第三章随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数
第三章 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数
3.1数学期望 一.数学期望的定义 数学期望—描述随机变量取值的平均特征 例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示: 分数4060708090100 人数169157 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1×40+6×60+9×70+15×80+7×90+2×100 =76.5(分) 1+6+9+15+7+2
3.1数学期望 一.数学期望的定义 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 76.5( ) 1 6 9 15 7 2 分 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
定义3.1离散型随机变量ξ~P【ξ=x}=pk, k=1,2,n,若级数 ∑ xk|Pk<,则称 E(5)=∑xkP (3.1) k=1 为随机变量ξ的数学期望,简称期望或均值 对于离散型随机变量ξ,Eξ就是ξ的各可能值与其 对应概率乘积的和
定义 3.1 离散型随机变量ξ~P{ξ=xk}=pk , k=1,2,…n, 若级数 ，则称 为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。 1 | | k k k x p 1 ( ) . k k k E x p （3.1） 对于离散型随机变量ξ , Eξ就是ξ的各可能值与其 对应概率乘积的和
例1若ξ服从0-1分布,其概率函数为 P=k}=Pk(1-p)1-k k=0,1), 求Bξ 解:E=∑xP=∑kP(5=k) k=0 50 0×(1-P)+1×P -pp P
例1 若ξ服从0-1分布,其概率函数为 P{ξ= k}=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求Eξ. =0 (1 P) 1 P 解： =P P 1-p p ξ 0 1 1 k k k=1 k=0 E = p = k P( =k) x
例2甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别 用ξ,n表示)的分布律如表3-2,表3-3所示 23 n 2|3 P 040.10.5 P0.10603 试比较甲乙两射手的技术 解:E2=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1 E7=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2 这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值 是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好
例2 甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别 用ξ, η表示)的分布律如表3-2,表3-3所示. 这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值 是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好. P 0.4 0.1 0.5 ξ 1 2 3 试比较甲乙两射手的技术. P 0.1 0.6 0.3 η 1 2 3 E =1 0.4 2 0.1 3 0.5=2.1 E =1 0.1 2 0.6 3 0.3=2.2 解：
例3一批产品中有一,二,三等品,等外品及废 品5种,相应的概率分别为0.7,0.1,0.1 0.06及0.04,若其产值分别为6元,5.4元,5 元,4元及0元.求产品的平均产值 解:产品产值ξ是一个随机变量,它的分布率如表3 4: 6 5.4 5 4 0 p 070101006004 E8=6×07+54x01+5×0.1+4×0.06+0×0.04 5.48(元
例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废 品5种,相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其产值分别为6元, 5.4元, 5 元,4 元及0元.求产品的平均产值. Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04 =5.48( 元) p 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04 ξ 6 5.4 5 4 0 解 ：产品产值ξ是一个随机变量,它的分布率如表3- 4:
例4掷一颗均匀的骰子,以ξ表示掷得的点数,求 ξ的数学期望 E()=∑k 62 定义3.2P(63)设连续型随机变量ξ~φ (x),-∞<x<+∞,若 x|(x)dx<∞ 则称B()=x0x)k (3.2) 为的数学期望。 连续型随机变量ξ的数学期望是它的概率密 度小(的)与实数x的乘积在(-∞,+∞)无穷区间上 的广义积分
例4 掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷得的点数，求 ξ的数学期望。 定义 3.2 P(63) 设连续型随机变量ξ~φ (x), - <x<+,若 为ξ的数学期望。 则称 6 1 1 7 ( ) i 6 2 E k E x x dx ( ) ( ) . | | ( ) x x dx 连续型随机变量ξ的数学期望是它的概率密 度φ(x)与实数x的乘积在 (-∞,+∞)无穷区间上 的广义积分. （3.2）
例5计算在区间[a,b]上服从均匀分布的 随机变量ξ的数学期望 a<x< b 解:5~(x)=1b-a 0,其他, +∞O b E(5= xo(r)dx b-a 1 x2b a+b b-a 2 a 2
例5 计算在区间[a, b]上服从均匀分布的 随机变量ξ的数学期望. 1 , , ~ ( ) 0, , a x b x b a 其他 2 1 ; 2 2 x a b b b a a ＝ - ( ) ( ) b a x E x x dx dx b a ＝ ＝ 解：
32数学期望的性质(P64) B(c)=c,c为常数; 2.B(2+c)=B(2)+c,c为常数; 3.B(c)=cB(ξ),c为常数; 证明:设ξ~φ(x), 则 E(c5)=cx (x)dx =c xo(x)dx=CE(S) 4.E(k8+b)=B·(k)+b=k·E(ξ)+b
1. E(c)=c, c为常数; 2. E(ξ+c)=E(ξ)+c, c为常数; 3. E(cξ)=c E(ξ), c为常数; 3.2 数学期望的性质(P64) 证明:设ξ~φ(x), 则 E c cx x dx ( ) ( ) c x x dx cE ( ) ( ) 4. E(kξ+b)=E· (kξ)+b=k· E(ξ)+b
随机变量函数的期望 BX1:设随机变量X的分布律为 X|-101 Pk 33 3 13 求随机变量Y=X2的数学期望 解:Y 3 E(Y)=1·=+0 333
EX1：设随机变量X的分布律为 解: 求随机变量Y=X2的数学期望 X Pk -1 0 1 Y Pk 1 0 随机变量函数的期望 1 1 1 3 3 3 2 1 3 3 2 1 2 ( ) 1 0 3 3 3 E Y