第一章随机事件及其概率 第六节条件概率·概率乘法定理 ●条件概率 ●乘法定理
第一章 随机事件及其概率 第六节 条件概率·概率乘法定理 ⚫条件概率 ⚫乘法定理
条件概率 1.条件概率的概念 在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加 信息(条件)下求事件的概率 华琵罹斧额绯枰灌绯告经樱塗条 件下的条件概率 般地P(4|B)≠P(4)
在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加 信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B已经发生的条件下求事件A发生的概率， 一般地 P(A|B) P(A) 将此概率记作P(A|B)，叫做事件A在事件B已经发生条 件下的条件概率. ≠
例如,两台车床加工同一种机械零件如下表: 合格品数次品数总计 第一台车床加工的零件数 35 5 40 第二台车床加工的零件数 50 10 60 总计 85 15 100 从这屮集电的戶馫隽痈这軎维铼歪得合 P(=85/100,P4B=35/40 3535/100P(AB 容易看到P|B)= 4040100P(B)
例如，两台车床加工同一种机械零件如下表： 事件B表示“取出的产品是第一台车床加工的”， 则 容易看到 35 40 P(A|B) = 35 100 40 100 = ( ) ( ) P B P AB = 从这100个零件中任取一个零件，设事件A表示“取得合 格品”， 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工的零件数 35 5 40 第二台车床加工的零件数 50 10 60 总计 85 15 100 P(A )= 85/100，P(A|B)=？35/40
2.条件概率的计算 若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既 BABA)在B中又在A中的样本点,即 此点必属于AB.由于我们已经 2知道B已发生,故B变成了新的 样本空间,于是有 定理1设A、B是两个事件,且P(B)>0,则 P(A B) P(AB) P(B)
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有 B ABA 2. 条件概率的计算 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 定理1
3.条件概率的性质 条件概率P(A)具备概率定义的三个条件: (1)非负性:对于任意的事件B,P(B|4)≥0; (2)规范性:P(92|A)=1 (3)完全可加性:设B,B2是互不相容事件,则有 P∑B4|=∑P(B小 所以在第五节中证明的生质对条件概率都成立
3. 条件概率的性质 条件概率P(• | A)具备概率定义的三个条件: (1) 非负性:对于任意的事件 B ,P(B | A) 0; (2) 规范性: P(| A) = 1 ; ( ) 1 2 3 : , , , 完全可加性 设 B B 是互不相容事件 则有 ( ) 1 1 i i i i P B A P B A = = = 所以在第五节中证明的性质对条件概率都成立
例1掷一颗均匀骰子,A=“掷出2点”B=“掷出偶数点”, P(|B)=? 解:B={2,46,其中有一个样本点2属于A,P(4B)=1/3
例1 掷一颗均匀骰子，A=“掷出2点” ，B=“掷出偶数点” ， P(A|B)=？ 解：B={2,4,6},其中有一个样本点2属于A，P(A|B)= 1/3
例2掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解:设事件A表示“第一颗掷出6点” 事件B表示“掷出点数之和不小于10”, 则A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5,6,6)} 其中有三个样本点(6,4),(6,5,6,6)属于B 31 P(B\A)62
例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? P B A ( | ) = 解：设事件A 表示“第一颗掷出6点” 事件B表示“掷出点数之和不小于10”， 3 1 6 2 = 则A ={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 其中有三个样本点(6,4),(6,5),(6,6)属于B
二、概率乘法定理 P(AB 由条件概率的定理:P(AB)=P (B) 若已知P(B),P(4|B)时,可以反求P(4B) 即P(B)=P(B)P(4B)(2) 同理P(AB)=P(4)P(B4)(3) (2)和(3)式都称为概率乘法定理,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
由条件概率的定理： 即 P(AB)=P(B)P(A|B) (2) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 二、 概率乘法定理 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 同理 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和(3)式都称为概率乘法定理, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
乘法定理可以推广到多个事件的交事件的情况 设A、B、C为三个事件,则 P(ABC=P(AP(B AP(CLAB 般地,设有n个事件AA2,…,A,n≥2,则 P(442…A4)=P(A)P(42|4)P(43|442) P(An1|A142…,An2)P(4n|A142…,An)
乘法定理可以推广到多个事件的交事件的情况 . 设 , A B C 、 、 为三个事件 则 P(ABC) = P(A)P(B| A)P(C | AB) 1 2 , , , , , 2 , n 一般地 设有 n A A A n 个事件 则 P(A1 A2 An ) = P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 A2 ) ( ) ( ) n n-2 n A A An-1 P A −1 | A1 A2 A P A | 1 2
例3一批零件共100个,次品数为10,每次从其 中任取一个零件,取出的零件不再放回,求 (1)第三次才取得合格品的概率 (2)若取得一个合格品后就不再继续取零件,求 次内取得合格品的概率 解:设事件A表示“第次取得合格品”,1,2,3 事件A表示“第三次才取得合格品”, 则A=A1A2A3
例3 一批零件共100个，次品数为10，每次从其 中任取一个零件，取出的零件不再放回，求 (1)第三次才取得合格品的概率 (2)若取得一个合格品后就不再继续取零件，求 三次内取得合格品的概率 解：设事件Ai表示“第i次取得合格品”，i=1,2,3； 事件A表示“第三次才取得合格品”， 则 A=A1A2A3 _ _