1) 4 0 x x x x x ax x x a x + + = + + = + + = 与方程 1 2 3 x x x a + + = − 2 1 (2) 有公共解，求 a 的值及所有公共解。 （22）（本题满分 11 分） 设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 2 3 1 1, 2, 2, (1, 1,1)T = = = − = − 是 A 的属于 1 的一 个特征向量。记 5 3 B A A E = − + 4 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵。 （Ⅰ）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵 B。 （23）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 2 ,0 1,0 1. ( , ) 0, x y x y f x y − − = 其他 （Ⅰ）求 P X Y 2 ； （Ⅱ）求 Z X Y = + 的概率密度 ( ) Z f z 。 （24）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 1 0 , 2 1 ( ; ) , 1, 2(1 ) 0 x f x x = − ， ，其他 . 其中参数 (0 1) 未知， 1 2 , ,... X X X n 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值。 （Ⅰ）求参数 的矩估计量 ； （Ⅱ）判断 2 4X 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由