2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)试卷 1.选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题 纸指定位置上 (1)曲线y x+x 渐近线的条数为( (A)0 (B)1 C) (D)3 (2)设函数f(x)=(e2-1)e2x-2y…(e"-n),其中n为正整数, 则∫(0)=() (A)(-1)"(n-1) (B)(-1)"(n-1)! 3)设函数f()连续,则二次积分2d0J0(2yry=() (A)4√x+y(x2+y2 (B)dxf(x2+yyy (c)dxj x'+yf(x+y)dy 1 +v2x-x (D)∫。∫ f(x+y dy (4)已知级数∑(-)√ Vnsin-绝对收敛,(-1条件收敛,则a
2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)试卷 1.选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题 纸指定位置上. （1）曲线 2 2 1 x x y x + = − 渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ( ) ( 1)( 2) x x nx f x e e e n = − − …（ - ） ，其中 n 为正整数， 则 f (0)=（ ） （A） 1 ( 1) ( 1)! n n − − − （B） ( 1) ( 1)! n − −n （C） 1 ( 1) ! n n − − （D） ( 1) ! n − n （3）设函数 f t( ) 连续，则二次积分 2 2 2 0 2cos d f r rdr ( ) =（ ） （A） 2 2 2 4 2 2 2 2 0 2 ( ) x x x dx x y f x y dy − − + + （B） 2 2 2 4 2 2 0 2 ( ) x x x dx f x y dy − − + （C） 2 2 2 2 2 2 0 2 1 4 ( ) 2 x dx x y f x y dy x x − + + + − （D） 2 2 2 2 0 2 1 4 ( ) 2 x dx f x y dy x x − + + − （4）已知级数 1 1 ( 1) sin n i n n = − 绝对收敛， 2 1 ( 1)n i n − = − 条件收敛，则
范围为() (A)00)的简单随
范围为（ ） （A）0< 1 2 （B） 1 2 < 1 （C）1< 3 2 （D） 3 2 < <2 （5）设 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 1 0 , 1 , 1 , 1 c c c c − = = = − = 其中 1 2 3 4 c c c c ， ， ， 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A） 1 2 3 ， ， （B） 1 2 4 ， ， （C） 1 3 4 ， ， （D） 2 3 4 ， ， （6）设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P -1 AP= 1 1 2 ， P=（ 1 2 3 ， ， ），Q=（ 1 2 2 3 + ， ， ） 则 1 Q AQ= − （ ） （A） 1 2 1 （B） 1 1 2 （C） 2 1 2 （D） 2 2 1 （7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀 分布，则 + ｛ 2 2 1｝ （ ） （A） 1 4 （B） 1 2 （C） 8 （D） 4 （8）设 X X X X 1 2 3 4 ， ， ， 为来自总体 N （ 2 1， ）（ 0） 的简单随
机样本,则统计量 的分布( k3+X4-2 (A)N(0,1)(B)t(1)(C)x2(1)(D)F(1,1) 二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题 纸指定位置上 (9) lim(tan x)cos x-sin-x (10)设函数f(x) ln√x,x≥1 y=f(f(x),求 2x-1,x<1 11)函数z=f(x,y)满足lim f∫(x,y)-2x+y-2 0,则 (0,1) (12)由曲线y=-和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面 x 积为 (13)设A为3阶矩阵,|A|=3,为A的伴随矩阵,若交换A的第 行与第二行得到矩阵B,则|Br|= (14)设A,BC是随机事件,A,C互不相容,P(AB)=,P(C)=,则 CABO 解答题:1523小题,共9分.请将解答写在答题纸指定位置 上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
机样本，则统计量 1 2 3 4 | + -2| X X X X − 的分布（ ） （A） N（0，1） （B） t(1) （C） 2 (1) （D） F(1,1) 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题 纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim(tan ) x x x x − → （10）设函数 0 ln , 1 ( ) , ( ( )), 2 1, 1 x x x dy f x y f f x x x dx = = − 求 ___________. （ 11 ） 函 数 z f x y = ( , ) 满 足 0 2 2 1 ( , ) 2 2 lim 0, ( 1) x y f x y x y x y → → − + − = + − 则 (0,1) dz =_______. （12）由曲线 4 y x = 和直线 y x = 及 y x = 4 在第一象限中所围图形的面 积为_______. （13）设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A *为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第 一行与第二行得到矩阵 B，则|BA * |=________. （14）设 A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容， 1 1 ( ) , ( ) , 2 3 P AB P C = = 则 P（C）= _________. 三、 解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置 上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
2-2c0Sx 计算lim (16)(本题满分10分) 计算二重积分∫ e'xydxdy,其中D为由曲线y=√与y=所围区 域 (17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入 的固定成本为10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量 分别为x(件)和y(件),且固定两种产品的边际成本分别为20+(万 元/件)与6+y(万元/件) 1)求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元) 2)当总产量为50件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最 小?求最小的成本 3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其 经济意义 (18)(本题满分10分) 证明:xln +cosx≥1+ 1<x<1 2 (19)(本题满分10分)已知函数f(x)满足方程 f∫"(x)+f(x)-2f(x)=0及∫(x)+f(x)=2e 1)求表达式f(x) 2)求曲线的拐点y=f(x)6f(+M
计算 2 2 2cos 4 0 lim x x x e e x − → − （16）（本题满分 10 分） 计算二重积分 x D e xydxdy ，其中 D 为由曲线 1 y x y x = = 与 所围区 域. （17）（本题满分 10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入 的固定成本为 10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量 分别为 x(件)和 y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为 20+ 2 x （万 元/件）与 6+y（万元/件）. 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 C x y ( , ) （万元） 2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最 小？求最小的成本. 3）求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其 经济意义. （18）（本题满分 10 分） 证明： 2 1 ln cos 1 , 1 1. 1 2 x x x x x x + + + − − （ 19 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 函 数 f x( ) 满 足 方 程 f x f x f x ( ) ( ) 2 ( ) 0 + − = 及 ( ) ( ) 2 x f x f x e + = 1）求表达式 f x( ) 2）求曲线的拐点 2 2 0 ( ) ( ) x y f x f t dt = −
(20)(本题满分10分) 01a0 设A b 001a 0 (I)求|A (I)已知线性方程组Ax=b有无穷多解,求a,并求Ax=b的通解. (21)(本题满分10分) 101 已知A=011二次型(1xx)=x(Ax的秩为2 10 0 (1)求实数a的值 (2)求正交变换x=y将f化为标准型 (22)(本题满分10分) 已知随机变量x,F以及F的分布律如下表所示 012 2 1 6 2 01-3 3
（20）（本题满分 10 分） 设 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 a a A b a a − = = ， （I）求|A| （II）已知线性方程组 Ax b = 有无穷多解，求 a ，并求 Ax b = 的通解. (21)（本题满分 10 分） 已知 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A a a = − − ，二次型 1 2 3 f x x x x x ( , , ) ( ) = 的秩为 2， （1）求实数 a 的值； （2）求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准型. （22）（本题满分 10 分） 已知随机变量 X,Y 以及 XY 的分布律如下表所示： X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3
XY 0 2 11-3 0 12 求(1)P(F2 (2)cov(x-Y,Y)与py (23)(本题满分10分) 设随机变量X和F相互独立,且均服从参数为1的指数分布, V= min(X, y), U=max(X,r) 求(1)随机变量V的概率密度;(2)E(U+V)
XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 求（1）P(X=2Y); （2） cov( , ) X Y Y − 与 XY . （23）（本题满分 10 分） 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布， V X Y U X Y = min( , ), = max( , ). 求（1）随机变量 V 的概率密度；（2） E U V ( ) +