延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第二章 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布 §2.1随机变量的概念 §2.2离散型随机变量 P(X=x;)=p(x;)i=1,2…(1)p(x;)≥0(2)∑p(x)=1 §2.3超几何分布二项分布泊松分布 1.“0-1”分布(两点分布) 2.超几何分布X~H(n,M,N)P(X=x)=M=M x=0,1,2…min(M,n) 3.二项分布X~B(n,P)P(x)=Cpq"(x=0,1,2,…,m) 4. Poisson分布X~P(X)PA(x) (x=0,1,2,…, N→∞,H(n,M,N)→B(n,P).P M n→∞,B(n,p)→>P()=n

1 §2.2 离 散 型 随 机 变 量 §2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.3 超几何分布·二项分布·泊松分布 P(X  xi )  p(xi ) i  1,2 1. “0-1”分布(两点分布) 3. 二项分布 X ~ B(n, p) P (x) n x x n x Cn p q   4. Poisson分布 X ~ P() P (x)     e x x ! 2. 超几何分布 X ~ H(n, M, N ) n N n x N M x M C C C P X x   (  )  n →∞，B (n, p)  P()   np N→∞，H(n, M, N ) B(n, p). , N M p  (1) p(xi )  0 (2) ( ) 1. 1    i p xi (x = 0, 1, 2, , n) (x =0,1,2, …,) x  0,1,2min(M,n) 第二章 随 机 变 量 及 其 分 布

§2.5随机变量的分布函数 定义 F(x=P(X sx) (1)0≤F(x)≤1,(-∞<x<+∞) 二.分布函数 (2)F(x1)≤F(x2),当x1<x2 的性质:{(3)mF(x)=F(-∞)=0,mimF(x)=F(+)=1 x→+oo (4)对离散随机变量,右连续的阶梯曲线 (5)对连续随机变量,是单调上升的连续曲线 P(X=x)=0 §2.6连续型随机变量的概率密度 lim F(x+△x)-F(x) F 概念 x→ △v (x=P(<x<x)=∫f)lk (1):f(x)≥0 、概率密度(2):∫m(c=1 的性质: (3P(x1<X<x2)=f(x)x 2

2 §2.5 随 机 变 量 的 分 布 函 数 一.定义 F(x)  P(X  x) 二.分布函数 的性质： (1) 0  F(x)  1, (  x  ) (2) ( ) ( ), . F x1  F x2 当x1  x2 (3) lim ( )     0, lim ( )     1   F x F F x F x x §2.6 连续型随机变量的概率密度 一.概念 二、概率密度 的性质： (1)： (2)： (3)： (4) 对离散随机变量，右连续的阶梯曲线. (5) 对连续随机变量，是单调上升的连续曲线 P(X  x)  0

§2.7均匀分布指数分布 、均匀分布x)=b-a ,当a≤x≤b; 0,当xb 二、指数分布(x) e,当0<x 0,当x≤0. §28随机变量函数的分布 、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 ()F(y)=P(Ysy)=P(g(x)≤y(2)f,()=F(吵 特别地,若y={(x)为单调函数,则 ()=/、()k-()

3 §2.7 均匀分布·指数分布 一、均匀分布 二、指数分布 §2.8 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 1F ( y) P(Y y) PgX  y; Y     2f  y F ( y). Y Y   特别地，若 y  gx为单调函数，则              f y f g y g y Y X 1 1

§2.9二维随机变量的联合分布 1.二维离散随机变量的联合概率分布 P(X=x1,Y=y)=Pi,ij=1,2,3, P≥0,∑∑Pn=1 2.二维随机变量的联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 3.二维连续随机变量的联合概率密度 f(x,y)= Fmx F(x,v)=P(Xsx, sy)=f(x,y)drdy f∫(x,y)≥0-∞<x,y<+o ∫=mf(x,y)ad=1 P(x,)∈]=y(x,y)d

4 §2.9 二维随机变量的联合分布 1. 二维离散随机变量的联合概率分布 P(X  xi ,Y  y j )  pij , i, j  1,2,3, 2. 二维随机变量的联合分布函数 F(x, y)  P(X  x,Y  y) 3. 二维连续随机变量的联合概率密度 f  x y  F  x y  xy ,   , f (x, y)  0    x, y         f (x, y)dxdy  1         R P X ,Y R f x, y dxdy             y x F x, y P X x,Y y f x, y dxdy    i j ij pij p 0, 1

§2.10二维随机变量的边缘分布 二维离散随机变量的边缘分布 Px(x)=P(x=x,}∑Px=x,Y=y)=∑px,y) n,()≥=PY=y)∑Py=x,y=y)=∑x,y) 二维连续随机变量的边缘分布 Fx(x)=F(x+0)=」(x, (x)=F(x)=∫。/(x, F,()=F(+∞,y)=∫df(x,y fr()=F()=f(x,yddx §2.11随机变量的独立性 离散型随机变量的独立性{x,y)=n2(x)m2(v) 二.连续随机变量的独立性 F(x,D=EXGE) f(x, y)=fx(x)sr()

5 §2.10 二维随机变量的边缘分布 一. 二维离散随机变量的边缘分布   pX xi     j i j ( ) p x , y i  P X  x     j i j P(X x ,Y y )   Y j p y     i i j  P(Y  y j )    p x , y i i j P(Y x ,Y y ) 二. 二维连续随机变量的边缘分布   F x dx d f X x  X   F  y dy d f y Y  Y §2.11 随机变量的独立性 一. 离散型随机变量的独立性 二. 连续随机变量的独立性

§2.12二维随机变量函数的分布 1.和的分布 离散型P2(a)=(z=z)=∑∑1x=x,=y)=∑∑x, 对于一切的x+y=zk 或n2(x)=∑p(x,x1-x)=∑a4-x1,y) 若X、Y独立n(a)=∑Dx(4-x)=∑2(-x加) 连续型F(Ps)=Px+Ysx)=厂」f(x,p 2()=(x,z-x)=」(-y,y 若X、Y独立f()=C)(-x==p地 2.平方和的分布F(z)=f(x,y)th 3.(独立的随机变量)最大值与最小值的分布 Fn、(2)=F(x,2Fm1()2=1-I-F() i=1

6 §2.12 二维随机变量函数的分布 1. 和的分布 dx f x ydy z x        , 2. 平方和的分布 3.（独立的随机变量）最大值与最小值的分布 ( ) ( , ) 2 2     x y z FZ z f x y dxdy ( ) ( ), 1 max F z F z n i  i   ( ) 1 [1 ( )] 1 min F z F z n i  i     f z Z 离散型 F z PZ z PX Y z Z      对于一切的 i j k x  y  z 连续型 或 若X、Y 独立 若X、Y 独立 f z Z f xf z xdx f z yf  ydy  X Y  X Y         f x z xdx f z y ydy        ,   

(二)课后习题略解 2一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取 1个。如果每次取出的废品不再放回去,求在取得合格品以 前已取出的废品数的概率分布。 解设在取得合格品以前已取出的废品数为X,则X的所有可 能取的值为:0、1、2、3,P(x=0)=3 P(X=1) 99 P(X=2) 1299 41144 41110220 121 X=3)= 41110 220 034 2 3 P(x;) 44 220 220

7 （二）课后习题略解 2 一批零件中有9个合格品与3个废品。安装机器时从中任取 1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以 前已取出的废品数的概率分布。 解 设在取得合格品以前已取出的废品数为X，则X的所有可 0、1、2、3,   4 3 P X  0    44 9 11 9 4 1 P X  1      220 9 10 9 11 2 4 1 P X  2       220 1 1 10 1 11 2 4 1 P X  3      X ( ) i P x 0 1 4 3 44 9 220 1 2 3 220 9 能取的值为：

3.对一目标射击,直至击中为止。如果每次射击命中率为p, 求射击次数的概率分布及其分布函数。 解设随机变量X表示射击次数,则X服从几何分布。 P(X=m)=p(1-p)"m=1,2 X的概率分布表如下:(P+q=1) 2 3 P(X=m) pq 2 pq pa 显然,当x<1时,F(x)=P(X≤x)=0;当x≥1时, F(x)=P(X≤x)=∑p pll-g' 1-(1-p) 其中,区x]为x的整数部分

8 3. 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p， 求射击次数的概率分布及其分布函数。 X P(X  m) n1 pq 1 2 n p pq    3  2 pq 解 设随机变量X表示射击次数， 则X 服从几何分布。 P(X  m)  p(1 p)m1 m  1,2 ∴X的概率分布表如下： 显然，当 x  1 时，F(x)  P(X  x)  0; 当 x  1 时， F(x)  P(X  x)    [ ] 1 1 x m m pq   q p q x    1 1 [ ] [ ] 1 x   q [ ] 1 (1 ) x    p ( p  q  1) 其中，[x]为 x 的整数部分

4自动生产线在调整以后出现废品的概率为p(0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布 解设随机变量X表示自动生产线 在两次调整之间生产的合格品数, 则X的所以可能取值:0,1,2,, P(X=n)=(1-p)"·p X 0 n Plx P pq pq

9 4 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布. 解 : 设随机变量X表示自动生产线 在两次调整之间生产的合格品数, 则X的所以可能取值:0,1,2,…,n,…. ( ) (1 )  . n P X = n = - p p X ( ) P xi n pq 0 1 n p pq    2  2 pq

520个产品中有4个次品,抽取6个产品, (1)不放回抽样,求样品中次品数的概率分布; (2)放回抽样,求样品中次品数的概率分布。 解(1)不放回抽样,设随机变量X表示样品中次品数 则X的所有可能取的值为:0、1、2、3、4, 6-i P(X=i)=-010 20 0 2 4 P(x)006610.45080.281710.0578003 (2)放回抽样,设随机变量Y表示样品中次品数, 则X的所有可能取的值为:0、1、2、3、4、5、6

10 5 20个产品中有4个次品，抽取6个产品， 解 ⑴ 不放回抽样，设随机变量X 表示样品中次品数， 0、1、2、3、4,   6 20 6 4 16 C C C P X i i i   （1）不放回抽样，求样品中次品数的概率分布； （2）放回抽样，求样品中次品数的概率分布。 则X的所有可能取的值为：  i P x 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031 X 0 1 2 3 4 ⑵ 放回抽样，设随机变量Y 表示样品中次品数， 则X的所有可能取的值为：0、1、2、3、4、5、6