第一节数学期望 ●离散随机变量的数学期望 ●连续随机变量的数学期望 ●二维随机变量的数学期望
第一节 数学期望 离散随机变量的数学期望 连续随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望
在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分 布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的 全部概率特征也就知道了 然而,在实际问题中,概率分布一般是较难 确定的.而在一些实际应用中,人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些 数字特征就够了
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了
在这些数字特征中,最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数
在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数
、离散随机变量的数学期望 1、概念的引入: 我们来看一个引例 引例设某射手在同样的条件下,瞄准靶子,相继射 击100次,其结果列于下表,问该射手每次射击平均中靶 多少环? 击中环数05 6 8 10 频数 3 5 10 15 30 35
1、概念的引入： 我们来看一个引例. 引例 设某射手在同样的条件下，瞄准靶子，相继射 击100次，其结果列于下表，问该射手每次射击平均中靶 多少环？ 击中环数 0 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 5 10 15 30 35 一、离散随机变量的数学期望
我们先观察该射手这100次的情况 设X为每次射击 击中环数05678910的中靶数, 这个数能否作为 频数23510153035|X的平均值呢? 可以得到这100次的平均中靶环数为 0·2+5·3+6.5+7·10+8·15+9·30+10.35 8.55 100 2 3 5 10 15 30 35 0 +5·+6 7·+8· +10 100100100100100100 100
8.55 100 0 2 5 3 6 5 7 10 8 15 9 30 10 35 = + + + + + + 可以得到这100次的平均中靶环数为 设X为每次射击 的中靶数， 这个数能否作为 X的平均值呢？ 我们先观察该射手这100次的情况 击中环数 0 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 5 10 15 30 35 100 35 10 100 30 9 100 15 8 100 10 7 100 5 6 100 3 5 100 2 = 0 + + + + + +
可以想象,若另外统计100次,则每次击中0环、1 环、∴10环的次数与前面的100次一般不会完全相同, 这另外100次的平均射中环数数也不一定是855 一般来说若统计n次,(假定有n次击中环÷=0,1,…,10) 可以得到n次的平均击中次数为 0.·∞0+1.+…+10.-=0·f6+1.f1+…+10·f0 12
可以想象，若另外统计100次，则每次击中0环、1 环、…10环的次数与前面的100次一般不会完全相同， 这另外100次的平均射中环数数也不一定是8.55 n n n n n n0 1 1 0 0 +1 ++10 可以得到n次的平均击中次数为 一般来说 (假定有ni次击中i环,i=0,1, …,10) , 若统计n次 , 0 1 10 = + + + 0 1 10 f f f
0.f1+1·f2+…+10·f1 这是 以频率为权的加权平均 当n很大时,频率接近于概率,所以我们在求击中数X 的平均值时,用概率代替频率,得平均值为 这是 0·n1+1·n2+…+10·P以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变 量X的平均值
这是 以频率为权的加权平均 当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求击中数X 的平均值时，用概率代替频率，得平均值为 这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变 量X 的平均值 . 0 1 1 2 10 10 f + f ++ f 0 p1 1 p2 10 p10 + ++
、离散随机变量的数学期望 定义1离散随机变量X的一切可能的取值x与对应的 概率P{X=x}的乘积的和叫做随机变量X的数学期望 1)如果随机变量X的一切可能取值为有限个:x1,x2,…,xn 而取得这些值的概率分别为p(x1),p(x2),…,p(x,) 则E(X)=∑xp(xk) k=1
定义1 离散随机变量X的一切可能的取值xi与对应的 概率P{X=xi } 的乘积的和叫做随机变量X的数学期望 = = n k k k E X x p x 1 ( ) ( ) n x , x , , x 1 2 则 一、离散随机变量的数学期望 (1)如果随机变量X的一切可能取值为有限个： 而取得这些值的概率分别为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n p x p x p x
、离散随机变量的数学期望 定义1离散随机变量X的一切可能的取值x与对应的 概率P{X=x}的乘积的和叫做随机变量X的数学期望 (2)随机变量X的一切可能取值为可列个:x,x2,…,xn, 而取得这些值的概率分别为p(x),P(x2),…,P(xn) 则E(X)=∑xp(xk)(假定该级数绝对收敛 k=1
定义1 离散随机变量X的一切可能的取值xi与对应的 概率P{X=xi } 的乘积的和叫做随机变量X的数学期望 = = 1 ( ) ( ) k k k E X x p x x1 , x2 , , xn , 则 一、离散随机变量的数学期望 (2) 随机变量X的一切可能取值为可列个： 而取得这些值的概率分别为 p(x1 ), p(x2 ), , p(xn ), (假定该级数绝对收敛）
例1设随机变量X服从0-1分布,其概率函数为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=p 求E(X) 解E(X)=0×(1-p)+1×p=p
例1 设随机变量X服从0—1分布，其概率函数为 P X p P X p { 0} 1 , { 1} = = − = = 求E(X) . 解 E(X) = 0(1− p) + 1 p = p