习题六 1.设Ⅹ的分布律为 X|-2-0.5024 概率1111 6 求出:以下随机变量的分布律。(1)x+2;(2)-x+1;(3)x2。 解由Ⅹ的分布律可列出下表 概率|11111 8 6 2-0.5024 5246 40.250 由此表可定出 (1)x+2的分布律为 x+20 概率 3-214 (2)-x+1的分布律为 2 概率|11111 (3)x2的分布律为 4 概率 其中p(x2=4)=P(x=2)+P(x=-2) 7 8624
习题六 1. 设 X 的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 求出：以下随机变量的分布律。（1） X + 2 ；（2）− X +1 ；（3） 2 X 。 解 由 X 的分布律可列出下表 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 X -2 -0.5 0 2 4 X + 2 0 1.5 2 4 6 − X +1 3 1.5 1 -1 -3 2 X 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 （1） X + 2 的分布律为 X + 2 0 2 3 2 4 6 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 （2）− X +1 的分布律为 − X +1 -3 -1 1 2 3 3 概率 3 1 6 1 8 1 4 1 8 1 （3） 2 X 的分布律为 2 X 0 4 1 4 16 概率 8 1 4 1 24 7 3 1 其中 ( ) ( ) ( ) 24 7 6 1 8 1 4 2 2 2 P X = = P X = + P X = − = + =
2.设随机变量X服从参数x=1的泊松分布,记随机量y=0若X试求 1,若X>1 随机变量Y的分布律 解由于X服从参数=1的泊松分布,因此 P(x=k)=e1=,k=012… 而P(=0)=P(xs1)=P(X=0)+P(X=1)=c+=2e P(y=1)=P(x>1)=1-P(X≤1) 即Y的分布律为 Y 0 概率|21 3.设x的密度函数为=2其求以下随机变量的密度函数:(1) 2X;( 解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求 密度函数。如果y=g(x)为单调可导函数,则也可利用性质求得 (1)解法一:设y=2X,则Y的分布函数 F()=Py)=P(xy)=x≤2 0 y<0 dy 0≤2<1 y 其他 解法二:y=2x,x=2=(),而h()=,则 f()=f()(
2. 设随机变量 X 服从参数 =1 的泊松分布，记随机变量 Y = 1, 1, 0, 1; X X 若 若 试求 随机变量 Y 的分布律。 解 由于 X 服从参数 =1 的泊松分布，因此 ( ) , 0,1,2, , ! ! 1 1 = = 1 = = − − k k e e k P X k k 而 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 0! 1! 0 1 0 1 − − − = = = = + = = + = e e e P Y P X P X P X ； ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 − P Y = = P X = − P X = − e 。 即 Y 的分布律为 Y 0 1 概率 1 2 − e 1 1 2 − − e 3. 设 X 的密度函数为 f (x) = 0, 2x, , 0 1; 其他 x 求以下随机变量的密度函数：（1） 2X ；（2）− X +1 ；（3） 2 X 。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求 密度函数。如果 y = g(x) 为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设 Y = 2X ，则 Y 的分布函数 ( ) ( ) ( ) = = = 2 2 y FY y P Y y P X y P X = 1 0 0 2 2 0 2 xdx xdx y 1 2 1 2 0 0 2 y y y = 1 4 0 2 y 2 0 2 0 y y y fY (y) = FY (y) = 0 2 y 其他 0 y 2 解法二： y = 2x， h(y) y x = = 2 ，而 ( ) 2 1 h y = ，则 f (y) f (h(y))h (y) Y X =
2 0 其他 y 0<y<2 其他 (2)设y=-x+1,则x=1-y=h)h()=-1,Y的密度函数 f(0)=fx(U)( 2(1-y)×(-1) 其他 其他 (3)设y=x2,由于X只取0)中的值,所以y=x2也为单调函数,其反函数 M()=√6()=,因此Y的密度函数为 f(0)=fx(U)( 其他 其他 4.对圆片直径进行测量,测量值X服从(56)上的均匀分布,求圆面积Y的概 率密度。 解圆面积y=zx2,由于ⅹ均匀取6中的值,所以X的密度函数 5<x<6 fx(x) 其他 且y=m2为单调增加函数(x∈(56),其反函数 h() ,h() Y的密度函数为 √ f(0)=fx((v)h( < 其他
= 0, , 2 1 2 2 y 其他 1 2 0 y = 0 , 2 y 其他 0 y 2 （2）设 Y = −X +1 ，则 x =1− y = h(y), h(y) = −1，Y 的密度函数 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 2 1 1 ( ) ( ) 0 − − y 其他 0 1 − y 1 = ( ) 0 2 y −1 其他 0 1 − y 1 （3）设 2 Y = X ，由于 X 只取 (0,1) 中的值，所以 2 y = x 也为单调函数，其反函数 ( ) ( ) y h y y h y 1 2 1 = , = ，因此 Y 的密度函数为 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 0, , 1 2 1 2 y y 其他 0 y 1 = 0, 1, 其他 0 y 1 4. 对圆片直径进行测量，测量值 X 服从 (5,6) 上的均匀分布，求圆面积 Y 的概 率密度。 解 圆面积 2 4 1 Y = X ，由于 X 均匀取 (5,6) 中的值，所以 X 的密度函数 f X (x) = 0, 1, . 5 6; 其他 x 且 2 4 1 y = x 为单调增加函数 (x(5,6)) ，其反函数 ( ) ( ) y y h y y y h y 1 1 2 2 1 , 4 2 = = = = ， Y 的密度函数为 fY (y) = f X (h(y))h(y) = 0, , 1 y , 6; 2 5 其他 y
25 0 0. 其他 6.设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数Y=e的密度 函数f() 解f()-「 >0 其他 y=e的反函数hy)=hyh(y)=-,因此所求的Y的密度函数为 In y>0 f(0)=fx((v)h( y 其他, y>1 其他 7.设X服从NO),证明∝+a服从Naa2)其中ao为两个常数且a>0 证明由于X~NO.),所以f(x) Vze-0
= 0, , 1 y . 9 ; 4 25 其他 y 5. 设随机变量 X 服从正态分布 (0,1) ，试求随机变量的函数 2 Y = X 的密度函 数 f (y) Y 。 解 X ~ (0,1) ，所以 ( ) = − + − f x e x x X , 2 1 2 2 ，此时 2 y = x 不为单调函数不 能直接利用性质求出 f (y) Y 。须先求 Y 的分布函数 F (y) Y 。 FY (y) = P(Y y) = P(X y) = 2 P(− y X y ) 0 0, 0; y y ( ) ( ) − − − − = = y y y y P y X y f X x dx e dx x 2 2 2 1 . f Y (y) = FY (y) = 0, , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y e y e y y − − + , 0; 其他 y = 0, , 2 1 2 y e y − . 0; 其他 y 6. 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求随机变量的函数 X Y = e 的密度 函数 f (y) Y 。 解 f X (x) = 0, , x e − . 0; 其他 x x y = e 的反函数 ( ) ( ) y h y y h y 1 = ln , = ，因此所求的 Y 的密度函数为 f Y (y) = f X (h(y))h(y) = ln 1 , 0, y e y − , ln 0; 其他 y = 0, , 1 2 y . 1; 其他 y 7. 设 X 服从 (0,1) ，证明 X + a 服从 ( ) 2 a, ,其中 a, 为两个常数且 0。 证明 由于 X ~ (0,1),所以 ( ) = − + − f x e x x X , 2 1 2 2 ，记 Y =X + a ，则当 0
时,y=ax+a为单增函数,其反函数(y)=y-a,()=,因此Y的密度函数为 f(0)=fx((v)h() {=) -00 8.设随机变量X在区间[2上服从均匀分布,随机变量r=0若X= 1,若X0)=Ci 2 因此所求分布律为 Y|-101 概率303 9.设二维随机变量(X,)的分布律 ⅩY|123 8 3 81-8 401= 求以下随机变量的分布律:(1)X+y;(2)X-Y;(3)2X;(4)XY。 解
时， y =x + a 为单增函数，其反函数 ( ) ( ) 1 , = − = h y y a h y ,因此 Y 的密度函数为 ( ) ( ( )) ( ) ( ) = = = − + − − − − f y f h y h y e e y y a y a Y X , 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ， 即证明了 ( ) 2 X + a ~ a, 。 8. 设随机变量 X 在区间 −1,2 上服从均匀分布，随机变量 Y = 1, 0 0, 0 1, 0. X X X = − 若 ； 若 ； 若 试求随机变量函数 Y 的分布律。 解 X ~ R−1,2 ，则 f (x) = 0, , 3 1 . 1 2; 其他 − x 而 ( ) ( ) − = − = = = 0 1 3 1 3 1 P Y 1 P X 0 dx ； P(Y = 0) = P(X = 0) = 0 ； ( ) ( ) = = = = 2 0 3 2 3 1 P Y 1 P X 0 dx 。 因此所求分布律为 Y -1 0 1 概率 3 1 0 3 2 9. 设二维随机变量 (X,Y) 的分布律 X\Y １ ２ ３ １ 4 1 4 1 8 1 ２ 8 1 ０ ０ ３ 8 1 8 1 ０ 求以下随机变量的分布律：（１） X + Y ；（２） X − Y ；（３） 2X ；（４） XY 。 解
概率 4 4 8 (x,)()02)03)(2)(2)(23)(3)(32)(3 4 3 4 X-Y 0 0 从而得到 x+y2345 概率 (2) X-Y|-2-10 2 概率 (3)从联合分布律可求得X的边缘分布律为 X123 概率 884 由此得2X的分布律为 X246 概率 XI 1236 概率 1311 8 10.设随机变量X、Y相互独立,X~B1 (1)记随机变量z=X+Y,求z的分布律;
概率 4 1 4 1 8 1 8 1 ０ ０ 8 1 8 1 ０ (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) X + Y ２ ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ X − Y ０ -１ -2 1 0 -1 2 1 0 XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 （1） X + Y ２ ３ ４ ５ 概率 4 1 8 3 4 1 8 1 （２） X − Y -２ -1 0 1 2 概率 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 （３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３ 概率 8 5 8 1 4 1 由此得 2X 的分布律为 Ｘ ２ ４ ６ 概率 8 5 8 1 4 1 （４） XY 1 2 3 6 概率 4 1 8 3 4 1 8 1 １０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立， 4 1 , ~ 1, 4 1 X ~ B 1, Y B , （１） 记随机变量 Z = X + Y ，求 Z 的分布律；
(2)记随机变量U=2X,求U的分布律 从而证实:即使Ⅹ、Y服从同样的分布,X+y与2X的分布并不一定相同, 直观地解释这一结论。 解(1)由于x=41x=41),且x与Y独立,由分布可加性知 2-k X+r-B2, Ep P(z=k)=P(X+Y=k) ,k=012,经计算有 4 Z 概率 161616 (2)由于 X 概率 因此 U=2X02 概率44 易见X+Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X+Y与2X的取值并不相 同,这是因为x与Y并不一定同时取同一值,因而导致它们的分布也不同 11.设二维随机变量(X,y)的联合分布律为 XY1 2 00 2 (1)求U=mx(X,)的分布律; (2)求V=mn(Xx,)的分布律
（２） 记随机变量 U = 2X ，求 U 的分布律。 从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布， X + Y 与 2X 的分布并不一定相同， 直观地解释这一结论。 解（１）由于 4 1 , ~ 1, 4 1 X ~ B 1, Y B ，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知 + 4 1 X Y ~ B 2, ，即 ( ) ( ) , 0,1,2 4 3 4 2 1 2 = = = + = = − k k P Z k P X Y k k k ,经计算有 Z ０ １ ２ 概率 16 9 16 6 16 1 （２）由于 X ０ １ 概率 4 1 4 3 因此 U = 2X ０ ２ 概率 4 1 4 3 易见 X + Y 与 2X 的分布并不相同。直观的解释是的 X + Y 与 2X 的取值并不相 同，这是因为 X 与 Y 并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 １１. 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律为 X\Y １ ２ ３ １ 9 1 ０ ０ ２ 9 2 9 1 ０ ３ 9 2 9 2 9 1 （１） 求 U = max(X,Y) 的分布律； （２） 求 V = min (X,Y)的分布律
解(1)随机变量U可能取到的值为1,2,3中的一个,且 P(=1)=P(mx(X,y)=1)=P(X=1Y=1)= PU=2)=P(mx(X,y)=2)=P(X=1Y=2)+P(Xx=2,y=1)+P(X=2,=2) PU=3)=P(mx(X,y)=3) 综合有 =P(X=1y=3)+P(X=2,Y=3)+P(X=3y=1)+P(X=3y=2) +P(X=3y=3 0+0 ×6 22 U123 概率|115 (2)随机变量v可能取到的值为1,2,3中的一个,且 P=1)=P(mn(X,Y)=1) P(x=1Y=1)+P(x=1y=2)+P(x=1y=3)+P(x=2,y=1)+P(X=3y=1)同理可求 得P=2)=,P=3)=,综合有 |123 概率 12.设二维随机变量(X,y)服从在D上的均匀分布,其中D为直线 x=0,y=0,x=2,y=2所围成的区域,求x-Y的分布函数及密度函数 解(X,Y)的联合密度函数为
解 （１）随机变量 U 可能取到的值为１，２，３中的一个，且 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 9 5 9 1 9 2 9 2 0 0 3, 3 1, 3 2, 3 3, 1 3, 2 3 max , 3 ; 3 1 9 1 9 2 0 2 max , 2 1, 2 2, 1 2, 2 ; 9 1 1 max , 1 1, 1 = + + + + = + = = = = = + = = + = = + = = = = = = + + = = = = = = = + = = + = = = = = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P U P X Y P U P X Y P X Y P X Y P X Y P U P X Y P X Y 综合有 U １ ２ ３ 概率 9 1 3 1 9 5 （２）随机变量 V 可能取到的值为１，２，３中的一个，且 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 9 5 9 2 9 2 0 0 9 1 1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 3, 1 1 min , 1 = + + + + = = = = + = = + = = + = = + = = = = = P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P V P X Y 同理可求 得 ( ) ( ) , 9 1 , 3 3 1 P V = 2 = P V = = 综合有 V １ ２ ３ 概率 9 5 3 1 9 1 １２. 设二维随机变量 (X,Y) 服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线 x = 0, y = 0， x = 2, y = 2 所围成的区域，求 X Y− 的分布函数及密度函数。 解 (X,Y) 的联合密度函数为
f(x,y)=4 0<x<2,0<y<2; 设z=X-Y,则z的分布函数 0,其他 F()=P(Z≤ =P(X-Y≤x f(x, y)dxdy 其中区域D.={x,y):x-y≤}, 当x<-2时,积分区域见图62, 此时 F2()=J=0 当-2≤<0时,积分区域见D 图6.3,此 时 F26=)=r(x, drdy=[drdy 4域D的面积 图6 (2-)=(2+)2 其中D.是区域D限在 0<x<20<y<2中的那部分。 图64
-2 0 2 x y 2 图 6.4 图 6.3 -2 0 2 x 图 6.2 y 2 -2 0 2 x y 2 1 , 0 2,0 2; ( , ) 4 0, x y f x y = 其他. 设 Z = X −Y ，则 Z 的分布函数 ( ) ( ) ( ) ( ) = = − = Dzz Z f x y dxdy P X Y z F z P Z z , 其中区域 D z = (x, y): x − y z， 当 z −2 时，积分区域见图 6.2， 此时 ( ) = = Dz FZ z 0dxdy 0 当− 2 z 0 时，积分区域见 D z 图 6.3，此 时 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 1 2 2 1 4 1 4 1 4 1 , z z D F z f x y dxdy dxdy z D D Z z z = − = + = = = 区域 的面积 其 中 D z 是区域 D z 限 在 0 x 2,0 y 2 中的那部分
当0≤z<2时,积分区域D见图64,此时 F2(=)=r(x, dxdy=[drdy 区域D的面积 其中 是区域D.限在 0<x<20<y<2中的那部分。 当=≥2时,积分区域D见图65,此—2 F2==f(ruddy=l 综合有 <0 F(=) 0≤<2; z的密度函数 0, f()=F()(2-) 0≤2<2; 其他 13.设(X,)的密度函数为f(xy),用函数∫表达随机变量x+y的密度函数 解设Z=X+Y,则z的分布函数 F()=P(zs)=P(x+y≤)=(x,yb=(xyh。 对积分变量y作变换u=x+y,得到 Cf, ydy=Lf(
-2 0 2 x y 2 图 6.5 当 0 z 2 时，积分区域 D z 见图 6.4，此时 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 1 1 2 2 1 4 4 1 4 1 4 1 , z z D F z f x y dxdy dxdy z D D Z z z = − − = − − = = = 区域 的面积 其 中 D z 是区域 D z 限 在 0 x 2,0 y 2 中的那部分。 当 z 2 时，积分区域 D z 见图 6.5，此 时 ( ) = ( , ) =1 Dz FZ z f x y dxdy 。 综合有 FZ (z) = ( ) ( ) 1, 2 , 8 1 1 2 , 8 1 0, 2 2 z z − − + 2, 0 2; 2 0; 2; − − z z z z Z 的密度函数 f Z (z) = FZ (z) = ( ) ( ) 0, 2 , 4 1 2 , 4 1 z z − + . 0 2; 2 0; 其他 − z z 13. 设 (X,Y) 的密度函数为 f (x, y) ，用函数 f 表达随机变量 X + Y 的密度函数。 解 设 Z = X + Y ,则 Z 的分布函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − − − + = = + = = z x x y z FZ z P Z z P X Y z f x, y dxdy dx f x, y dxdy。 对积分变量 y 作变换 u = x + y ，得到 ( ) ( ) − − − = − z x z f x, y dy f x,u x du