延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第四章 正态分布

第四章正态分布 、正态分布的相关内容: 二、习题选讲

1 第四章 正态分布 • 一、正态分布的相关内容： • 二、习题选讲

正态分布的相关内容: 定义设连续型随机变量X~N(u,a2 x-p 概率密度为∫(x) e 202 <y<+ √2丌σ 分布函数是F(x)= e20 2丌o 特别地,=0,a=1,X~N(0,1 其概率密度为g(x) o<y<+ 2丌 分布函数是o(x)=∫e dt 2 2

2 定义 设连续型随机变量 概率密度为 分布函数是 特别地，  0,  1, X ~ N0,1， 其概率密度为 分布函数是 一、正态分布的相关内容：

若X~N(,a2)则X落在区间(x,x2)内的概率是 r(x<x<x)=F()(x)=0(与)-0( 特别地,P(x<x)=F(x)= 查表 [注1(x)=1-c(x) 注2]若X~N(x,a2)则y X-H-N (0,1) 若x~N(,a2)则E(x)=,D(x)=a2Je2= 2 中心矩:若k为奇数,则:k=0k=1,3,5, 若k为偶数,则:k=(k-1)!lk=2,4,6

3 ~  , , 2 若X N   则X 落在区间  1 2 x , x 内的概率是： 特别地， 查表 [注1] [注2] 若 则 ~  , , 2 若X N   则 若 k 为奇数， 若 k 为偶数，则： k  (k  1)!! k k  2, 4, 6, 中心矩： 则： k  0 k  1, 3, 5,

二、二维正态分布 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度如下: f(x, y) 2ioOvI-/? esu(x, y) 其中 ()2n2l(x=)2(c-4)y=-)- 这种分布称为二维正态分布。可以证明: Ep X-L, 022) YNu, 0,2)R(x, r)= 结论: 对于二维正态分布,随机变量X与Y独立r=0

4 设二维随机变量( X,Y) 的联合概率密度如下： 二、二维正态分布 其中 这种分布称为二维正态分布。可以证明： 即 对于二维正态分布，随机变量X 与Y 独立 r = 0. 结论:

三、正态随机变量的线性函数的分布 定理1设X~N{v,o2)则Y=a+bX~N(a+b∠,b2) (即:正态随机变量的线性函数仍服从正态分布) 推论设x~N(,)则x*=x-~N(0) 定理2设x与独立,且X~N(n,o2)YN(,2) 则z=X+Y~N+,2+a,2) (即:独立的正态随机变量的和仍服从正态分布) 定理3设x1,x2,…,x独立,且X;~N(n,2)=12…,n ∑cX,N∑cH,∑

5 定理1 三、正态随机变量的线性函数的分布 （即：正态随机变量的线性函数仍服从正态分布） 推论 定理2 （即：独立的正态随机变量的和仍服从正态分布） 定理3

四、中心极限定理列维定理 设独立随机变量X1,X2,Xn,服从相同的分布并且有数 学期望和方差:E(X)=,D(X)=a2>0,i=1,2,…,n 则当n→>∞时,它们和的极限分布是正态分布,即 ∑X1-nH lim pl il m02-2G为任意实数) 考虑随机变量:Yn=∑X, 则E(n)∑E(X)=nD(xn)=∑D(X1)=na2 i=1

6 列维定理 学期望和方差： ( ) , ( ) 0, 1,2, , , . 2 E X  D X   i   n  i  i  则当 n   时，它们和的极限分布是正态分布，即 (z 为任意实数.) 设独立随机变量 , ,  , ,   X1 X 2 X n 考虑随机变量: , 1   n i Yn X i 则 n i E X i 1 ( )   n i D X i 1 ( ) 服从相同的分布并且有数 四、中心极限定理

德莫威尔一拉普拉斯定理 设在独立实验序列中,事件A在各次实验中发生的概率为 p(0<p<1)随机变量Y表示事件A在n次实验中发生的次 数,则有limP-n np <Z n→0 npg 2丌 其中z是任何实数,P+q=1. 由于随机变量Y服从二项分布B(n,p),所以德莫威尔一拉普 拉斯定理说明:当n充分大时,服从B(n,)的随机变量Yn 近似地服从正态分布N(qp,mpg) p(m1≤Pn≤m2)≈ np npq npq

7 德莫威尔—拉普拉斯定理 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为 随机变量 表示事件A 在n 次实验中发生的次 数，则有 Yn N np ，npq  . 由于随机变量 Yn服从二项分布 Bn，p， 拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从 Bn，p的随机变量   2 1 1 2                     npq m np npq m np p m Yn m 所以德莫威尔—拉普 近似地服从正态分布

五、练习题 1.设X~N(0,求下列概率: (1)P(X≤1.5);(2)P(X>2.5); (3)P(Xk1.68);(4)P(-0.36≤X≤0.64) 解(1)P(X≤15)=①(1.5)=0.9332 (2)P(X>2.5)=1-Φ(25)=1-0.9938=0.0062 (3)P(Xk1.68)=P(-1.68<X<168) Φ(1.68)-Φ(-1.68)=2①(168)-1 =2×0.9535-1=09070 (4)P(-0.36≤X≤0.64)=Φ(0.64)-Φ(0.36 =(064)+①(0.36)-1=0.7389+06406-1=0.3795

8 1. 解 (1) P(X  1.5)  (1.5)  0.9332 (2) P(X  2.5)  1  (2.5)  1  0.9938  0.0062 (3) P(| X | 1.68)  P(1.68  X  1.68)  (1.68)  (1.68)  2(1.68)  1  2  0.9535  1  09070 (4) P(0.36  X  0.64)  (0.64)  (0.36)  (0.64)  (0.36)  1 0.7389  0.6406  1 0.3795 五、练习题

2.设X~N(1,22),求下列概率: (1)P(X<2.2);(2)P(1.6≤X<58); (3)P(Xk35);(4)P(X|4.56) 2.2-1 解(1)P(X<2.2)=①()=①(0.6)=0.7527 2 5.8 (2)P(-16≤X<58)=Φ( 1.6 )-①( 2 2 =Φ(24)-(-13)=①(24)-1+Φ(13)=08950 3.5-1 (3)f(Xk3.5)=@2 3.5 =Φ(125)-Φ(-225)=Φ(1.25)-1+Φ(225) (4)P(X4.56)=1-P(X4.56 4.56 4.56-1 =1-① +Φ( =0.0402

9 2. 解 (1) P(X  2.2) ) 2 2.2 1 (     (0.6)  0.7527 (2) P(1.6  X  5.8) ) 2 5.8 1 (    ) 2 1.6 1 (     (2.4)  (1.3)  (2.4)  1  (1.3)  0.8950 (3) P(| X | 3.5) ) 2 3.5 1 (    ) 2 3.5 1 (     (1.25)  (2.25) (1.25)  1  (2.25) (4) P(| X | 4.56)  1  P(| X | 4.56) ) 2 4.56 1 1 (     ) 2 4.56 1 (     0.0402

3.已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布N(100,0.6) 规定直径在100+12(mm)范围内为合格, 求这种机械零件不合格品率 解:设随机变量X表示这种机械零件的直径,则 X~N(100,0.62 由题意:P(X-100>1.2)=1-P(X-10012) X-100 X-100 ≤2)=1-P(-2≤ 0.6 1-{(2)-d(-2)=1-{(2)-1-(2) 1-0.9972-(1-0.9972)=0.0456

10 则 3. 已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布 规定直径在100±1.2(mm)范围内为合格, 求这种机械零件不合格品率. 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径, 由题意: