2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设 lim a=a,且a≠0,则当n充分大时有() (A)a, (B) (c)a>a (D)a.0时,若P(x)-tan是比x3高阶的无穷小, 则下列试题中错误的是() (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=1 (4)设函数∫(x)具有二阶导数,g(x)=f(0(1-x)+f(1)x,则在区间[O,1上() (A)当∫(x)≥0时,f(x)≥g(x) (B)当∫(x)≥0时,f(x)≤g(x) (C)当∫(x)≤0时,f(x)≥g(x) (D)当f(x)≤0时,f(x)≥g(x)
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）设 lim , n a a = 且 a 0, 则当 n 充分大时有（ ） （A） 2 n a a （B） 2 n a a （C） 1 n a a n − （D） 1 n a a n + （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A） y x x = + sin （B） 2 y x x = +sin （C） 1 y x sin x = + （D） 2 1 y x sin x = + （3）设 2 3 P bx cx dx (x) a = + + + ，当 x →0 时，若 P(x) tanx − 是比 x 3 高阶的无穷小， 则下列试题中错误的是（ ） （A） a = 0 （B） b =1 （C） c = 0 （D） 1 6 d = （4）设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上（ ） （A）当 f x'( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) （B）当 f x'( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) （C）当 f x'( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) （D）当 f x'( ) 0 时， f x g x ( ) ( )
0 a b (5)行列式a00 (A)(ad-bc) (c) ad2-b2c2 (D)bc2 (6)设a12a2a2均为3维向量,则对任意常数k,,向量组a1+ka3,a2+lax3线性无关是 向量组a2a2,x3线性无关的 (A)必要非充分条件 B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A与B相互独立,且P(B)=0.5,P(AB)=0.3,求P(BA)=() (A)0.1 (B)0.2 (C)03 (D)0.4 (8)设x1,X2,X3为来自正态总体N(0a2)的简单随机样本,则统计量 服从的 X 分布为 (A)F(1,1) (B)F(2,1) (C)t(1) (D)t(2) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)设某商品的需求函数为Q=40-2P(P为商品价格),则该商品的边际收益为 (10)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,则D的面积为
（5）行列式 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b c d c d = （A） 2 ( ) ad bc − （B） 2 − − ( ) ad bc （C） 2 2 2 2 a d b c − （D） 2 2 2 2 b c a d − （6）设 1 2 3 a a a , , 均为 3 维向量，则对任意常数 kl, ，向量组 1 3 2 3 + + k l , 线性无关是 向量组 1 2 3 , , 线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 （8）设 1 2 3 X X X , , 为来自正态总体 2 N(0, ) 的简单随机样本，则统计量 1 2 3 2 X X X − 服从的 分布为 （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为 Q P = − 40 2 （P 为商品价格），则该商品的边际收益为 _________。 (10)设 D 是由曲线 xy + =1 0 与直线 y x + = 0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为
(1)设[xe2dx=,则a (12)二次积分[d (13)设二次型∫(x1,x2,x)=x2-x2+2axx3+4x2的负惯性指数为1,则a的取值范围 (14)设总体x的概率密度为f(xO)={30 6<x<26 ,其中b是未知参数 其它 x2x2,,xn,为来自总体X的简单样本,若C∑x2是2的无偏估计,则c= 解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) 求极限lim In( (16)(本题满分10分) x sin( 设平面区域D={(x,y)|1I≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0},计算 n(/x+y2) dxdy x (17)(本题满分10分) 设函数f()具有2阶连续导数,z=f(e2cosy)满足2+5=4(z+e'cosy)e2,若 f(0)=0,f(0)=0,求f()的表达式 (18)(本题满分10分) 求幂级数∑(+1)n+3)x"的收敛域及和函数。 (19)(本题满分10分) 设函数∫(x)g(x)在区间[a,b]上连续,且∫(x)单调增加,O≤g(x)≤1,证明 (1)0≤g()dt≤x-a,x∈[a
_________。 (11)设 2 0 1 4 a x xe dx = ，则 a = _____ . (12)二次积分 2 1 1 2 0 ( ) ________. x y y e dy e dx x − = （13）设二次型 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x ( , , ) 2 4 = − + + 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围 是_________ （14 ）设 总体 X 的概 率密 度为 2 2 2 ( ; ) 3 0 x x f x = 其它 ，其 中 是未知参 数, 1 2 , ,..., , X X X n 为来自总体 X 的简单样本，若 2 1 n i i c x = 是 2 的无偏估计，则 c = ___ 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求极限 1 2 1 2 1 lim 1 ln(1 ) x t x t e t dt x x →+ − − + （16）（本题满分 10 分） 设平面区域 2 2 D x y x y x y = + {( , ) |1 4, 0, 0} ，计算 2 2 sin( ) . D x x y dxdy x y + + （17）（本题满分 10 分） 设函数 f u( ) 具有 2 阶连续导数， ( cos ) x z f e y = 满足 2 2 2 2 2 4( cos ) z z x x z e y e x y + = + ，若 f f (0) 0, '(0) 0 = = ，求 f u( ) 的表达式。 （18）（本题满分 10 分） 求幂级数 0 ( 1)( 3) n n n n x = + + 的收敛域及和函数。 （19）（本题满分 10 分） 设函数 f x g x ( ), ( ) 在区间 [ , ] a b 上连续，且 f x( ) 单调增加， 0 ( ) 1 g x ，证明： （I） 0 ( ) , [ , ]; x a − g t dt x a x a b
() f(x)ax≤f(x)g(x)x (20)(本题满分11分) -23-4 设A=01-11,E为3阶单位矩阵。 ①求方程组Ax=0的一个基础解系;②求满足AB=E的所有矩阵B 11.00 (21)(本题满分11分)证明n阶矩阵 相似 (22)(本题满分11分) 设随机变量X的概率分布为PⅨ=1}=PⅨX=2}=,在给定X=i的条件下,随机变量Y服从均 匀分布U(0,1)(=1,2 (1)求Y的分布函数F(y) (2)求EY (23)(本题满分11分) 设随机变量与Y的概率分布相同,X的概率分布为P{X=0}=,P{X=1}=5,且X与Y 的相关系数px= (1)求(X,Y)的概率分布 (2)求PⅨ+Y≤1}
（II） ( ) ( ) ( ) ( ) . b a a g t dt b a a f x dx f x g x dx + （20）（本题满分 11 分） 设 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 0 3 A − − = − − ， E 为 3 阶单位矩阵。 ①求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； ②求满足 AB E = 的所有矩阵 B （21）（本题满分 11 分）证明 n 阶矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 与 0 0 1 0 0 2 0 0 n 相似。 （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 的概率分布为 P{X=1}=P{X=2}= 1 2 ，在给定 X i = 的条件下，随机变量 Y 服从均 匀分布 U i i (0, )( 1, 2) = （1）求 Y 的分布函数 ( ) F y Y （2）求 EY （23）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 1 2 { 0} , { 1} , 3 3 P X P X = = = = 且 X 与 Y 的相关系数 1 2 XY = （1） 求（X，Y）的概率分布 （2）求 P{X+Y 1}